에베를린-슈물리안 정리

Eberlein–Šmulian theorem

기능 분석의 수학적 분야에서 에벌레인-슈물리안 정리(William Frederick Eberlein과 Witold Lowitsch Schmulian의 이름을 따서 명명)는 바나흐 공간에서의 세 가지 다른 종류의 약한 콤팩트함을 연관시킨 결과물이다.

성명서

에베를린-슈물리안 정리:[1] X가 Banach 공간이고 A가 X의 부분 집합인 경우, 다음 문장은 동등하다.

  1. A의 각 원소 순서는 X에서 약하게 수렴되는 부속을 가진다.
  2. A 원소의 각 시퀀스에는 X에 약한 클러스터 포인트가 있다.
  3. A의 약한 폐쇄는 약하게 압축되어 있다.

A 세트는 세 가지 다른 방법으로 약하게 압축될 수 있다.

에베를린-슈물리안 정리는 이 세 가지가 바나흐 공간의 약한 위상 위에서 동등하다고 말한다.이러한 등가성은 일반적으로 미터법 공간에 대해 사실이지만, 약한 위상은 무한 차원 벡터 공간에서 메트리가 가능하지 않기 때문에 에베를린-슈물리안 정리가 필요하다.

적용들

에베를린-슈물리안 정리는 PDE 이론에서, 특히 소볼레프 공간에서는 중요하다.많은 소볼레프 공간은 반사적인 바나흐 공간이며 따라서 경계 하위 세트는 알라오글루의 정리에 의해 약하게 사전 컴팩트된다.따라서 그 정리는 경계된 하위 집합이 순차적으로 사전 컴팩트가 약하다는 것을 암시하고 있으며, 따라서 그 공간의 경계된 요소들의 모든 배열에서 공간 안에서 약하게 수렴되는 부분열을 추출할 수 있다.많은 PDE들이 약한 의미에서의 해결책만을 가지고 있기 때문에, 이 정리는 어떤 취약한 해결책의 공간을 PSE를 해결하는데 사용할 것인지를 결정하는 중요한 단계다.

참고 항목

참조

  1. ^ 콘웨이 1990, 페이지 163.

참고 문헌 목록

  • Conway, John B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
  • Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
  • Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience.
  • Whitley, R.J. (1967), "An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem", Mathematische Annalen, 172 (2): 116–118, doi:10.1007/BF01350091.
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