크레인-루트만 정리

기능 분석에서 크레인-루트만 정리는 페론-프로베니우스 정리를 무한 차원 바나흐 공간으로 일반화한 것이다.^[1]1948년 크레인과 러트먼에 의해 증명되었다.^[2]

성명서

Let ${\displaystyle X}$ be a Banach space, and let ${\displaystyle K\subset X}$ be a convex cone such that ${\displaystyle K\cap -K=\{0\}}$, and ${\displaystyle K-K}$ is dense in ${\displaystyle X}$, i.e. the closure of the set ${\displaystyle \{$$u-v:u,\,v\in K\}=X$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) 토탈 콘으로도 알려져$$ 있다.$T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle T:X\to$ X$}$을(를) 양수인 비제로 콤팩트 연산자로 하고$$, 이는 ${\displaystyle T}$( K${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subset }$ K ${\displaysty T(K)\subset$ K$}$을$($를) 의미하며, 스펙트럼 반경 $r{\displaystyle }$(${\displaystyle T}$)$${\$displaystystyle r(T)$이 엄격히$$ 양수치한다고 가정한다.

그 $다음$에 r${\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle$ r$(T)}$은 양의 고유 벡터를 $가진$ T$$${\$$$T}의 고유값으로$,$ $이$는 T${\displaystyle (}$ ${\displaystyle u}$) = $)$ = $(T$ = {\$displaystystytle T(T)}$과 같은${\displaystyle }u{\displaystyle \{}$0$}$이 존재함을 의미한다$.$

드 파테르 정리

If the positive operator ${\displaystyle T}$ is assumed to be ideal irreducible, namely, there is no ideal ${\displaystyle J\neq 0}$,${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle TJ\subset J}$, then de Pagter's theorem^[3] asserts that ${\displaystyle r(T)>0}$.

따라서 이상적인 불가해한 연산자의 (T) > ${\displaystyle r(T)>0}$ 가정은 필요하지 않다.

참조