바나흐 공간 목록

기능 분석의 수학적 분야에서 바나흐 공간은 가장 중요한 연구 대상이다.수학적 분석의 다른 영역에서도 실제로 발생하는 대부분의 공간은 바나흐 공간인 것으로 밝혀졌다.

클래식 바나흐 공간

디에스텔(1984, 7장)에 따르면 고전적인 바나흐 공간은 던포드&슈워츠(1958)가 정의한 공간이며, 이는 다음 표의 근원이 된다.

아래 표의 기호 용어집:

• ${\displaystyle \mathbb{F}}$ ${\$는) 실제 번호 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 또는$$ 복잡한 $번호{\displaystyle \mathbb{}}$ C${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {C}}$의 필드를 나타낸다$$.
• ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$는 콤팩트한 하우스도르프 공간이다.
• ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$ are real numbers with ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ that are Hölder conjugates, meaning that they satisfy ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1}$ and thus also ${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}.$$}$
• ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle \Sigma }$은(는) {$${\$displaystyle \sigma$} -algebra$$ 집합이다.
• ${\displaystyle \mathrm{\xi }}$ ${\displaystyle \Xi}$은 집합의 대수(ba space와 같이 유한 부가성이 필요한 공간에만 해당)이다$$.
• ${\displaystyle }$$\mu {\displaystyle }$$[\displaystyle \mu }$은(는) 변동 ${\displaystyle \mu }$를 가진 측정값이다$.$ ${\displaystyle \sigma }$ -algebra에$$ 정의된 실제 값 양의 집합함수로, 이 함수는 계산적으로 가산적이다.

클래식 바나흐 공간
	이중공간	반사적	약하게 순차적으로 완성되다.	규범		메모들
${\displaystyle \mathb{F} ^{n}}$	${\displaystyle \mathb{F} ^{n}}$	네	네	${\displaystyle \ x\ _{2}}:$	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n} x_{i}^{2}\오른쪽)^{1/2}}$	유클리드 공간
${\displaystyle \ell _{p}^{n}}}$	${\displaystyle \ell_{q}^{n}}}$	네	네	${\displaystyle \ x\ _{p}}$	${\displaystyle =\좌측(\sum _{i=1}^{n} x_{n}^{p}\오른쪽)^{\frac {1}{p}}}}$
${\displaystyle \ell _{\infully }^{n}}}$	${\displaystyle \ell _{1}^{n}}}$	네	네	$\\displaystyle \ x\ _{\flotty }$	${\displaystyle =\max \maximits _{1\leq i\leq n} x_{i}}}$
${\displaystyle \ell ^{p}}$	${\displaystyle \ell ^{q}}$	네	네	${\displaystyle \ x\ _{p}}$	${\displaystyle =\좌(\sum _{i=1}^{\inflt }x_{i}^{p}\우)^{\frac {1}{p}}}}$
${\displaystyle \ell ^1}$	${\displaystyle \ell ^{\ft}}$	아니요.	네	${\displaystyle \ x\ _{1}$	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{\infit }\왼쪽 x_{i}\오른쪽 }}$
${\displaystyle \ell ^{\ft}}$	${\displaystyle \displayname {ba} }$	아니요.	아니요.	$\\displaystyle \ x\ _{\flotty }$	${\displaystyle =\sup \sup \subimits _{i}\왼쪽 x_{i}\오른쪽 }$
${\displaystyle \displayname {c} }$	${\displaystyle \ell ^1}$	아니요.	아니요.	$\\displaystyle \ x\ _{\flotty }$	${\displaystyle =\sup \sup \subimits _{i}\왼쪽 x_{i}\오른쪽 }$
${\displaystyle c_{0}}$	${\displaystyle \ell ^1}$	아니요.	아니요.	$\\displaystyle \ x\ _{\flotty }$	${\displaystyle =\sup \sup \subimits _{i}\왼쪽 x_{i}\오른쪽 }$	등각형이지만 등축은 $c{\displaystyle .}$ ${\displaystyle c.}$에 해당되지 않음
${\displaystyle \vmname {bv} }$	${\displaystyle \ell ^{\ft}}$	아니요.	네	${\displaystyle \ x\ _{bv}}$	${\displaystyle =\왼쪽 x_{1}\오른쪽 +\sum _{i=1}^{\nothy }\왼쪽 x_{i+1}-x_{i}\오른쪽 }$	ometric ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle \ell ^{$$1$}에 대한 등축성 이형.$}$
${\displaystyle \vmname {bv} _{0}}$	${\displaystyle \ell ^{\ft}}$	아니요.	네	${\displaystyle \ x\ _{bv_{0}}$	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{\infit }\왼쪽 x_{i+1}-x_{i}\오른쪽 }$	ometric ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle \ell ^{$$1$}에 대한 등축성 이형.$}$
$\displaystyle \vmsname {bs}$	${\displaystyle \displayname {ba} }$	아니요.	아니요.	${\displaystyle \ x\ _{bs}}$	${\displaystyle =\sup \sup \subimits _{n}\왼쪽 \sum _{i=1}^{n}x_{i}\오른쪽 }}$	$\ell$에 대한 등축성 이형${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \ell ^{\inflt }}$
${\displaystyle \designname {cs} }$	${\displaystyle \ell ^1}$	아니요.	아니요.	${\displaystyle \ x\ _{bs}}$	${\displaystyle =\sup \sup \subimits _{n}\왼쪽 \sum _{i=1}^{n}x_{i}\오른쪽 }}$	$등축$과 c${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ c$.}$ 사이의 등축성 이형성
${\displaystyle B(K,\Xi )}$	${\displaystyle \operatorname {ba}(\Xi )}$	아니요.	아니요.	${\displaystyle \ f\ _{B}}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{k\in K}f(k) }$
$C(K)}$	${\displaystyle \operatorname {rca}(K)}$	아니요.	아니요.	${\displaystyle \ x\ _{C(K)}}$	${\displaystyle =\max \nolimits _{k\in K}f(k) }$
${\displaystyle \operatorname {ba}(\Xi )}$	?	아니요.	네	${\displaystyle \\mu \ _{ba}}$	$\displaystyle =\sup \nolimits _{S\in \Sigma } \mu (S)}$
${\displaystyle \operatorname {ca}(\Sigma )}$	?	아니요.	네	${\displaystyle \\mu \ _{ba}}$	$\displaystyle =\sup \nolimits _{S\in \Sigma } \mu (S)}$	${\displaystyle \mathrm{ba}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ )$$. {\$displaystyle \operatorname {ba}(\$Sigma )의 $닫힌$ 하위$$공간.$}$
${\displaystyle \operatorname {rca}(\Sigma )}$	?	아니요.	네	${\displaystyle \\mu \ _{ba}}$	$\displaystyle =\sup \nolimits _{S\in \Sigma } \mu (S)}$	${\displaystyle \mathrm{ca}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {ca}(\Sigma$)의 닫힌 하위 공간.$}$
${\displaystyle L^{p}(\mu )}$	${\displaystyle L^{q}(\mu )}$	네	네	${\displaystyle \ f\ _{p}}$	${\displaystyle =\왼쪽(\int f ^{p}\,d\mu \right)^{\frac{1}{p}}}$
${\displaystyle L^{1}(\mu )}$	$L^{\displaystyle L^}(\mu )}$	아니요.	네	${\displaystyle \ f\ _{1}$	$\\displaystyle =\int f \,d\mu }$	$($${\displaystyle \mu )}$ ${\displaystyle$\mu$}$이$($가) $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mu$}-finite인 $경우{\displaystyle {}^{}}$ 이중은 L${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$μ${\displaystyle {}^{}}$μ ) {\displaystyle L^{\$infit }(\$$displaysty$ style \$sigma }).$
${\displaystyle \operatorname {BV}([a,b])}$	?	아니요.	네	${\displaystyle \ f\ _{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}f(x)}$	${\displaystyle V_{f}([a,b]).$$}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 총 변동 수입니다.
${\displaystyle \operatorname {NBV}([a,b])}$	?	아니요.	네	${\displaystyle \ f\ _{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])}$	${\displaystyle \operatorname {NBV} ([a,b])}$ consists of ${\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b])}$ functions such that ${\displaystyle \lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0}$
${\displaystyle \operatorname {AC}([a,b])}$	${\displaystyle \mathb {F} +L^{\infit }([a,b])}$	아니요.	네	${\displaystyle \ f\ _{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}f(x)}$	소볼레프 공간 W ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$)에 대한 이형성${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ W$^{1,1}([a,b])$$}$
${\displaystyle C^{n}([a,b])}$	${\displaystyle \vmsname {rca}([a,b])}$	아니요.	아니요.	$\displaystyle \ f\ }$	${\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}\supp \immits _{x\in [a,b]}\왼쪽 f^{(i)}(x)\오른쪽 }$	$본질적$으로 테일러의 정리에 의해 R ${\displaystyle {}^{}c}$ C${\displaystyle }$(${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$]${\displaystyle }$) , ${\displaystyle \mathb {R}$^{$n}\oplus C([a,b])]$에 대한 이소모르픽(Isomorphic)으로 되어 있다.

다른 분석 영역의 공간 차단

• 아스플룬드 공간
• 하디 공간
• 경계 평균 진동 함수의$$ ${\displaystyle \mathrm{BMO}}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO}$ 공간
• 경계 변동의 함수 공간
• 소볼레프 공간
• Birnbaum-Orlicz 공간 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$(${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle$ L$^{A}(\mu).$$}$
• 홀더 공간 ${\displaystyle C^{k}(\Oomega).}$
• 로렌츠 공간

counterexample로 사용되는 공간 차단

• 제임스의 공간, 바나흐 공간은 슈워더 기반이 있지만 무조건적인 슈워더 베이스가 없는 공간이다.또한 제임스의 공간은 이중 이중과 등축성이지만 반사적으로 되지 못한다.
• Tsirelson 공간은 ${\displaystyle {\ell }^{}}$p {\$displaystyle$\ell ^{$p}$와 c$$0 {\$displaystyle$c_{$0}$ 둘 다 삽입할$$ 수 없는 반사형 바나흐 공간이다.
• W.T. Gowers construction of a space ${\displaystyle X}$ that is isomorphic to ${\displaystyle X\oplus X\oplus X}$ but not ${\displaystyle X\oplus X}$ serves as a counterexample for weakening the premises of the Schroeder–Bernstein theorem^[1]

참고 항목

• 토폴로지 목록 - 콘크리트 토폴로지 및 토폴로지 공간 목록
• 민코프스키 거리

메모들

참조

• Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience.