아인슈타인 문제

Einstein problem
이 기사는 기하학적 문제에 관한 것입니다. 논리 퍼즐은 지브라 퍼즐을 참조하십시오. 기타 용도는 아인슈타인(동음이의한 설명)을 참조하십시오.
"타일(1,1)"을 사용한 비주기적 타일링. 타일은 회전 방향 모듈로 60도에 따라 색상이 지정됩니다.[1] (스미스, 마이어스, 카플란, 굿맨-스트라우스)

평면기하학에서 아인슈타인 문제는 그 자체로 비주기적인 프로토타일 집합을 형성하는 단일 프로토타일의 존재에 대해 묻습니다. 즉 공간을 테셀레이트할 수 있지만 비주기적인 방식으로만 테셀레이트할 수 있는 형태입니다. 그런 모양은 아인슈타인이라고 불리는데, 독일어로 "일석"을 뜻하는 스타인(Stein)에서 연주하는 단어입니다.[2]

비주기성의 특정 정의와 타일로 분류될 수 있는 집합과 허용되는 일치 규칙 유형의 사양에 따라 문제의 여러 변형이 1990년대에 해결되었습니다. 문제의 가장 엄격한 버전은 2023년에 해결되었습니다(최초 발견은 2022년 11월, 사전 인쇄는 2023년 3월에 발표됨).

아인슈타인 문제는 힐베르트의 18번째 문제의 두 번째 부분의 자연스러운 확장으로 볼 수 있습니다. 힐베르트의 18번째 문제는 유클리드 3-공간을 타일링하는 하나의 다면체를 요구하지만, 이 다면체에 의한 테셀레이션은 등면체가 아닙니다.[3] 이와 같은 등면체 타일은 1928년 칼 라인하르트에 의해 발견되었지만, 이 등면체 타일들은 모두 주기적으로 공간을 타일로 만듭니다.

제안해법

1988년, 피터 슈미트는 3차원 유클리드 공간에서 하나의 비주기적 프로토틸레를 발견했습니다. 이 프로토타일에 의한 타일링은 대칭으로 번역을 인정하지 않지만 일부는 나사 대칭을 가지고 있습니다. 나사 작업은 π의 무리수 배를 통한 번역과 회전의 조합을 포함하므로 반복적인 작업을 통해 순수한 번역을 산출하는 경우는 없습니다. 이후 존 호튼 콘웨이와 루트비히 단저는 이 건축물을 볼록한 비주기적 프로토틸레인 슈미트-콘웨이-단저 타일로 확장했습니다. 나사 대칭의 존재로 인해 비주기성에 대한 요구 사항이 재평가되었습니다.[4] Chaim Goodman-Strauss는 타일이 대칭으로 유클리드 운동의 무한 순환 그룹을 인정하지 않으면 강한 비주기성으로 간주하고 강한 비주기성을 강제하는 타일 세트만 강한 비주기성이라고 부르고 다른 세트는 약한 비주기성이라고 부를 것을 제안했습니다.[5]

소콜라-테일러 타일은 아인슈타인 문제의 해결책으로 2010년에 제안되었지만 이 타일은 연결된 집합이 아닙니다.

1996년 페트라 검멜트(Petra Gummelt)는 장식된 십각형 타일을 제작하여 타일 쌍 사이에 두 가지 종류의 겹침이 허용될 때 타일이 평면을 덮을 수 있지만 비주기적으로만 해당된다는 것을 보여주었습니다.[6] 타일은 일반적으로 겹치지 않는 덮개로 이해되며, 따라서 Gummelt 타일은 비주기적 프로토타일로 간주되지 않습니다. 유클리드 평면에서 단 하나의 타일로 구성된 비주기적 타일 세트(Socolar-Taylor 타일)가 2010년 초 Joshua Socolar와 Joan Taylor에 의해 제안되었습니다.[7] 이 구성에는 일치 규칙, 두 타일의 상대적 방향을 제한하고 타일에 그려진 장식을 참조하는 규칙이 필요하며 이러한 규칙은 인접하지 않은 타일 쌍에 적용됩니다. 또는 일치 규칙이 없는 장식되지 않은 타일을 구성할 수 있지만 타일이 연결되어 있지 않습니다. 일치 규칙이 없는 3차원 연결 타일로 구성을 확장할 수 있지만 이 타일은 한 방향으로 주기적인 타일을 허용하므로 약한 비주기적일 뿐입니다. 게다가 타일은 단순히 연결되어 있지 않습니다.

모자

데이비드 스미스가 발견한 타일입니다.
스미스-마이어스-카플란-굿맨-스트라우스 타일의 무한한 가족 중 하나입니다. 노란색 타일은 파란색 타일의 반사된 버전입니다.

2022년 11월, 취미주의자 데이비드 스미스는 60°–90°–120°–90°–90° 연의 8개의 복사본으로 형성된 "모자" 모양의 타일을 발견했는데, 이것은 비행기를 비주기적으로 타일로 만드는 것처럼 보였습니다.[8] 스미스는 수학자 크레이그 카플란(Craig S. Kaplan), 조셉 사무엘 마이어스(Joseph Samuel Myers), 채임 굿맨-스트라우스(Chaim Goodman-Strauss)로부터 도움을 받았으며, 2023년 3월 이 그룹은 거울 이미지로 고려할 때 모자가 비주기적 프로토타일 세트를 형성한다는 것을 증명하는 사전 인쇄를 게시했습니다.[9][10] 또한, 모자는 동일한 비주기적 특성을 가진 무한한 타일 제품군으로 일반화될 수 있습니다. 그들의 증명은 동료 심사와 공식 출판을 기다리고 있습니다.[11][12]

Chiral aperiodic monotile.
Chiral aperiodic monotile with cubic Bézier curves as edges.
Chiral aperiodic monotile with quadratic Bézier curves as edges.
왼쪽 스미스, 마이어스, 카플란 & 굿만-스트라우스의 타일(1,1). 이 다각형의 가장자리를 중간 및 오른쪽 예제와 같이 수정하여 스펙트럼을 얻습니다.

2023년 5월, 같은 팀(스미스, 마이어스, 카플란, 굿맨-스트라우스)은 "스펙터"라고 불리고 "모자"와 관련된 형상 계열에 대한 새로운 사전 인쇄를 게시했으며, 각각의 형상은 회전과 번역만을 사용하여 비행기를 타일링할 수 있습니다.[13] 또한 "스펙터" 타일은 반사가 허용되더라도 모든 타일은 비주기적이며 스펙트럼의 하나의 키랄성만을 사용합니다. 즉, 스펙터와 거울 이미지를 모두 사용하는 평면의 타일링이 없습니다.

2023년, 뉴욕시의 국립 수학 박물관과 런던의 영국 수학 신탁에 의해 운영되는 공모전에서 사람들에게 모자 아인슈타인의 창의적인 연출을 제출할 것을 요청했습니다. 32개국의 245개 이상의 출품작 중에서 3명의 수상자가 선정되었고 영국 하원에서 열린 시상식에서 상을 받았습니다.[14][15]

참고 항목

참고문헌

  1. ^ 두 개의 타일은 번역과 30도의 짝수 배의 회전의 결합에 의해 일치할 수 있을 때 동일한 색상을 가집니다. 다른 색상의 타일은 30도의 홀수 배 회전과 함께 번역에 의해 일치할 수 있습니다.
  2. ^ Klaassen, Bernhard (2022). "Forcing nonperiodic tilings with one tile using a seed". European Journal of Combinatorics. 100 (C): 103454. arXiv:2109.09384. doi:10.1016/j.ejc.2021.103454. S2CID 237571405.
  3. ^ Senechal, Marjorie (1996) [1995]. Quasicrystals and Geometry (corrected paperback ed.). Cambridge University Press. pp. 22–24. ISBN 0-521-57541-9.
  4. ^ Radin, Charles (1995). "Aperiodic tilings in higher dimensions". Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 123 (11): 3543–3548. doi:10.2307/2161105. JSTOR 2161105. MR 1277129.
  5. ^ Goodman-Strauss, Chaim (10 Jan 2000). "Open Questions in Tiling" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2007-04-18. Retrieved 2007-03-24.
  6. ^ Gummelt, Petra (1996). "Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons". Geometriae Dedicata. 62 (1): 1–17. doi:10.1007/BF00239998. S2CID 120127686.
  7. ^ Socolar, Joshua E. S.; Taylor, Joan M. (2011). "An Aperiodic Hexagonal Tile". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 118 (8): 2207–2231. arXiv:1003.4279. doi:10.1016/j.jcta.2011.05.001. S2CID 27912253.
  8. ^ Klarreich, Erica (4 Apr 2023). "Hobbyist Finds Math's Elusive 'Einstein' Tile". Quanta.
  9. ^ Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (Mar 2023). "An aperiodic monotile". arXiv:2303.10798 [math.CO].
  10. ^ Lawson-Perfect, Christian; Steckles, Katie; Rowlett, Peter (22 Mar 2023). "An aperiodic monotile exists!". The Aperiodical.
  11. ^ Conover, Emily (24 Mar 2023). "Mathematicians have finally discovered an elusive 'einstein' tile". Science News. Retrieved 2023-03-25.
  12. ^ Roberts, Siobhan (29 Mar 2023). "Elusive 'Einstein' Solves a Longstanding Math Problem". New York Times. Retrieved 2023-03-29.
  13. ^ Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (2023). "A chiral aperiodic monotile". arXiv:2305.17743 [math.CO].
  14. ^ Roberts, Siobhan (10 Dec 2023). "What Can You Do With an Einstein?". The New York Times. Retrieved 2023-12-13.
  15. ^ "hatcontest". National Museum of Mathematics. Retrieved 2023-12-13.

외부 링크