중앙 합성 설계

통계학에서 중심 합성 설계는 완전한 3-수준 요인 실험을 사용하지 않고도 반응 변수에 대한 두 번째 차수(차수) 모형을 만드는 데 유용한 실험 설계입니다.

설계된 실험이 수행된 후 결과를 얻기 위해 선형 회귀가 때로는 반복적으로 사용됩니다.코드화된 변수는 이 설계를 구성할 때 자주 사용됩니다.

실행

설계는 세 가지 실험 런 집합으로 구성됩니다.

1. 각각 두 가지 수준이 있는 연구 인자의 요인 설계(아마도 부분 설계)
2. 각 요인의 값이 요인 부분에 사용된 값의 중위수가 되는 실험 런인 중앙점 집합입니다.이 점은 실험의 정밀도를 높이기 위해 종종 반복된다.
3. 축 점 집합, 즉 한 요인을 제외하고 중앙점과 동일한 실험 런으로, 두 요인 수준의 중위수 아래 값과 위 값, 일반적으로 둘 다 해당 범위를 벗어납니다.모든 요인은 이런 식으로 다양합니다.

설계 매트릭스

k개의 요인을 포함하는 중심 합성 계획법 설계 실험의 설계 행렬은 세 가지 유형의 실험 런에 해당하는 다음 세 가지 다른 부품을 포함하는 행렬 d에서 파생됩니다.

1. 요인 실험을 통해 얻은 행렬 F입니다.요인 수준은 값이 +1 및 -1로 코딩되도록 조정됩니다.
2. 코드화된 변수에서 (0,0,0,...,0)으로 표시되는 중앙점의 행렬 C. 여기서 0은 k개입니다.
3. 2k개의 행이 있는 축 점의 행렬 E입니다.각 인자는 순차적으로 ±α에 배치되고 다른 모든 인자는 0에 배치됩니다.α의 값은 설계자가 결정합니다.임의의 값이지만 일부 값은 설계에 바람직한 속성을 부여할 수 있습니다.이 부분은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf{E}={\begin{bmatrix}\alpha&0&, 0&, \cdots, \cdots &, \cdots &, 0\\{-\alpha}&, 0&, 0&, \cdots &, \cdots &, \cdots &, 0\\0&, \alpha&0&, \cdots &, \cdots &, \cdots &, 0\\0&,{-\alpha}&, 0&, \cdots &, \cdots &, \cdots &, 0\\\vdots & &,{}&,{}&,{}&,{}&,{}&, \.Vdots, 0&, 0&, 0&, \cdots &, \cdots;0&, 0&, 0& \alpha \\0& &, \cdots &, \cdots &,{-\alpha}\\\end{bmatrix}}\\0&.}$

다음으로 d는 수직 연결입니다.

${\displaystyle \mathbf {d} = smathbf {F} \\mathbf {C} \\mathbf {E} \end{bmatrix}}.}$

선형 회귀 분석에서 사용되는 설계 행렬 X는 1s 열(절편), d 및 d 열의 모든 요소 곱의 수평 연결입니다.

$\displaystyle \mathbf {X} = syslog {bmatrix}\mathbf {d} &\mathbf {d} (1) \times \mathbf {d} (3) &\cdots & \mathbf {d} (k)$

여기서 d(i)는 d의 ih 열을 나타냅니다.

α 선택

α의 유용한 값을 선택하는 방법은 여러 가지가 있습니다.F를 요인 설계로 인한 점 수로 하고 T = 2k + n을 추가 점 수로 합니다. 여기서 n은 설계의 중앙점 수입니다.일반적인 값은 다음과 같습니다(Myers, 1971).

1. $직교{\displaystyle }$ 설계: α $=$ (${\displaystyle Q}$ ×${\displaystyle F}$ /${\displaystyle {}^{}4\mathrm{}}$ )${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}}{\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ( $Q \ times F$ /$4$ )^{$1$/4$$} , \ !$$} ($여기$서 Q${\displaystyle =}$ (${\displaystyle \sqrt{}F\sqrt{}}$ +${\displaystyle \sqrt{T}}$ -${\displaystyle F\sqrt{}}$ )$$ ( \ $display style$ Q =$sqrt { F$ + $T$} ) - { $F }$ } } } ^{ }$$} } }
2. 회전식 설계 : α = F^1/4 (MATLAB의 ccdesign 함수에 의해 구현된 설계)

최적화를 위한 중심 복합 설계 적용

Response Surface Methodology와 같은 통계적 접근방식을 사용하여 운영 요소의 최적화를 통해 특정 물질의 생산을 극대화할 수 있습니다.기존 방법과는 달리 프로세스 변수 간의 상호작용은 통계적 기법에 의해 결정될 수 있다.예를 들어, 한 연구에서 온도, 시간 및 에탄올 농도를 포함한 볏짚의 유기소르브 전처리의 중요 매개변수의 영향을 조사하기 위해 중앙 복합 설계가 사용되었습니다.반응 ^[1]변수로 잔류 고체, 리그닌 회수, 수소 수율이 선택되었다.

레퍼런스

마이어스, Raymond H. 반응 표면 방법론.보스턴:Allyn and Bacon, Inc, 1971