바나흐 대수

수학, 특히 기능적 분석에서 스테판 바나흐의 이름을 딴 바나흐 대수학은 실제 또는 복잡한 수(또는 비아키메데스적 완전 규범분야에 걸친)에 대한 연관 대수 A로서, 동시에 바나흐 공간, 즉 규범이 유도한 미터법에서 완성되는 규범 공간이기도 하다.규범은 충족시키기 위해 필요하다.

\displaystyle \forall x,y\in A,\ x\,y\ \leq \ x\\,\\ .}

이를 통해 곱셈 연산이 지속되도록 한다.null

바나흐 대수학(Banach 대수학)은 표준이 1인 곱셈에 대한 식별 요소를 가지고 있으면 유니탈이라고 하며, 곱셈이 역행하면 역행한다.어떤 바나흐 대수 $A$ ${\displaystyle A}($ 아이덴티티 요소가 있든 없든 상관없이)는 단이탈 바나흐 대수 $A_{e}$ $A_{e}$ ${\$ 의 폐쇄적 이상을 형성하기 위해 $A_{e}$ 등축적으로 삽입할 수 $A_{e}$ 종종 고려 중인 대수가 단비라고 가정한다. $A_{e}$ 의 상당 $A_{e}$ 을 A e {\displaystyle $A_{e}$ 를 고려한 다음 $A_{e}$ 그 결과를 원래 대수학에서 적용함으로써 설명의 상당 부분을 생략한다.그러나 늘 그렇지는 않다.예를 들어 바나흐 대수에서 정체성 없이 모든 삼각함수를 정의할 수는 없다.null

진짜 바나흐 알헤브라의 이론은 복잡한 바나흐 알헤브라의 이론과 매우 다를 수 있다.예를 들어, 비경쟁적 복합 Banach 대수학의 요소의 스펙트럼은 절대 비워둘 수 없는 반면, 실제 Banach 대수학에서는 일부 원소에 대해 비어 있을 수 있다.null

바나흐 알헤브라는 또한 p-adic 숫자의 영역에 걸쳐 정의될 수 있다.이것은 p-adic 분석의 일부분이다.null

예

바나흐 대수학의 원형 예는 C $C_{0}(X)$ ( $C_{0}(X)$ ) $C_{0}(X)$ 인데 $C_{0}(X)$ 무한대로 사라지는 국소적 컴팩트(하우스도르프) 공간에서 (복잡하게 값을 매긴) 연속함수의 공간이다. $C_{0}(X)$ $C_{0}(X)$ ( $C_{0}(X)$ ) $C_{0}(X)$ 은(는) X가 콤팩트한 경우에만 일탈적이다 $C_{0}(X)$ .무의식적인 복합적 결합인 $C_{0}(X)$ $C_{0}(X)$ ( $C_{0}(X)$ ) $C_{0}(X)$ 은 사실 C*-algebra이다 $C_0(X)$ .좀 더 일반적으로, 모든 C*-algebra는 정의상 Banach 대수학이다.null

실제(또는 복잡한) 숫자의 집합은 절대값으로 주어진 규범을 가진 바나흐 대수다.
모든 실제 또는 복잡한 n-by-n 행렬의 집합은 우리가 그것을 하위-증배적 행렬 규범과 함께 갖추면 단일 Banach 대수학으로 된다.
노르말 x = max_i x로 Banach 공간ⁿ R(또는ⁿ C)을 취하고 곱셈 구성 요소를 다음과 같이 정의하십시오. (x₁,..., x_n)(y₁,..., y_n) = (xy₁₁,..., xy_n_n).
쿼터니온은 4차원 실제 바나흐 대수학을 형성하며, 규범은 쿼터니온의 절대값에 의해 주어진다.
일부 집합에 정의된 모든 경계 실질 또는 복합 가치 함수의 대수(점수 곱셈과 우월적 표준)는 단수 바나흐 대수다.
지역적으로 콤팩트한 일부 공간에서 모든 경계된 연속 실제 또는 복합적 가치 함수의 대수(점수 연산 및 우월적 규범과 동일)는 바나흐 대수다.
바나흐 공간 E에 있는 모든 연속 선형 연산자의 대수(기능적 구성을 곱으로 하고 연산자 규범을 표준으로 한다)는 단수 바나흐 대수다.E의 모든 콤팩트 연산자 집합은 바나흐 대수이며 닫힌 이상이다. $희미$ 한 E = $\infty$ ^[1]이면 정체성이 없다.
만약 G가 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 위상학군이고 μ가 그것의 하아 측정군이라면, G에 있는 모든 μ-적분함수의 바나흐 공간¹ L(G)은 convolution xy(g) = = x(h) y(h⁻¹) d μ(h) d μ(h)에 따른¹ 바나흐 대수군이 된다.^[2]
균일 대수학: 바나흐 대수학(Banach 대수학)은 최상규범을 가진 복합 대수학 C(X)의 하위 대수학이며 상수를 포함하고 X의 점(이것은 콤팩트한 하우스도르프 공간이어야 한다)을 구분한다.
Natural Banach 함수 대수: X 지점에서의 평가가 특징인 모든 균일한 대수.
C*-알지브라: Banach 대수로서, 일부 힐버트 공간의 경계 연산자 대수에서 *-하위 연산자 대수에서 닫힌 *하위수.
측정 대수: 국소적으로 콤팩트한 일부 집단에 모든 라돈 측정으로 구성된 바나흐 대수로서, 두 측정의 산출물은 조치의 수렴에 의해 주어진다.^[2]

백작샘플

quaternions $\mathbb {H}$ ${\$ 의 대수는 실제 바나흐 대수(따라서 복잡한 바나흐 대수)는 $\mathbb {H}$ 아니지만, 쿼터니온의 중심이 실제 숫자라는 단순한 이유로 복잡한 대수(따라서 복잡한 바나흐 대수)는 아니며, 복잡한 숫자의 사본을 포함할 수 없다.null

특성.

파워 시리즈를 통해 정의되는 몇 가지 기본 함수는 모든 유니탈 바나흐 대수에서 정의될 수 있다. 예를 들어 지수함수와 삼각함수, 그리고 보다 일반적으로 전체 함수를 포함한다.(특히 지수 지도를 사용하여 추상 인덱스 그룹을 정의할 수 있다.)기하학적 시리즈에 대한 공식은 일반적으로 Unital Banach Algebras에서 유효하다.이항 정리는 바나흐 대수학의 두 가지 통근 요소에도 적용된다.null

어떤 유니탈 바나흐 대수학에서든 변위할 수 없는 원소 집합은 오픈 집합이며, 이 집합에 대한 반전 연산은 연속적이어서(따라서 동형성) 곱셈에 따라 위상학적 집단을 형성한다.^[3]null

Banach 대수학에서 단위 1을 갖는 경우, 1은 정류자가 될 수 없다. 즉, x, y, y, 1 1에 $xy-yx\neq \mathbf {1}$ $xy-yx\neq \mathbf {1}$ x - $xy-yx\neq \mathbf {1}$ $xy-yx\neq \mathbf {1}$ $xy-yx\neq \mathbf {1}$ 1 ${\$ xy와 yx의 스펙트럼은 0을 제외하고 동일하기 때문이다.

위의 예에 제시된 함수의 다양한 알헤브라는 실제와 같은 알헤브라의 표준 예와는 매우 다른 성질을 가지고 있다.예를 들면 다음과 같다.

분업 대수인 모든 진짜 바나흐 대수학은 실족, 콤플렉스 또는 쿼터니온과 이형성이다.따라서, 분업 대수인 복잡한 바나흐 대수학만이 콤플렉스다.(이것을 겔판드-마주르 정리라고 한다.)
제로가 없는 모든 실제 바나흐 대수는 모든 주요 이상이 닫힌 상태에서 실체, 콤플렉스 또는 쿼터니온에 대해 이형성이다.^[4]
0점자가 없는 모든 교감 실제 유니탈 노메트리안 바나흐 대수는 실제 또는 복잡한 숫자에 이형화된다.
모든 상호 작용의 실제 노에테리아 바나흐 대수학(아마도 제점(divisors)은 유한한 차원이다.
바나흐 알헤브라의 영구적인 단수 원소는 0의 위상학적 구분자 즉, 바나흐 알헤브라의 확장 B를 고려한다 주어진 대수 A에서 단수인 일부 원소는 바나흐 대수 확장 B에 승수 역원소가 있다.A에서 0의 위상학적 구분자는 A의 Banach 확장자 B에서 영구히 단수적이다.

스펙트럼 이론

복잡한 분야 위에 있는 유니탈 바나흐 알헤브라는 스펙트럼 이론을 발전시키기 위한 일반적인 설정을 제공한다. $\sigma (x)$ ( x $\sigma (x)$ ) ${\displaystyle \sigma (x$ 에 의해 표시된 원소 x a A의 스펙트럼은 모든 복잡한 스칼라로 구성되며, 따라서 x - λ1은 A에서 변환할 수 없다.원소 x의 스펙트럼은 반경 x와 중심 0으로 C에서 닫힌 디스크의 부분집합이므로 콤팩트하다.또한 요소 x의 스펙트럼 $\sigma (x)$ $\sigma (x)$ ) $\sigma(x)$ 은 비어 있지 않으며 스펙트럼 반경 공식을 만족한다.

\\displaystyle \sup\{ \putda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \inflt }\x^{n}\{1/n}.}

x ∈ A를 주어, 홀오모르픽 함수 $\sigma (x).$ 은 $\sigma (x).$ ( $\sigma (x).$ ) . ${\displaystyle \sigma (x$ )의 근방에 있는 어떤 함수 ƒ(x) hol(x) ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ \ \ \ \ \ \ \ \ $\sigma (x).$ \ \ \ \ \ \ \ \ 을 정의할 수 있다. $}$ 더 나아가 $\sigma (x).$ 스펙트럼 매핑 정리는 다음을 보유한다.

\displaystyle \sigma(f(x)=f(\sigma(x))).}

^[5]

바나흐 대수 A가 복잡한 바나흐 공간 X(예: 제곱 행렬의 대수)에 대한 경계 선형 연산자의 대수 L(X)일 때, A의 스펙트럼의 개념은 연산자 이론에서 일반적인 것과 일치한다.ƒ ∈ C(X) (콤팩트한 하우스도르프 공간 X)의 경우 다음과 같이 본다.

\\displaystyle \sigma(f)=\{f(t):t\in X\}.}

C*-알지브라 정규 원소 x의 표준은 스펙트럼 반경과 일치한다.이것은 일반 운영자들에게 유사한 사실을 일반화한다.null

A는 모든 0이 아닌 원소 x가 반전 가능한 복잡한 단이탈 바나흐 대수학(분할 대수학)이 되도록 하라.모든 a A에 대해, - 11이 반전될 수 없는 (a의 스펙트럼이 비어 있지 않기 때문에) λ C가 존재하므로 a = algebra1 : 이 대수 A는 C와 자연적으로 이형화된다(겔판드-마주르 정리의 복잡한 경우).null

이상과 인물

A를 C에 대한 단항 Banach 대수학으로 하자.그때 A는 유닛이 있는 정류 링이기 때문에, A의 모든 불가역적인 요소는 A의 어떤 최대 이상에 속한다.Since a maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ in A is closed, $A/{\mathfrak {m}}$ is a Banach algebra that is a field, and it follows from the Gelfand–Mazur theorem that there is a bijection between the set of all maximal ideals of A and the set Δ(A) of all nonzero homomorphisms from A to C.설정된 Δ(A)는 A의 "구조 공간" 또는 "문자 공간"이라고 불리며, 그 구성원은 "charactors"이다.

문자 χ은 A에서 동시에 승법하는 선형기능으로 χ(ab) = χ(a) χ(b)를 만족하며 b(1) = 1. 문자의 낟알은 닫히는 최대 이상이기 때문에 모든 문자는 자동으로 A에서 C까지 연속된다.더욱이 문자의 규범(즉, 연산자 규범)은 하나이다.A에 점성 수렴의 위상(즉, A의^∗ 약한-* 위상에 의해 유도되는 위상)을 갖추고 있는 문자 공간인 Δ(A)는 하우스도르프 콤팩트 공간이다.null

어떤 x ∈ A에 대해서도

\sigma(x)=\sigma({\hat {x}})

여기서 ${\hat {x}}$ ${\hat {x}}$ ${\$ 은 ${\hat {x}}$ $($ 는) x ${\hat {x}}$ ^ ${\hat {x}}$ {\ $displaystyle {\hat{$ ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ }}은(는) x ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ ( ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ ) = ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ ( x ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ ) ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ . ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ {\ $displaystystyle {\}(\chi )=\chi (x$ )로 정의된 x의 Gelfand 표현이다 ${\hat {x}}$ . $}}$ 위 ${\hat {x}},$ 에서 $\hat x,$ x ${\hat {x}},$ , ${\hat{x}$ 의 $\hat x(\chi) = \chi(x).$ 스펙트럼은 콤팩트 공간 Δ(A)에 대한 복잡한 연속함수의 대수 C(Δ(A)의 요소로서 스펙트럼이다.분명히,

{\displaystyle \sigma({\hat

\chi \in \Delta (A

대수학으로서, 단수 역학 바나흐 대수학(즉, 그것의 제이콥슨 급진은 0이다)은 그 게르만드 대표성이 사소한 커널을 가지고 있는 경우에만 구현된다.그러한 대수학의 중요한 예는 상호 작용 C*-알지브라이다.사실, A가 교번적 유니탈 C*-알지브라일 때, Gelfand 표현은 A와 C(Δ(A) 사이의 등축 * 이형성이다.^[a]

바나흐 *알제브라스

Banach *-algebra A는 복잡한 숫자의 분야에 대한 Banach 대수학이며, 지도 * : A → A와 함께 다음과 같은 특성을 가지고 있다.

(x*)* = A의 모든 x에 대한 x(그러므로 지도는 비자발적임)
(x + y)* = 모든 x에 대해 x* + y*(A)
$(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ $λ$ $x$ ) $(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ = ${\bar {\lambda }}$ λ $(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ x $(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ x $(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ x { { { { { ${$ { { { { { { { { { ${$ { { { { { { { { { { { { { { { ${$ { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { {
(xy)* = 모든 x에 대해 y* x*, A의 y.

즉, Banach *-algebra는 $\mathbb {C}$ ${\$ 에 대한 Banach 대수학이며, 이것도 $\mathbb {C}$ *-algebra이다.null

대부분의 자연적인 예에서, 사람들은 또한 무의식적인 등축, 즉,

x* = A의 모든 x에 대한 x

일부 저자들은 바나흐 *-알지브라 정의에 이 등축 속성을 포함한다.null

x* x = x* x를 만족하는 Banach *-algebra는 C*-algebra이다.null

참고 항목

메모들

^ 증명: 교감 C*-알지브라 모든 요소가 정상이기 때문에 Gelfand 표현은 등축이다. 특히 주입성이고 이미지가 닫힌다.그러나 겔판드 표현에 대한 이미지는 스톤-웨이어스트라스 정리에 의해 밀도가 높다.

참조

^ 콘웨이 1990, 사례 VII.1.8.
^ ^a ^b 콘웨이 1990, 사례 VII.1.9.
^ 콘웨이 1990, 정리 VII.2.2.
^ García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez (1995). "A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem". Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (9): 2663–2666. doi:10.2307/2160559. ISSN 0002-9939.
^ 타케사키 1979, 발의안 2.8.

Bollobás, B (1990). Linear Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38729-9.
Bonsall, F. F.; Duncan, J. (1973). Complete Normed Algebras. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.
Dales, H. G.; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, G. A. (2003). Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-53584-0.
Mosak, R. D. (1975). Banach algebras. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press). ISBN 0-226-54203-3.
Takesaki, M. (1979). Theory of Operator Algebras I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 124 (1st ed.). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN 0938-0396.

[6] 증명: 교감 C*-알지브라 모든 요소가 정상이기 때문에 Gelfand 표현은 등축이다. 특히 주입성이고 이미지가 닫힌다.그러나 겔판드 표현에 대한 이미지는 스톤-웨이어스트라스 정리에 의해 밀도가 높다.

[1] 콘웨이 1990, 사례 VII.1.8.

[harvnb_conway_1990_example_VII.1.9.-2] 콘웨이 1990, 사례 VII.1.9.

[3] 콘웨이 1990, 정리 VII.2.2.

[4] García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez (1995). "A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem". Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (9): 2663–2666. doi:10.2307/2160559. ISSN 0002-9939.

[5] 타케사키 1979, 발의안 2.8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[a]

v t 스펙트럼 이론과 -알게브라스
기본개념	비자발성/-알지브라 바나흐 대수 B-알지브라 C-알지브라 비확정 위상 투영 값 측정값 스펙트럼 C-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 연산자 공간
주요 결과	겔판-마주르 정리 겔판트-나이마크 정리 헬프랜드 표현 극분해 단수 값 분해 스펙트럼 정리 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 요소/운영자	이소스펙트랄 정상 운영자 에르미트어/자체 성도 운영자 유니타리 운영자 구성 단위
스펙트럼	크레인-루트만 정리 정규 고유값 C*-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 스펙트럼 비대칭 스펙트럼 격차
스펙트럼 분해	(연속) 포인트 잔차) 근사점 압축 이산형 스펙터클 애브시사
스펙트럼 정리	보렐 함수 미적분학 미니맥스 정리 양의 연산자 값 측정값 투영 값 측정값 리에즈 프로젝터 리그드 힐버트 공간 스펙트럼 정리 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 알헤브라스	아메나블 바나흐 대수 대략적인 정체성 포함 바나흐 함수 대수 디스크 대수 균일대수학 폰 노이만 대수 토미타-다케사키 이론
유한 차원	알론-보파나 바운드 바우어-파이크 정리 숫자 범위 슈르-혼 정리
일반화	디락 스펙트럼 필수 스펙트럼 유사점 구조물 공간(Silov 경계)
잡다한	추상지수군 바나흐 대수 코호몰로지 코언-휴이트 인자화 정리 대칭 연산자의 확장 흡수원리 제한 언바운드 연산자
예	비너 대수
적용들	거의 마티외 연산자 코로나 정리 드럼의 모양(Dirichlet eigenvalue)을 들음 열 커널 쿠즈넷소프 미량식 락스 페어 프로토-값 함수 라마누잔 그래프 랠리-파버-크란 불평등 스펙트럼 기하학 스펙트럼법 일반 미분방정식의 스펙트럼 이론 스투름-리우빌 이론 슈퍼스트롱 근사치 전송 연산자 변형 이론 바일법 비너-킨친 정리

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