반정규 분포

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반정규 분포

확률밀도함수 ${\displaystyle \chostma =1}$
누적분포함수 ${\displaystyle \chostma =1}$
매개변수	> ${\displaystyle \sigma >0}$ - (척도)
지원	$[0,\displaystyle x\in [0,\fty )}$
PDF	${\displaystyle f(x;\sqrt {2}}:}{\frac {\sqrt{\pi }}}}\exp \frac{x^{2}}:{2\fracma ^{2}}:\오른쪽)\frac x>0}$
CDF	${\displaystyle F(x;\sigma )=\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sigma {2}}:\오른쪽)}$
퀀틸레	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt{2}}\operatorname {erf}^{-1}(F)}$
평균	${\displaystyle {\frac {\\sqrt {2}}:{\sqrt {\pi}}}}$
중앙값	${\displaystyle \sqrt {2}}\basname {erf} ^{-1}(1/2)}$
모드	${\displaystyle 0}$
분산	${\displaystyle \chba ^{2}\왼쪽(1-{\frac {2}{\pi }}\오른쪽)}$
왜도	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(4-\pi )}{{(\pi -2)^{3/2}}\약 0.9952717}$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle {\frac {8(\pi -3)}{(\pi -2)^{2}}\약 0.869177}$
엔트로피	${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\log _{2}\왼쪽(2\pi e\pima ^{2}\오른쪽)-1}$

확률 이론과 통계에서 반정규 분포는 접힌 정규 분포의 특별한 경우다.null

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 일반 정규 분포를 따르도록$$ 하고, $N{\displaystyle }$( 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ N $(0,\sigma$^{$2$ Y = X ${\displaystyle \{\backslash displaysty}$Y= X }이$(가)$반 정규$$분포를 따르도록$$ 한다.따라서 반정규 분포는 평균이 0인 보통 정규 분포의 평균에서 접히는 것이다.null

특성.

정규 분포의 $of{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ 파라메트리지를$$ 사용하여 반정규 분포의 확률밀도함수(PDF)를 다음과 같이 제공한다.

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt{\pi}}}}}{\sigma {\sqrt{\}}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}}}}\{2}}\오른쪽)\quad y\geq 0,}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $E{\displaystyle }$[ Y ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mu }$= μ = ${\displaystyle \sigma \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{}}}$ ${\$ = ${\frac {\sigma{\sqrt${2$}}}{\sqrt {\pi$ $\}\}\}\}\}\}\}\}.$

또는 스케일링 정밀도(분산의 반대) 파라메트리제이션($\sigma {\displaystyle }$ = ${\displaystyle \pi \frac{\sqrt{}}{}}$$${\$displaystyle \sigma$}이$$(가) 0에 가까운 문제를 방지하기 위해$)$을 사용하여 ${\displaystyle =}$ = = 2 σ ${\displaystyle \frac{\sigma \sqrt{\mathrm{}}}{}}$ 2 ${\$sigma${\$sqrt${\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}\tea ^{2}}:{\pi }\오른쪽)\quad y\geq 0,}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $E{\displaystyle }$[ Y ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mu }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mu }{}}$ = ${\$ = ${\frac {1}{\theta$ $\}\}\}.$

누적분포함수(CDF)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{{0}{1}{1}{\frac{1}{2}{\pi }}}\}}}}{\expret(-\frac{x^{2}}\}\sigma ^{2}\d},d},d}$

변수 변경 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ /${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$) $displaystyle z=x/({\sqrt{2}}\sigma )}$를 사용하여 CDF를 다음과 같이 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

여기서 erf는 많은 수학 소프트웨어 패키지의 표준 함수인 오류 함수다.null

퀀텀 함수(또는 역 CDF)는 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt{2}}\operatorname {erf}^{-1}(F)}$

여기서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$ 및 ${\displaystyle {\mathrm{erf}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$은 역오차 함수다.

그 다음 기대는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi},}$

분산은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {var}(Y)=\sigma ^{2}\왼쪽(1-{\frac {2}{\pi }}\오른쪽).}$

이는 X의 분산 σ에² 비례하기 때문에 σ은 새로운 분포의 척도 모수로 볼 수 있다.null

반정규 분포의 차등 엔트로피는 같은 두 번째 모멘트가 0인 0평균 정규 분포의 차등 엔트로피보다 정확히 1비트 작다.이는 (입력 시 확률 분포가 짝수인 경우) 크기 연산자가 정보를 1비트 감소시키기 때문에 직관적으로 이해할 수 있다.또는, 반 정규 분포는 항상 양의 분포이므로 표준 정규 랜덤 변수가 양수(예: 1)인지 음수(예: 0)인지를 기록하는 데 필요한 1비트는 더 이상 필요하지 않다.그러므로,

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{1}:{2}}\\log _{2}\왼쪽({\frac {\pi e\sigma ^{2}}}\오른쪽)={\frac {1}{1}{2}}\log _{2}\pi e\sigma ^{2}\오른쪽)-1.}$

적용들

반정규 분포는 일반적으로 베이시안 추론 적용에서 분산 모수에 대한 사전 확률 분포로 사용된다.^[1][2]null

모수 추정

주어진 숫자${\displaystyle }${ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}{}_{}{}_{}^{}}$} i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 반정규 분포에서 도출된$$ 경우 해당 분포의$$ 알 수 없는 매개 변수 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$을(를) 최대우도 방법으로 추정할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\hat {\\sqrt{1}{n1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}:$

편향은 다음과 같다.

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\\sigma }}_{\matrm {mle}}-\sigma )\;{\bigg ]=-{\frac {\sigma}}}}}}}}$

편향-편향 최대우도 추정기를 산출한다.

${\displaystyle {\hat {\b\ma \,}_{\text{mle}^{*}={\hat {\ma \,}}={\mle}-{\hat {b\,}}.}$

관련 분포

• 분포는 μ = 0으로 접힌 정규 분포의 특별한 경우다.
• 또한 0에서 아래로 잘린 0-평균 정규 분포와 일치한다(잘린 정규 분포 참조).
• Y가 반 정규 분포를 갖는 경우(Y/62)² 자유도가 1인 기 제곱 분포, 즉 Y/8은 자유도가 1인 기 분포를 가진다.
• 반정규 분포는 d = 1, p = 2, a = $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt{2}}\sigma }$을(를) 갖는 일반화된 감마 분포의 특별한 경우다$.$
• Y의 정규 분포가 반이면 Y는 ^-2 부담금 분포를 가진다.
• Rayleigh 분포는 반정규 분포의 모멘트 및 척도 일반화.

수정

수정된 반 정규 분포

표기법	${\displaystyle {\text{MHN}\왼쪽(\알파,\베타,\감마 \오른쪽)}$
매개변수	${\displaystyle \alpha >0,\beta >0{\text{ 및 }}\gamma \in \mathb {R}}$
지원	${\displaystyle x>0}$
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$
CDF	${\displaystyle F_{\text{M$$$$HN}}}(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\frac {\\alpha }{2}}}{\psi {\좌({\frac {\alpha }}}},{\frac {\sqrt {}}}}\}\}\rigma}\오른쪽)$$}}}}\sum _{i=0}^{\inflt }{\frac {\flac ^{i}}{2i!$$}}}\cHB ^{-{\frac {\bask +i}{2$$}$$}}}\cHB({\frac{\fract +i}{2}},\properties$ x$^{2$}),$$} 여기서$$$\gamma {\displaystyle (s}$, y$){\displaystyle\property (s,y)}$는 하한 미완성 감마 함수를 나타낸다.
평균	${\displaystyle E(X)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{\frac {1}{2}}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$ ${\displaystyle X_{\text{mode}\leq E(X)\leq {\fracma +{\\sqrt {\\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}}}}{4\text{}}}}}}}}}}}}{}\alpha alpha >1.}$
모드	= + + 8 (- 1) > ${\displaystyle X_{\text{mode}}={\frac {\gamma +{\sqrt{{2}+8\beta (\alpha$-1$)}}}{4\beta$}}{{{{$text}.$
분산	${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +2}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta \Psi \left({\frac {\alpha }{2}},$${\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}-\left[{\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{\frac {1}{2}}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}\right]^{2}}$.

수정된 반 정규 분포(MHN)^[3]는 실제 선의 양의 부분에서 지원되는 연속 확률 분포의 3-모수 계열이다.감마 분포의 잘린 정규 분포, 반 정규 분포 및 제곱근은 NHN 분포의 특별한 경우다.null

NHN 분포는 확률 모델을 사용하며, 방향 데이터의 베이지안 모델,^[4][5] 베이시안 이항 회귀 분석,^[6] 베이시안 그래픽 모델을 포함한 다수의 MMC(Markov Chain Monte Carlo) 기반 베이시안 절차에 추가적으로 나타난다.^[7]NHN 분포는 현대 통계 모델링 및 관련 연산과의 관련성을 나타내는^[11] 다양한 연구 영역에서 발생한다.또한 순간과 그 다른 순간 기반 통계(분산, 왜도 포함)는 Fox-Right Psi 함수를 통해 나타낼 수 있다.분포의 연속된 세 모멘트 사이에는 재귀적 관계가 존재한다.null

순간

• Let ${\displaystyle X\sim MHN(\alpha ,\beta ,\gamma )}$then for ${\displaystyle k\geq 0}$, then assuming ${\displaystyle \alpha +k}$ to be a positive real number ${\displaystyle E(X^{k})={\$$frac {\Psi \left({\frac {\alpha +k}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{\frac {k}{2}}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)$$}}}$

• If ${\displaystyle \alpha +k>0}$, then ${\displaystyle E(X^{k+2})={\frac {\alpha +k}{2\beta }}E(X^{k})+{\frac {\gamma }{2\beta }}E(X^{k+1})}$^[3]

• The variance of the distribution ${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {\alpha }{2\beta }}+E(X)\left({\frac {\gamma }{2\beta }}-E(X)\right)}$

NHN의 모달 특성화

> ${\displaystyle \alpha >0},$> ${\displaystyle \beta >0}$ 및 ∆ ${\$^[3]을$($를) 가진 $MHN($α, β,$$ \displayplaypector $\$$gammathb$.

• 분포의 확률밀도함수는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1$인 경우 로그 콘케이브다.
• 분포 모드는 + + - 1) > 이면 4 에 위치하며, > 1 ${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt{2}+8\beta (\alpha -1)}}{4\alpha >1$
• > ${\displaystyle \gamma$>$}$ 및 1 - 2 < 1 ${\displaystyle 1-{\frac {\gamma ^{2}}:{8\beta }}}\leq \alpha$<1$}$에 로컬 최대값이 있다.

${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}}$ and a local minima at ${\displaystyle {\frac {\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}}$.

• 만약 γ 을 그 밀도 함수 점차 R+{\displaystyle \mathbb{R}_{+}}과 분배의 모드 decresing, 0{\displaystyle \gamma>0}, 0<>α<1− γ 28β{0<, \alpha<>\displaystyle 1-{\frac{\gamma ^{2}}{8\beta}}}또는γ<0,α ≤ 1{\displayst 존재하지 않는다.yle \gamma<>0,\alpha$\leq 1$^[3] .

모드 및 예상 값을 포함하는 추가 속성

$X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{MHN}}$(${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$ ,${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle X\sim {\text{$α ≥ 1{\displaystyle \alpha \geq 1},β 을에 잠수함 이동 안전 구역}}(\alpha ,\beta ,\gamma)};0{\displaystyle \beta>0}과 γ ∈ R({}} 할게. X모드)γ+γ 2+8β(α − 1)4β{\displaystyle X_{\text{모드}}={\frac{\gamma+{\sqrt{\gamma ^{2}+8\beta(\alpha))}}}{4.\beta$}}}$은 분포의 모드를 나타낸다$$.모든 γ 들어 ∈ R{\displaystyle \gamma\in \mathbb{R}}만약α 1{\displaystyle \alpha 1}, X모드≤ E(X)≤ γ+γ 2+8α β 4β.{\displaystyle X_{\text{모드}}\leq E(X)\leq{\frac{\gamma+{\sqrt{\gamma ^{2}+8\alpha \beta}}}{4\beta}}.}의 차이는 상단 그리고 더 낮은 바운드 pr.ovi위의 불평등은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}이$($가) 커짐에 따라 0에 접근한다.따라서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 클 때$$ $E{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle E(X)}$의 고정밀 근사치를 제공하기도 한다.반면에, 만약γ>0{\displaystyle \gamma>0}과 ≥ 4{\displaystyle \alpha \geq 4}, 통나무 ⁡(X모드)≤ E(로그 ⁡(X)α)≤ 로그 ⁡(γ+γ 2+8α β 4β){\displaystyle \log(X_{\text{모드}})\leq E(\log(X))\log \left \leq({\frac{\gamma+{\sqrt{\gamma ^{2}+8\alpha \beta}}}{4\beta}}\righ.t=}모든α하다; 들어 0,β<>를 사용하여 0과γ∈ R{\displaystyle \alpha>0,\beta>0{\text{과}}\gamma\in \mathbb{R}}, 바르{\displaystyle{\text{바르}}(X)\leq{\frac{1}{2\beta}}}. 사실의 암시 E(X)≥ X모드{\displaystyle E(X)\geq X_{\text{모드}}}은 distributio은 ≤ 12β(X).는 얼마인가?positiv엘리가 ^[3]비뚤어진null

참고 항목

• 하프트 분포
• 잘린 정규 분포
• 접힌 정규 분포
• 수정 가우스 분포

참조

추가 읽기

• Leone, F. C.; Nelson, L. S.; Nottingham, R. B. (1961), "The folded normal distribution", Technometrics, 3 (4): 543–550, doi:10.2307/1266560, hdl:2027/mdp.39015095248541, JSTOR 1266560

외부 링크

• MathWorld의 반정규 분포

(MathWorld는 매개 변수 $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sigma }{}}$ ${\displaystyle \pi \sqrt{}}$/ ${\displaystyle \sqrt{2\mathrm{}}}$ ${\${1$}{\sigma }}{\sqrt{\pi$ /$2}})$를 사용한다는 점에 유의하십시오.