제임스의 정리

수학, 특히 함수 분석에서, 로버트 C의 이름을 딴 제임스의 정리. 제임스, 바나흐 $공간 X$ 는 $X$ $X$ 의 $모든$ 연속 선형함수가 $X$ 의 $닫힌$ 단위 공에 그 우위에 도달하는 $X$ 경우에만 반사된다고 말합니다 $.$

이 정리보다 강한 버전은Banach $X$ 의 약하게 닫힌 부분 $집합$ C({ $displaystyle$ C $})$ 는 $C$ $X$ $X$ 의 각 연속 선형 함수가 C $.$ {{ $displaystyle$ C $}$ 의 최대값에 도달하는 $X$ 경우에만 약하게 압축된다는 것입니다. $}$

그 정리의 완전성 가설은 ^[1]무시할 수 없다.

진술들

X $(디스플레이 스타일$ X $)$ 가 고려하는 $X$ $X$ 은 실제 Banach 공간 또는 복잡한 공간일 수 있습니다.연속되는 이중 공간은 X $X^{\prime }.$ . $X^{\prime }.$ { \ $displaystyle$ X ^ { \ $prime }$ 로 $X^{\prime }.$ $X^{\prime }.$ 됩니다. X{ \ $displaystyle$ $X$ } 에서 $X$ $X$ 의 제한 스칼라에 의해 도출된 ℝ-Banach 공간의 토폴로지 $X_{\mathbb {R} }^{\prime }.$ 은 X R $X_{\mathbb {R} }^{\prime }.$ 로 $표시됩니다.$ {\ $mathbb {R}$ {R}^{\ prime $}$ 이 $X_{\mathbb {R} }^{\prime }.$ $X$ 에만 해당됩니다.e ${\displaystyle$ $\mathbb {R}$ X $}$ 이 $X$ $\mathbb {R}$ $($ ) R {\ $displaystyle$ \mathbb { $R}$ $X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.$ 인 $경우$ $X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.$ R $X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.$ $X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.$ $X$ $X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.$ 。{\ $mathbb$ {R $} }^{\prime }$ = $X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.$ X^{\prime $X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.$ } } } $X_{\mathbb {R} }^{\prime }=X^{\prime }.$ 。

James 콤팩트성 기준 - X $(\displaystyle$ X $)$ 를 $X$ Banach 공간, $(\displaystyle$ A $)$ 를 $A$ X $displaystyle$ X $)$ 의 $X.$ 약하게 닫히지 않은 서브셋으로 $합니다$ $.$ 다음 조건은 동일합니다.

$디스플레이 스타일$ A는 $A$ 약하게 컴팩트합니다.
$\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ $f\in X^{\prime },$ X $f\in X^{\prime },$ 、 { \ $display style$ $f\in X^{\prime },$ f \ $in$ X ^ { \ prime $f\in X^{\prime },$ $}$ $}$ = $\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ f $\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ ( $\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ ) $\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ f $\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ ( $\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ ) $\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ . \ $displaystyle \ left$ ( $a_{0}\in A$ $a _$ 0 ) \ right $= sup$ A $a$ 0 $\left|f\left(a_{0}\right)\right|=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ $a_{0}\in A$ $a_{0}\in A$ 。
$임의$ 의 $f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },$ $f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },$ R $f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },$ 、 { \ $displaystyle$ f \ $in X$ _ { \ $mathbb$ { R $a_{0}\in A$ $}^{$ \ prime $a_{0}\in A$ }}에 $f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },$ $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ $a_{0}\in A$ f $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ ( $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ ) $=$ $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ f ( $a$ ) $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}|f(a)|.$ . $displaystyle$ $f$ \ $left ( a$ ) $_$ $0$ . right .
$임의$ 의 $f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },$ $f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },$ R $f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },$ 、 { \ $displaystyle$ f \ $in X$ _ { \ $mathbb$ { R $a_{0}\in A$ $}^{$ \ prime $a_{0}\in A$ }}에 $f\in X_{\mathbb {R} }^{\prime },$ $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}f(a).$ $a_{0}\in A$ f $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}f(a).$ ( $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}f(a).$ ) $=$ $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}f(a).$ f ( $a$ ) $f\left(a_{0}\right)=\sup _{a\in A}f(a).$ . $displaystyle$ $f$ \ $left ( a$ ) $_$ $0$ . right . $}$

연속 선형 형태의 노름은 이 볼에 대한 모듈의 상한이기 때문에 닫힌 단위 볼이 약하게 압축된 경우에만 반사적인 바나흐 공간은 이것으로부터 추론할 수 있다.

James의 정리 — $바나흐$ 공간X(\ $displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 모든 $f\in X^{\prime },$ $f\in X^{\prime },$ $},$ {\displaystyle $f^{\prime}$ 에 $f\in X^{\prime },$ 대해 $a\in X$ {\ $displaystyle$ a $\$ $in$ $a\in X$ $X$ } $f(a)=\|f\|.$ f ( $a$ $f(a)=\|f\|.$ f $f(a)=\|f\|.$ $display style f =$ f } f } f로서 요소가 $a\in X$ 하는 경우에만 반사적입니다 $.$

역사

역사적으로, 이 문장들은 역순으로 증명되었다.1957년에 제임스는 분리 가능한 바나흐^[2] 공간에 대한 반사율 기준을 증명했고 1964년에는 일반 바나흐 ^[3]공간에 대한 반사율 기준을 증명했다.반사율은 단위구의 약한 콤팩트성과 동등하기 때문에 빅터 L. Klee는 1962년에 단위구의 콤팩트성 기준으로 이것을 재구성하고 이 기준이 약하게 콤팩트한 ^[4]양을 특징짓는다고 가정했다.이것은 1964년 ^[5]제임스에 의해 실제로 증명되었다.

「」를 참조해 주세요.

바나흐-알라오글루 정리 – 이중 공간의 닫힌 공은 약* 콤팩트합니다.
비숍-펜스 정리
Eberlein-Shmulian 정리 – 바나흐 공간에서 세 가지 다른 종류의 약한 콤팩트성 관련
마주르의 법칙 – 바나흐 공간에서 약하게 수렴하는 시퀀스의 강한 수렴 조합
골드스틴 정리

레퍼런스

James, Robert C. (1957), "Reflexivity and the supremum of linear functionals", Annals of Mathematics, 66 (1): 159–169, doi:10.2307/1970122, JSTOR 1970122, MR 0090019
를 클릭합니다Klee, Victor (1962), "A conjecture on weak compactness", Transactions of the American Mathematical Society, 104 (3): 398–402, doi:10.1090/S0002-9947-1962-0139918-7, MR 0139918.
를 클릭합니다James, Robert C. (1964), "Weakly compact sets", Transactions of the American Mathematical Society, 113 (1): 129–140, doi:10.2307/1994094, JSTOR 1994094, MR 0165344.
를 클릭합니다James, Robert C. (1971), "A counterexample for a sup theorem in normed space", Israel Journal of Mathematics, 9 (4): 511–512, doi:10.1007/BF02771466, MR 0279565.
를 클릭합니다James, Robert C. (1972), "Reflexivity and the sup of linear functionals", Israel Journal of Mathematics, 13 (3–4): 289–300, doi:10.1007/BF02762803, MR 0338742.
Megginson, Robert E. (1998), An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 183, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98431-3

[1] 제임스(1971년)

[2] 제임스(1957)

[3] 제임스(1964)

[4] Klee (1962)

[5] 제임스(1964)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v t 스페이스 토픽의 배너치
Banach 공간의 유형	애스플런드 바나흐 목록. 바나흐 격자 그로텐디크 힐베르트 내부 제품 공간 편파 항등식 (다항식) 재귀적 리에즈 L-반내 제품 (B) 엄밀히 말하면 균일) 볼록형 균일하게 매끄러운 (주입형 투영)텐서 곱(힐버트 공간의 경우)
바나치 공간은 다음과 같습니다.	바렐레드 완성하다 F공간 프레셰 길들여진 국소 볼록 Seminorms/Minkowski 함수 Mackey 미터기블 표준 규범 준규격 고정관념
기능 공간 토폴로지	듀얼 이중 공간 이중 노름 교환입니다. 초약 약한 북극의 교환입니다. 강한. 북극의 교환입니다. 울트라스트롱 균일한 컨버전스
선형 연산자	인접 쌍선형 형태 교환입니다. 반직선의 (무제한) 닫힘 작은 힐베르트 공간에 (Dis) 연속 촘촘히 정의되어 있다 프레드홀름 커널 교환입니다. 힐베르트-슈미트 기능 긍정의 의사 모노톤 보통의 핵 자기접속 엄밀하게 단수 트레이스 클래스 전치 유니터리
연산자 이론	바나흐 대수 C-algebras 연산자 공간 스펙트럼 C대수 반지름 스펙트럼 이론 ODE의 스펙트럼 정리 극성 분해 특이값 분해
정리	앤더슨-카데크 바나흐-알라오글루 바나흐-마주르 바나흐 삭스 Banach-Schauder(오픈 맵핑) 바나흐-슈타인하우스 (균일한 경계성) 베셀 부등식 코시-슈바르츠 부등식 닫힌 그래프 폐쇄 범위 에베를레인슈물리안 프로이덴탈 스펙트럼 겔판드마주르 겔판드나이마크 골드스타인 한-바나흐 하이퍼플레인 분리 카쿠타니 정점 크레인 밀먼 로모노소프의 불변 부분 공간 Mackey-Arens 마주르의 보조군 M. Riesz 확장자 파스발 항등식 리에즈 보조군 Riesz 표현 로빈슨 우르제스쿠 쇼더 고정점
분석.	추상 와이너 공간 바나흐 다양체 묶음 보흐네르 공간 볼록 급수 프레셰 공간에서의 차별화 파생상품 프레셰 가토 기능하다 완전 형상의 준의 통합 보히네루 던포드 겔판드페티스 규제된 페일리-위너 약한 함수 미적분 보렐 계속되는 완전 형상의 방안 르베게 투영값 벡터 약한/강한 측정 가능 함수
세트의 종류	절대 볼록 흡수. 아핀 균형/원순 유계 볼록하다 볼록 원뿔(하위 집합) 볼록 계열 관련 ((cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (낮음) 이상적으로 볼록, (Hx) 및 (Hwx) 선형 원뿔(하위 집합) 방사형 반지름 볼록/별 모양 대칭 조노토프
서브셋/설정 조작	아핀 선체 (상대) 대수적 내부(코어) 경계점 볼록 선체 극한점 내부 선형 스팬 민코프스키 덧셈 북극의 (준) 상대 내부
예	절대 연속성 AC $ba(\Sigma)$ c공간 바나흐 좌표 BK $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ B $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ s ( $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ )({ $displaystyle$ B_ ${p,q}^{s}(\mathbb {R})})$ 번바움-올리츠 유계 변동 BV B공간 K 콤팩트 하우스도르프를 사용한 연속 C(K) 하디^p H 힐베르트 H $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ L $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ （ $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ $）$ { $displaystyle$ L $^{\lambda,p}(\Omega )$ } ℓ^p $^{\infty}$ L^p $L^{\infty}$ 가중치 있는 Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ ( $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ ) { $displaystyle$ S \ $left$ ( \ $mathbb$ { $R$ } ^ { $n$ } \ $right )$ 시갈-바르그만 F 시퀀스 공간 소볼레프^k,p W 소볼레프 부등식 트리벨-리조르킨 Wiener $W(X,L^{p})$ W ( $W(X,L^{p})$ , $W(X,L^{p})$ ) { $displaystyle$ W ( $X$ , $L^$ { $p$ } )
적용들	미분 연산자 유한요소법 양자역학의 수학적 공식화 정규 미분 방정식(ODE) 검증된 수치

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