분수 미적분학

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

분수 미적분학은 분화 연산자 D의 실수 힘이나 복잡한 숫자 힘을 정의하는 여러 가지 다른 가능성을 연구하는 수학 분석의 한 분야다.

및 통합 연산자 J의

그리고 고전적인 것을 일반화하는 연산자를 위한 미적분학을 개발한다.

In this context, the term powers refers to iterative application of a linear operator D to a function f, that is, repeatedly composing D with itself, as in ${\displaystyle D^{n}(f)=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)=$$\underbrace {D(D(\cdots D} _{n}($f)\$cdots$ $)\}\}.$

예를 들면, 에 대한 의미 있는 해석을 요구할 수도 있다.

분화 연산자에 대한 기능 제곱근의 아날로그로서, 즉 어떤 기능에 두 번 적용하면 분화와 동일한 효과를 갖는다는 일부 선형 연산자에 대한 표현이다. 보다 일반적으로 선형 연산자를 정의하는 문제를 볼 수 있다.

모든 실수 a에 대해, 는 정수 값 n n Z를 취할 때, 일반적인 n-배율 분화 D는 n > 0일 경우, 그리고 (n)-th 파워는 n < 0일 때 J의 (-n)-th 파워와 일치한다.

어느는 미분 연산자 D의 확장의 이런 종류의 도입과 연구 이면에 있어는 동기의 매개 변수와 연산자 열강들의 이 방법으로 정의된{다 한∈ R}이 지속적인 semigroups는의 지속적인 의심부터, 정수 n에{데카넴 n∈ Z}의 원래 이산 반군은 의. 서브 그룹: 있다.mi집단은 잘 발달된 수학 이론을 가지고 있다. 그들은 수학의 다른 분야에도 적용될 수 있다.

분수 미분방정식은 별미분방정식이라고도 하며,^[1] 분수 미적분학을 응용하여 미분방정식을 일반화한 것이다.

역사 노트

응용 수학 및 수학적 분석에서 부분파생물은 실제 또는 복잡한 임의의 순서의 파생물이다. 그것의 첫 등장인물은 1695년 고트프리드 빌헬름 라이프니즈가 기욤 드 라흐피탈에게 쓴 편지에 있다.^[2] 비슷한 시기에 라이프니츠는 베르누이 형제들 중 한 명에게 두 가지 함수의 생산물의 부분적 파생에 대한 이항 정리와 라이프니즈 규칙의 유사성을 기술했다.^{[citation needed]} 분수차 미적분학 하나를 모든 요소를 발견할 수 있는 닐스 헨리크 아벨의 초기 papers[3]의:fractional-order 통합과 분화의 생각, 그들 간의 상호 역 관계는 이해가fractional-order 미분과 적분 같은 일반화된 operatio로 간주될 수 있다는 점에서 도입되었다.n, 그리고 심지어 임의의 실제 질서의 분화와 통합을 위한 통일된 표기법.^[4] 독자적으로, 이 문제의 기초는 1832년부터 리우빌에 의해 논문으로 제시되었다.^[5][6][7] Oliver Hubiside 자동변속기는 1890년 경에 송전 라인 분석에서 분율 미분 연산자의 실용화를 도입하였다.^[8] 분수 미적분학의 이론과 적용은 19세기와 20세기에 걸쳐 크게 확대되었고, 수많은 기여자들이 분수 유도체와 통합에 대한 정의를 내렸다.^[9]

분수계파생물의 특성

지점 x에서 함수 f(x)의 ats 파생상품은 a가 정수일 때만 국부적 특성이다. 이는 비정수파생상품의 경우에는 해당되지 않는다. 다시 말하면, x = a 함수 f(x)의 비정수자 부분파생상품은 a에서 멀리 떨어져 있는 f의 모든 값에 의존한다. 따라서, 부분파생상품 연산에는 어떤 종류의 경계조건이 수반되며, 기능에 대한 정보는 더 멀리까지 포함될 것으로 예상된다.^[10]

a를 주문하기 위한 함수의 부분적 파생상품은 현재 푸리에 또는 멜린 적분 변환을 통해 정의되는 경우가 많다.

휴리스틱스

상당히 당연한 질문은 다음과 같은 선형 연산자 H, 즉 반파생성이 존재하는가 하는 것이다.

그러한 연산자가 있는 것으로 밝혀지고, 실제로 a > 0에 대해서는, 다음과 같은 연산자 P가 존재한다.

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sf의 아니면 달리 말하자면, 적혀 있다.Rac.den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}dny/dxn n.의 모든 실제 값 위해 확장될 수 있

f(x)를 x > 0에 대해 정의된 함수가 되게 한다. 0에서 x까지의 명확한 적분을 형성한다. 이것을 부른다.

이 프로세스를 반복하면 다음과 같은 결과를 낳는다.

그리고 이것은 임의로 연장될 수 있다.

반복 통합을 위한 코치 공식, 즉

실제 n을 위한 일반화로 단도직입적으로 이끈다.

감마 함수를 사용하여 요인 함수의 이산 특성을 제거하면 적분 연산자의 부분 적용에 대한 자연적인 후보가 된다.

이것은 사실 잘 정의된 연산자다.

J 오퍼레이터가 만족한다는 것을 보여주는 것은 간단하다.

이 관계를 소수 상이한 통합 연산자의 세미그룹 속성이라고 한다. 불행히도 파생상품 사업자인 D에 대해 비교가능한 공정이 상당히 복잡하지만, 일반적으로 D는 상호보완적이지도 않고 첨가적이지도 않다는 것을 보여줄 수 있다.^[11]

기본 전력 함수의 분수계 파생 모델

f(x)가 형식의 단항이라고 가정해 보자.

첫 번째 파생상품은 평소와 같다.

이것을 반복하면 보다 일반적인 결과를 얻을 수 있다.

요인들을 감마 함수로 교체한 후

k = 1과 a = 1/2의 경우, x ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ 함수의 반분자를 다음과 같이$$ 구한다.

실제로 이것이 "하프 파생상품"(Hf²(x) = Df(x))이라는 것을 입증하기 위해 우리는 다음과 같은 과정을 반복한다.

($이유$는 $\gamma \mathrm{}$( $\frac{3}{}$2$$) = $\frac{\mathrm{}}{}$ 2 ${\$\!\$좌측({\frac$ {3$}{2}}\우측)={\frac {\sqrt{}}}}},$ =(1) = 1)의 기대되는 결과이기 때문이다.

음의 정수 검정력 k의 경우 감마 함수가 정의되지 않아 다음 관계를 사용해야 한다.^[12]

위의 차등 연산자의 이러한 확장은 실제 전력에만 구속될 필요는 없으며 복잡한 전력에도 적용된다. 예를 들어 (1 - i)- (1 + i)-의 파생상품은 두 번째 파생상품을 산출한다. 또한 수율 통합에 대한 음수 값 설정.

일반 함수 f(x)와 0 < α < 1의 경우, 완전한 부분파생물은 다음과 같다.

임의 α의 경우, 실제 부분이 음의 정수이고 가상 부분이 0인^{[dubious – discuss]} 인수에 대해서는 감마 함수가 정의되지 않기 때문에, 정수 유도체를 수행한 후에는 부분파생물을 적용할 필요가 있다. 예를 들어,

라플라스 변환

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2020년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

우리는 또한 라플라스 변환을 통해 그 질문에 대답할 수 있다. 그것을 알고 있다

, 그리고

그래서 우리가 주장하는 바는

.

예를 들어,

예상대로 사실, 수녀회 규칙을 보면

그리고 명확하게 하기 위해 p(x^{α − 1}) = x를 속인다면,

카우치가 위에서 우리에게 준 거야

라플레이스는 비교적 적은 함수에 대해 "작업"을 변환하지만, 종종 부분 미분 방정식을 푸는 데 유용하다.

소수집합체

리만-리우빌 분수 적분

분수 미적분학의 고전적 형태는 리만-리우빌 적분(Rieman-Louville 적분)에 의해 주어지는데, 이것은 본질적으로 위에서 설명한 것이다. 주기적 기능에 대한 이론(따라서 기간 후 반복의 "경계 조건"을 포함)은 Weyl 적분이다. 푸리에 시리즈에서 정의되며, 일정한 푸리에 계수가 사라지도록 요구한다(즉, 통합이 0으로 평가되는 단위 원의 기능에 적용된다). 리만-리우빌 일체형은 상부와 하부의 두 가지 형태로 존재한다. 간격 [a,b]을 고려하여 통합은 다음과 같이 정의된다.

전자가 t > a에 유효하고 후자가 t < b에 유효할 경우.^[13]

반면 귄발트-은레트니코프 파생상품은 적분 대신 파생상품으로 시작한다.

하다마드 분수 적분

하다마드 분수 적분은 자크 하다마드에^[14] 의해 소개되고 다음 공식에 의해 주어진다.

아탕가나발라누 분수 적분

연속 함수의 아탕가나-발레아누 분수 적분은 다음과 같이 정의된다.

분수파생상품

고전적인 뉴턴의 파생상품과 달리, 부분파생상품은 부드러운 기능에도 동일한 결과를 초래하지 않는 다양한 방식으로 정의될 수 있다. 이것들 중 일부는 분수 적분을 통해 정의된다. 정의의 양립불가능성 때문에 어떤 정의가 사용되는지 명시하는 것이 자주 필요하다.

리만-리우빌 분수계 파생상품

해당 파생상품은 차등사업자에 대해 라그랑주 규칙을 사용하여 계산한다. n번째 순서 파생상품을 순서의 적분(n - α), α 순서 파생상품을 계산한다. n은 α보다 큰 최소 정수(즉, n = ⌈α⌉)라고 말하는 것이 중요하다. 리만-리우빌 적분 정의와 유사하게, 파생상품은 상위 및 하위 변형이 있다.^[15]

카푸토 분수계

부분파생상품을 계산하기 위한 또 다른 옵션은 카푸토 부분파생상품이다. 1967년 논문에서 미슐레 카푸토에 의해 소개되었다.^[16] 리만-리우빌 분수파생상품과 대조적으로, 카푸토의 정의를 이용하여 미분방정식을 해결할 때는 분수순서의 초기 조건을 정의할 필요가 없다. 카푸토의 정의는 다음과 같이 설명되어 있는데, 여기서 다시 n = ⌈α⌉:

다음과 같이 정의된 Caputo 부분파생상품이 있다.

f(t)가 일정하고 그 라플라스 변환이 함수와 그 파생상품의 초기 값으로 표현될 때 0이라는 장점을 갖는다. 더욱이, 다음과 같이 정의되는 분산 주문의 카푸토 부분파생상품이 있다. 여기서 φ(ν)은 무게 함수로서 복수의 기억 형식주의의 존재를 수학적으로 나타내기 위해 사용된다.

카푸토-파브리지오 분수계 파생상품

2015년의 논문에서 M. 카푸토와 M. Fabrizio는 다음과 ${\displaystyle \mathrm{같이}}$$$ C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{1}$의 함수 $f{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(t)}$에 대해 단수 커널과 함께 분수 파생상품의 정의를 제시했다.

서< , ∈( 0, ${\displaystyle a<0,\$displaystyle $\in (0,1])}$

아탕가나-발레아누 분수분수파생성

2016년 아탕가나와 발야누는 일반화된 미타그-레플러 기능을 바탕으로 한 차등 연산자를 제안했다. 목표는 비송음 비로컬 커널을 가진 분수 미분 연산자를 도입하는 것이었다. 그들의 분수 미분 연산자는 각각 리만-리우빌 감각과 카푸토 감각으로 아래에 제시되어 있다. $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{1}$의 f (${\displaystyle }t{\displaystyle }$ )${\displaystyle$ f($t)} 함수:$

기능이 연속적인 경우, 리만-리우빌 의미에서의 아탕가나-발레아누 파생상품은 다음과 같이 제공된다.

아탕가나-발레아누 분수파생물에 사용되는 커널은 누적분포함수의 일부 속성을 가지고 있다. For example, for all ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$, the function ${\displaystyle E_{\alpha }}$ is increasing on the real line, converges to ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle -\infty }$, and ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$. Therefore, we have that, the function $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$) ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha }})$는 양의 실수에 대한 확률 측도의 누적 분포함수다. 따라서 분포는 정의되며, 그 배수의 어떤 것도 순서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 미탁-레플러 분포라고 불린다$.$ 또한 이러한 확률 분포는 모두 절대적으로 연속적이라는 것도 잘 알려져 있다. 특히 미타그-레플러 함수에는 지수함수인 특정 케이스 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가 있는데$,$ 따라서 순서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$의 미타그-레플러 분포는 지수 분포가 된다$$. 단, $\alpha {\displaystyle }$α (${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$의 경우$,$ 미타그-레플러 분포는 꼬리가 무겁다. 라플라스 변환은 다음과 같은 방법으로 제공된다.

${\displaystyle \mathb{E}(e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}}}$

이는 직접적으로 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle \alpha \in (0,$1$)\}$에 대해 기대치가 무한하다는 것을 의미한다. 또한 이러한 분포는 기하학적 안정 분포다.

리에즈 파생상품

Riesz 파생상품은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal {F}\{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial ^{\partial x\right ^{\alpha }}\right\}=\preteft k\{\mathcalpha }}},}}},}}}}}}}},}}$

여기서 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 푸리에 변환을 의미한다$$.^[20][21]

기타유형

고전적인 부분파생상품에는 다음이 포함된다.

• 그룬발트-레트니코프 파생상품^[22][23][24]
• 소닌-레트니코프 파생상품^[23]
• 리우빌 파생상품^[22]
• 카푸토 유도체^[22]
• 하다마드 파생상품^[22][25]
• 마마오드 파생상품^[22]
• 리에즈 파생상품^[23]
• 밀러-로스 파생상품^[22]
• 바일파생성기^[26][27][22]
• 에르델리-코버 파생상품^[22]

새로운 부분파생상품에는 다음이 포함된다.

• 코임브라 파생상품^[22]
• 카투캄폴라 유도체^[28]
• 힐퍼 파생상품^[22]
• 데이비드슨 파생상품^[22]
• 첸 파생상품^[22]
• 카푸토 파브리치오 파생상품^[18][29]
• 아탕가나-발레아누 파생상품^[18][30]

일반화

에르델리-코버 연산자

에르델리-코버 운영자는 아서 에르델리(1940년)가 도입한 일체형 운영사다.^[31] 헤르만 코버(1940년)^[32]는 에 의해 주어진다.

리만-리우빌 분수 적분과 웨일 적분을 일반화한다.

기능성 미적분학

기능 분석의 맥락에서, 힘보다 더 일반적인 함수 f(D)는 스펙트럼 이론의 기능 미적분학에서 연구된다. 사이비 차등 연산자 이론도 D의 힘을 고려할 수 있게 한다. 발생하는 연산자는 단일한 적분 연산자의 예로서 고전적 이론을 더 높은 차원으로 일반화하는 것을 리에츠 전위 이론이라고 한다. 그래서 이용할 수 있는 많은 현대 이론들이 있는데, 그 안에서 분수 미적분학을 논할 수 있다. 특수 기능 이론(Kober 1940), (Erdelyi 1950–51)에서 중요한 Erdelyi-Kober 연산자를 참조하십시오.

적용들

질량의 분수 보존

Wheatcraft와 Meerschaert(2008)에서 기술한 바와 같이,^[33] 이질성의 척도에 비해 제어 부피가 충분히 크지 않을 때와 제어 부피 내의 플럭스가 비선형일 때 유체 흐름을 모형화하기 위해 질량 방정식의 부분 보존이 필요하다. 참조 논문에서 유체 흐름에 대한 질량 방정식의 부분적 보존은 다음과 같다.

전기화학 분석

용액 내 기질의 redox 거동을 연구할 때 전극 표면에 전압을 가해 전극과 기질 간 전자전달을 강제한다. 그 결과 전자 전달은 전류로 측정된다. 전류는 전극 표면의 기질 농도에 따라 달라진다. 기질이 소모되면, 신선한 기질은 Fick's Law에 의해 설명되는 전극으로 확산된다. Fick의 두 번째 법칙의 Laplace 변환을 사용하면 일반적인 2차 차등 방정식(여기서 차원 없는 형태)을 얻을 수 있다.

솔루션 C(x,s)가 s에 대한 전력 의존도의 1/2을 포함하고 있는 솔루션 C(x,s)의 파생상품과 역 라플라스 변환을 취하면 다음과 같은 관계가 발생한다.

전극 표면의 기질 농도와 전류를 연관시킨다.^[34] 이 관계는 전기화학 운동학에서 기계론적 행동을 해명하기 위해 적용된다. 예를 들어, 전기화학적 감소에 따른 기판의 조광화 속도를 연구하기 위해 사용되어 왔다.^[35]

지하수 흐름 문제

2013–2014년 아탕가나 외 연구진은 부분순서의 파생상품 개념을 이용한 일부 지하수 흐름 문제를 설명했다.^[36][37] 이들 작품에서 고전적인 다아시 법칙은 물의 흐름을 비정수자 주문 유도체의 함수로 간주함으로써 일반화된다. 이 일반화된 법칙과 질량 보존 법칙은 지하수 흐름에 대한 새로운 방정식을 도출하는 데 사용된다.

분수 부착 분산 방정식

이 방정식은^{[clarification needed]} 이질 다공성 매체에서 오염물질 흐름을 모델링하는 데 유용하다는 것이 입증되었다.^[38][39][40]

아탕가나와 킬릭만은 분절결합분산식을 가변 순서식까지 확장했다. 그들의 연구에서는 변동 순서 파생상품의 개념을 이용하여 유체역동적 분산 방정식이 일반화되었다. 수정된 방정식은 크랭크-니콜슨 방식으로 수치적으로 해결되었다. 수치 시뮬레이션의 안정성과 수렴성은 수정된 방정식이 일정한 분수 및 정수 유도식을^[41] 갖는 방정식보다 변형 가능한 대수층에서 오염의 움직임을 예측하는 데 더 신뢰할 수 있다는 것을 보여주었다.

시간공간분수확산방정식 모델

복잡한 매체의 변칙적인 확산 과정은 부분 순서 확산 방정식 모델을 사용함으로써 잘 특징지어질 수 있다.^[42][43] 시간파생성 용어는 장기간 묵은 중꼬리 붕괴와 확산 비균형성에 대한 공간파생성에 해당한다. 시간 공간 부분확산 지배 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$

분절파생물의 단순한 확장은 가변 순서 분절파생물로, α와 β를 α(x, t)와 β(x, t)로 바꾼다. 비정상적인 확산 모델링에서의 그것의 적용은 참조에서 찾을 수 있다.^[41][44][45]

구조 댐핑 모델

분수 유도체는 폴리머와 같은 특정 유형의 재료에서 점탄성 댐핑을 모델링하는 데 사용된다.^[46]

PID 컨트롤러

부분 주문을 사용하기 위해 PID 컨트롤러를 일반화하면 자유도가 높아질 수 있다. 측정된 오류 값 e(t)의 관점에서 제어 변수 u(t)와 관련된 새로운 방정식은 다음과 같이 기록될 수 있다.

여기서 α와 β는 양의 분수 순서이고 K_p, K, K는_id 모두 음이 아닌 것으로서 각각 비례, 적분, 파생 항에 대한 계수를 나타낸다(때로는 P, I, D로 표시되기도 한다.^[47]

복합매체 음향파 방정식

생물 조직과 같은 복잡한 매체에서 음향파가 전파되는 것은 일반적으로 주파수 전력 법칙에 따른 감쇠를 의미한다. 이러한 종류의 현상은 분수 시간 유도체를 포함하는 인과파 방정식을 사용하여 설명할 수 있다.

Holm & Nesholm(2011)^[48] 및 관련 참고 자료를 참조하십시오. 그러한 모델은 다중 이완 현상이 복잡한 매체에서 측정된 감쇠를 발생시킨다는 일반적으로 인정되는 가설과 연계된다. 이 링크는 소음 감쇠 기사와 함께 Nésholm & Holm(2011b)^[49] 및 조사 논문에서 자세히 설명된다.^[50] 파워 로 감쇠 모델인 부분파 방정식을 비교한 논문은 Holm & Nasholm(2013)^[51]을 참조한다. 이 파워-법률 감쇠에 관한 책도 이 주제를 좀 더 자세히 다루고 있다.^[52]

판디(Pandey)와 홀름(Holm)은 물리 원리에서 도출하고, 유체 포화 미연결 해양 퇴적물에서와 같이 음향 매체의 매개변수에 있어서 분수 순서를 해석함으로써 분수 미분방정식에 물리적 의미를 부여했다.^[53] 흥미롭게도, 판디와 홀름은 분수 미적분학의 틀을 이용하여 뉴턴이 아닌 다른 리히어로 지진학과 뉴팅의 법칙에 관한 롬니츠의 법칙을 도출했다.^[54] 뉴팅의 법칙은 해양 퇴적물에서 파장 전파를 모형화하는 데 사용되었다.^[53]

양자이론의 분수 슈뢰딩거 방정식

분수 양자역학의 기본 방정식인 분수 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 형태를 가지고 있다.^[55][56]

여기서 방정식의 해법은 파동함수 ψ(r, t) – 입자가 주어진 시간 t에서 주어진 위치 벡터 r을 갖도록 하기 위한 양자 기계적 확률 진폭이며, ħ은 감소된 Planck 상수다. 잠재적 에너지 함수 V(r, t)는 시스템에 따라 달라진다.

또한 Δ = ∂/∂²r은² 라플라스 연산자, D는_α 물리적 차원[D_α] = J^{1 − α}·m^α·s^−α = kg^{1 − α}·m^{2 − α}·s^{α − 2}, (α = 2, 질량₂ m 입자의 경우 D = 1/2m), 연산자(-ΔΔ)는 3차원 분율 양자 리에즈 파생상품으로 정의된다.^2α/2

분수 슈뢰딩거 방정식의 지수 α는 레비 지수, 1 < α α ≤ 2이다.

가변 순서 분수 슈뢰딩거 방정식

분수계 슈뢰딩거 방정식의 자연 일반화로서 가변계수 분율 슈뢰딩거 방정식을 이용하여 분수계 양자 현상을 연구하였다.^[57]

여기서 Δ = ∂/∂²r은² 라플라스 연산자, 연산자(-ħΔ)^2β(t)/2는 가변 순서 부분 양자 리에즈 파생상품이다.

참고 항목

• 음향 감쇠
• 자기 회귀 분석 부분 통합 이동 평균
• 네오폴라로그램
• 비로컬 연산자

기타분수 이론

• 분수 역학
• 분수 푸리에 변환
• 분수 포아송 공정
• 분수 양자역학

메모들

참조

원천

• Kilbas, Anatolii Aleksandrovich; Srivastava, Hari Mohan; Trujillo, Juan J. (2006). Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Netherlands: Elsevier. ISBN 978-0-444-51832-3.

추가 읽기

분수 미적분학의 역사에 관한 토막글

• Ross, B. (1975). "A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus". Fractional Calculus and Its Applications. Fractional Calculus and Its Applications. Lecture Notes in Mathematics. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 457. pp. 1–36. doi:10.1007/BFb0067096. ISBN 978-3-540-07161-7.
• Debnath, L. (2004). "A brief historical introduction to fractional calculus". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 35 (4): 487–501. doi:10.1080/00207390410001686571. S2CID 122198977.
• Tenreiro Machado, J.; Kiryakova, V.; Mainardi, F. (2011). "Recent history of fractional calculus". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 16 (3): 1140–1153. Bibcode:2011CNSNS..16.1140M. doi:10.1016/j.cnsns.2010.05.027. hdl:10400.22/4149.
• Tenreiro Machado, J.A.; Galhano, A.M.; Trujillo, J.J. (2013). "Science metrics on fractional calculus development since 1966". Fractional Calculus and Applied Analysis. 16 (2): 479–500. doi:10.2478/s13540-013-0030-y. hdl:10400.22/3773. S2CID 122487513.
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책들

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외부 링크

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• MathWorld – 분수 미적분학
• MathWorld – Fractal 파생 모델
• 수학 페이지의 분수 미적분학
• 전문 저널: 미적분 및 응용 분석(1998–2014)과 미적분 및 응용 분석(2015년)
• 전문 저널: 분수 미분 방정식(FDE)
• 전문 저널: 분수 미적분학의 통신 (ISSN 2218-3892)
• 전문 저널: 분수 미적분 및 응용 분야 저널(JFCA)
• www.nasatech.com
• 이고르 포들루브니의 관련 서적, 기사, 링크, 소프트웨어 등의 소장품.
• GigaHedron – Richard Herrmann의 책, 기사, 프리프린트 등 소장품
• s.dugowson.free.fr
• Adam Loverro(노틀담 대학교)의 엔지니어 이력, 정의 및 애플리케이션(PDF)
• 분수 미적분 모델링
• 분수 미적분학 소개
• 동력법 & 분수 역학
• CRONE Toolbox, 분수 미적분 전용 Matlab 및 Simulink Toolbox, 자유롭게 다운로드 가능
• Závada, Petr (1998). "Operator of Fractional Derivative in the Complex Plane". Communications in Mathematical Physics. 192 (2): 261–285. arXiv:funct-an/9608002. Bibcode:1998CMaPh.192..261Z. doi:10.1007/s002200050299. S2CID 1201395.
• Závada, Petr (2002). "Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators". Journal of Applied Mathematics. 2 (4): 163–197. arXiv:hep-th/0003126. doi:10.1155/S1110757X02110102. S2CID 6647936.