공리

공리, 가정 또는 가정은 사실로 받아들여지는 진술로, 추가적인 추론과 주장을 위한 전제 또는 출발점이 된다.이 단어는 고대 그리스어 ίωμα(axioma)에서 유래했으며, 이는 '가치 있고 적합하다고 생각되는 것' 또는 '명백하다고 여겨지는 것'^[1]^[2]을 의미한다.

이 용어는 다양한 연구 분야의 맥락에서 사용될 때 정의에 미묘한 차이가 있습니다.고전 철학에서 정의되었듯이, 공리는 논쟁이나 ^[3]질문 없이 받아들여질 정도로 명백하거나 잘 확립된 진술이다.현대 논리학에서 사용되는 것처럼, 공리는 ^[4]추론의 전제 또는 출발점이다.

수학에서 사용되는 것처럼, 공리라는 용어는 관련이 있지만 구별이 가능한 두 가지 의미, 즉 "논리 공리"와 "비논리 공리"에서 사용됩니다.논리 공리는 보통 그들이 정의하는 논리 체계 내에서 참인 것으로 받아들여지고 종종 기호 형태로 나타난다(예: (A와 B)는 A를 의미함). 반면 비논리 공리는 특정 수학 이론의 영역에 대한 실질적인 주장이다(예: + b = b + a).

후자의 의미로 사용할 경우, "axiom", "postulate" 및 "acception"을 서로 바꿔 사용할 수 있다.대부분의 경우, 비논리적인 공리는 수학 이론을 구축하기 위해 추론에서 사용되는 형식적인 논리 표현일 뿐이며, 본질적으로 자명할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다(예: 유클리드 기하학에서 평행한 가정).지식의 체계를 공리화하는 것은 그것의 주장이 작고 잘 이해된 문장 집합으로부터 도출될 수 있다는 것을 보여주는 것이고, 주어진 수학적 영역을 공리화하는 데는 전형적으로 많은 방법이 있다.

모든 공리는 다른 진술이 논리적으로 도출되는 출발점이 되는 진술입니다.공리가 "참"이 되는 것이 의미가 있는지 없는지는 수학 ^[5]철학에서 논쟁의 주제이다.

어원학

공리란 그리스어 wordωμα(axioma)에서 유래한 말로, ioioeinein),),(axioein)의 동사 io theα from(axioein)의 동사 α the the from(axioin)의 동사 ααα from(axioin)에서 유래한 것으로, "가치 있다"는 뜻의 xiςςςςς ςςςςςςςςςςςςςςςςς"""""""""""""" also also also worthy"" the the the the worthy""""""""""""고대 그리스 철학자들 사이에서 공리는 증명의 ^[6]필요 없이 자명하게 사실로 보일 수 있는 주장이었다.

가정이라는 단어의 근본적 의미는 "요구"입니다. 예를 들어, 유클리드는 어떤 것들이 이루어질 수 있다는 것에 동의할 것을 요구합니다(예: 어떤 두 지점도 ^[7]직선으로 연결될 수 있습니다).

고대 기하학자들은 공리와 공식을 어느 정도 구별했다.유클리드의 저서에 대해 논평을 하면서, 프로클루스는 "기미누스는 이 [4번째] 가설은 가정으로 분류되지 않고 공리로서 분류되어야 한다고 생각했다. 왜냐하면 그것은 처음 세 개의 가설처럼 어떤 건설의 가능성을 주장하는 것이 아니라 본질적인 ^[8]속성을 표현하기 때문이다."라고 말한다.보에티우스는 'posticate'를 petitio로 번역하고 공리 개념을 공동체라고 불렀지만, 이후 필사본에서는 이 용법이 항상 엄격하게 지켜지지는 않았다.

역사적 발전

초기 그리스인

결론(새로운 지식)이 전제(옛 지식)에서 건전한 주장(심볼로지즘, 추론 규칙)의 적용을 통해 따르는 논리 추론 방법은 고대 그리스에 의해 개발되어 현대 수학의 핵심 원리가 되었다.동어법 제외, 아무것도 상정하지 않으면 아무것도 추론할 수 없다.따라서 공리와 공식은 주어진 연역적 지식의 기초가 되는 기본적인 가정이다.그것들은 시연 없이 받아들여진다.다른 모든 주장(수학의 경우 이론)은 이러한 기본 가정의 도움을 받아 입증되어야 한다.하지만, 수학 지식에 대한 해석은 고대에서 현대로 바뀌었고, 결과적으로 공리와 공식이라는 용어는 아리스토텔레스나 ^[6]유클리드에게 그랬던 것과는 조금 다른 의미를 가지고 있다.

고대 그리스인들은 기하학을 단지 여러 과학 중 하나로 여겼고, 기하학의 이론들을 과학적 사실과 동등하게 여겼다.이와 같이, 그들은 오류를 피하고 지식을 구조화 및 전달하기 위한 수단으로 논리 추론 방법을 개발하고 사용했다.아리스토텔레스의 사후 분석은 고전적 관점의 결정적인 설명이다.

고전 용어로 축은 과학의 많은 분야에 공통되는 자명한 가정을 가리켰다.좋은 예가 라고 하는 주장일 것이다.

같은 양을 같은 양으로부터 취하면 같은 양이 됩니다.

여러 과학의 기초에는 증거 없이 받아들여진 몇 가지 추가 가설이 있다.그러한 가설을 가정이라고 불렀다.공리들이 많은 과학에 공통적인 반면, 각각의 특정한 과학들의 공식은 달랐다.그들의 타당성은 실제 경험을 통해 입증되어야만 했다.아리스토텔레스는 만약 학습자가 가설의 ^[9]진실에 대해 의심한다면 과학의 내용은 성공적으로 전달될 수 없다고 경고한다.

고전적 접근은 유클리드의 요소에 의해 잘 설명되며^[a], 여기서 가정들의 목록이 주어지고(우리의 경험에서 도출된 공통-감각적 기하학적 사실), 그 뒤에 "공통 개념"의 목록이 이어진다(매우 기본적이고 자명한 주장).

포뮬레이트

어떤 점에서든 다른 점까지 직선을 그릴 수 있습니다.
선분을 양방향으로 연속적으로 연장할 수 있습니다.
모든 중심과 반지름을 가진 원을 설명할 수 있습니다.
모든 직각이 서로 같다는 것은 사실이다.
('병렬 공식')2개의 직선으로 떨어지는 직선이 같은 면의 내부 각도를 2개의 직각 미만으로 만들면 2개의 직선은 2개의 직각보다 작은 각도로 교차하는 것이 사실이다.

통념

같은 것과 같은 것은 또한 서로 같다.
동등에 더하면 도매는 동일하다.
등수를 등수에서 빼면 나머지가 등수입니다.
서로 일치하는 것은 서로 같다.
전체는 부분보다 크다.

근대적 발전

지난 150년 동안 수학이 배운 교훈은 수학적 주장(축, 공식, 명제, 정리)과 정의에서 의미를 제거하는 것이 유용하다는 것이다.어떤 연구에서도 원시적인 개념이나 정의되지 않은 용어나 개념의 필요성을 인정해야 한다.이러한 추상화 또는 형식화는 수학 지식을 더 일반적이고, 여러 다른 의미를 가질 수 있게 하고, 따라서 여러 맥락에서 유용합니다.알레산드로 파도아, 마리오 피에리, 그리고 주세페 페아노는 이 운동의 선구자였다.

구조주의 수학은 더 나아가, 특별한 적용 없이 이론과 공리를 발전시킨다."축"과 "가설"의 구분이 사라집니다.유클리드의 가설은 그것이 기하학적 사실의 풍부함으로 이어진다고 말함으로써 이익을 얻을 수 있는 동기가 된다.이러한 복잡한 사실의 진실은 기본적인 가설의 수용에 달려 있다.하지만, 유클리드의 다섯 번째 전제를 버림으로써, 사람들은 더 넓은 맥락에서 의미를 갖는 이론을 얻을 수 있다.따라서 "선" 및 "병렬"과 같은 라벨을 더 유연하게 사용할 수 있도록 준비해야 합니다.쌍곡기하학의 발달은 수학자들에게 공식을 경험에 기초한 사실이 아니라 순전히 형식적인 진술로 간주하는 것이 유용하다고 가르쳤다.

수학자들이 자기장 공리를 사용한다면, 그 의도는 훨씬 더 추상적이다.필드 이론의 명제는 어떤 특정한 응용 분야와도 관련이 없다; 수학자는 이제 완전한 추상화 속에서 일한다.분야에는 많은 예가 있다; 분야 이론은 그 모든 것에 대한 정확한 지식을 준다.

현장 이론의 공리를 "증거 없이 사실로 간주되는 제안"이라고 말하는 것은 옳지 않다.만약 주어진 덧셈과 곱셈 시스템이 이러한 제약을 충족한다면, 사람들은 즉시 이 시스템에 대한 많은 추가 정보를 알 수 있는 위치에 있습니다.

현대 수학은 수학 이론을 수학적 대상으로 볼 수 있을 정도로 그 기초를 공식화하고 수학 자체를 논리의 한 분야로 볼 수 있다.프레게, 러셀, 푸앵카레, 힐베르트, 괴델이 이 개발의 주요 인물들입니다.

현대 수학에서 배운 또 다른 교훈은 숨겨진 가정에 대한 증거들을 주의 깊게 살펴보는 것이다.

현대적 이해에서, 일련의 공리들은 공식적으로 진술된 주장들의 집합으로, 다른 공식적으로 진술된 주장들이 뒤따른다 - 잘 정의된 규칙들의 적용에 의해.이 관점에서 논리는 단지 또 다른 형식적인 시스템이 될 뿐이다.일련의 공리는 일관성이 있어야 한다; 공리에서 모순을 도출하는 것은 불가능해야 한다.일련의 공리는 또한 중복되지 않아야 한다; 다른 공리에서 추론할 수 있는 주장은 공리로 간주될 필요가 없다.

수학의 다양한 분야, 아마도 모든 수학이 일관된 기본 공리의 집합으로부터 파생될 수 있다는 것이 현대 논리학자들의 초기 희망이었다.형식주의 프로그램의 초기 성공은 힐베르트의 유클리드 ^[10]기하학의 공식화와^[b] 그 공리의 일관성의 관련 증명이었다.

더 넓은 맥락에서, 모든 수학이 칸토어의 집합론에 기초하려는 시도가 있었다.여기서 러셀의 역설과 이와 유사한 순진한 집합론의 반독점의 출현은 그러한 시스템이 일관성이 없는 것으로 판명될 가능성을 제기했다.

형식주의 프로젝트는 1931년 괴델이 충분히 큰 일련의 공리(예: 페아노의 공리)가 그 공리로부터 독립된 진실을 구성하는 것이 가능하다는 것을 보여주었을 때 결정적인 차질을 겪었다.결론적으로, 괴델은 페아노 산술과 같은 이론의 일관성이 그 ^[11]이론의 범위 내에서 입증할 수 없는 주장이라는 것을 증명했다.

무한하지만 직관적으로 접근할 수 있는 형식 체계인 자연수의 체계에 의해 충족되기 때문에 페아노 산수의 일관성을 믿는 것은 합리적입니다.그러나, 현재 집합론에 대한 현대 체르멜로-프랭켈 공리의 일관성을 입증할 수 있는 알려진 방법은 없다.더욱이 강제(코헨) 기술을 사용하면 연속체 가설(캔터)이 저멜로-프랭켈 ^[12]공리와 독립적이라는 것을 보여줄 수 있다.따라서, 이 매우 일반적인 일련의 공리들조차도 수학의 결정적인 토대라고 볼 수 없다.

기타 과학

수학과 논리와는 반대로 실험 과학은 또한 연역적 추론이 여전히 일반적이거나 특정한 실험 맥락에 훨씬 더 전문화된 속성을 예측하는 명제를 표현하기 위해 만들어질 수 있는 일반적인 설립 주장을 가지고 있습니다.예를 들어 고전역학의 뉴턴의 법칙, 고전 전자기학의 맥스웰 방정식, 일반상대성이론의 아인슈타인 방정식, 멘델의 유전법칙, 다윈의 자연선택법칙 등이 있다.이러한 설립 주장은 보통 수학적 공리와 구별하기 위해 원칙 또는 가정이라고 불립니다.

사실 수학에서의 공리와 실험과학에서의 공리의 역할은 다르다.수학에서는 공리를 증명하지도, 증명하지도 않는다.일련의 수학적 공리는 개념적인 영역을 고정하는 일련의 규칙을 제공하며, 그 안에서 이론들이 논리적으로 따라간다.반대로 실험과학에서는 일련의 공식은 실험 결과와 일치하거나 일치하지 않는 추론 결과를 허용해야 한다.만약 가설이 실험 예측을 추론할 수 없다면, 그들은 과학적인 개념적 틀을 설정하지 않고, 완성되거나 더 정확하게 만들어져야 한다.가설이 실험 결과의 추론 예측을 허용하는 경우, 실험과의 비교는 가설이 설치하는 이론을 위조(변조)할 수 있게 한다.이론은 조작되지 않는 한 유효하다고 간주됩니다.

수학 공리와 과학적 가설 사이의 전환은 항상 약간 모호합니다. 특히 물리학에서는요.이것은 물리 이론을 뒷받침하기 위해 수학적 도구를 많이 사용하기 때문이다.예를 들어, 뉴턴의 법칙의 도입은 유클리디언 기하학이나 그들이 암시하는 미적분학의 전제조건으로 확립되는 경우가 거의 없다.때 알버트 아인슈타인은 먼저 나는{나는\displaystyle}(나는 2cmx2+y2+z2{\displaystyle l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}정의된)을이 고정 수량은 더 이상은 유클리드 길이 특별한 상대성 이론을 발표한 것은 더. 그런데 민코프 스키 블랙 홀 간격 s{s\displaystyle}(로 정의되어 분명히 드러난다. $s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ s 2 $=$ $s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ 2 $s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ - $s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ - $s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ - $s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ ({ $displaystyle$ s $^{2$ }= $c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}})$ 및 밍코스키 평탄한 형상이 곡선 다지관상의 유사 리만 기하학으로 대체되는 일반 상대성 이론.

양자 물리학에서, 두 세트의 가정은 한동안 공존해 왔고, 이것은 위조의 아주 좋은 예를 제공한다.코펜하겐 학파(Niels Bohr, Werner Heisenberg, Max Born)는 분리 가능한 힐베르트 공간에서 벡터('상태')에 의한 양자 시스템을 기술하고 힐베르트 공간에서 작용하는 선형 연산자로서의 물리량을 포함하는 완전한 수학적 형식주의를 가진 연산 접근법을 개발했다.이 접근법은 완전히 반증이 가능하며 지금까지 물리학에서 가장 정확한 예측을 만들어냈다.하지만 자연스럽게 묻는 질문에 대한 답을 허용하지 않는 불만족스러운 측면이 있다.이러한 이유로, 알버트 아인슈타인, 에르빈 슈뢰딩거, 데이비드봄에 의해 한동안 또 다른 '숨겨진 변수' 접근법이 개발되었습니다.그것은 얽힘과 같은 현상에 결정론적 설명을 하기 위해 만들어졌다.이 접근방식은 코펜하겐 학교 설명이 완전하지 않다고 가정하고, 아직 알려지지 않은 변수를 이론에 추가하여 답이 없는 질문의 일부에 대답할 수 있도록 가정했다. (1935년에 EPR 역설로 논의되었다.)존 벨은 이 아이디어를 심각하게 받아들여 1964년 코펜하겐과 숨겨진 변수 사례에서 다른 실험 결과(벨의 부등식)를 이끌어낼 수 있는 예측을 도출했다.실험은 1980년대 초에 알랭 애스펙트에 의해 처음 수행되었고, 그 결과 단순한 은닉 변수 접근법이 제외되었다(정밀한 은닉 변수는 여전히 존재할 수 있지만 그들의 특성은 여전히 해결하려는 문제보다 더 혼란스러울 것이다).이것은 양자 물리학의 개념적 프레임워크가 현재 완전한 것으로 간주될 수 있다는 것을 의미하지 않는다. 왜냐하면 일부 열린 질문들이 아직 존재하기 때문이다.

수리논리

수학 논리학 분야에서, 두 개의 공리 개념 사이에 분명한 구별이 만들어집니다: 논리적인 것과 비논리적인 것 (각각 "axioms"와 "postates" 사이의 고대 구별과 약간 유사합니다.

논리 공리

이것들은 일반적으로 유효한 공식, 즉 모든 값의 할당에 의해 충족되는 공식입니다.보통 사람은 언어에서 모든 반복을 증명하기에 충분한 최소 반복 집합을 논리적 공리로 받아들인다; 술어 논리의 경우, 엄격한 의미에서 반복이 아닌 논리적 진실을 증명하기 위해 필요한 것보다 더 많은 논리적 공리를 필요로 한다.

예

명제논리

명제 로직에서는 일반적으로 다음 형식의 모든 공식을 논리 공리로 채택합니다. $\phi$ 서 {\ $\phi$ \ $displaystyle$ \ $phi$ $display$ \ $displaystyle$ \ chi $\chi$ $\psi$ \ $displaystyle$ \ psi $\psi$ can $\psi$ $\neg$ can $\neg$ display \ $displaystyle$ \ $psi$ $\neg$ can can in in in in in in in in in in " in in in in in in in in in in in inululululululululululululululululululululululululululululululululululululululululul선행 명제에서 후속 명제까지의 의미를 $나타내는$ $\to$ style $\to$ 의 바로 다음.

$\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )$
$(\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to (\phi \to \chi ) ）。$
$\displaystyle(\lphi\to\lpsi)\to(\psi\to\phi).}$

이들 패턴은 각각 공리 스키마로 무한대 수의 공리를 생성하기 위한 규칙입니다.예를 들어 A $(\displaystyle$ A $A$ B $(\displaystyle$ B $B$ $및$ $C$ (\ $displaystyle$ C $)$ 가 $C$ 명제 변수인 $A\to (B\to A)$ A $A\to (B\to A)$ ( $B$ $→$ A ) $및$ $(A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))$ ( $(A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))$ $(A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))$ A ) $A\to (B\to A)$ $(A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))$ ( $A$ B $(A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))$ ioms. 이 세 개의 공리 스키마타와 모더스 포넨만으로 명제 미적분의 모든 반복을 증명할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.또한 이러한 스키마타의 어떤 쌍도 모더스 포넨으로 모든 반복을 증명하기에 충분하지 않다는 것을 보여줄 수 있다.

동일하거나 다른 일련의 원시 접속을 포함하는 다른 공리 스키마를 대체적으로 구성할 ^[13]수 있다.

이러한 공리 스키마는 술어 미적분에도 사용되지만, ^[14]미적분에 수량자를 포함시키기 위해서는 추가적인 논리 공리가 필요하다.

1차 논리

평등 공리 $(\$ 을 ${\mathfrak {L}}$ 1차 언어로 합니다. $각$ 변수x(\ $displaystyle$ x $x$ 에 대해 공식은

$x=x$

는 보편적으로 유효합니다.

즉, 변수 $x\,,$ x $,$ {\ $displaystyle$ x $}$ 에 대해 $x=x$ x $x=x$ $x=x$ ${\displaystyle$ x= $x}$ 를 공리로 $x=x$ 간주할 수 있습니다.또한, 이 예에서 이것이 모호성과 끝없는 일련의 "개념"에 빠지지 않으려면, x $= x(또는$ "동일하기 위해" x = x $($ 또는 "동일하기 위해")에 대한 정확한 개념이 먼저 확립되어야 하거나, 기호 $=$ {\ $displaystyle$ =}의 $=$ 완전한 형식적이고 구문적 용법이 확립되어야 한다.그것을 하나의 문자열로 간주하고 하나의 기호로 간주하며, 수학적 논리는 실제로 그렇게 한다.

또 다른 흥미로운 공리 스킴은 범용 인스턴스화라고 알려진 것을 제공하는 것입니다.

범용 인스턴스화를 위한 Axiom 스킴. $\phi$ ${\mathfrak {L}}$ L $(\$ $displaystyle$ $\phi$ ), $변수$ x $(\$ displaystyle $x$ $x$ $)$ $및$ x $(\displaystyle$ 를 대체할 수 있는 t(\displaystyle t $)$ 의 $\phi$ $t$ $\phi$ 은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \forall x,\phi \to \phi _{t}^{x}$

는 보편적으로 유효합니다.

$\phi _{t}^{x}$ 서 기호 $\phi _{t}^{x}$ $\phi _{t}^{x}$ ${\$ _ ${t}^{x}$ 는 $\phi _{t}^{x}$ $\phi$ ${\$ { $displaystyle$ t}을 $\phi$ 나타내고 t{\ $displaystyle$ t $}$ 은 $t$ x {\ $displaystyle$ x $x$ $대신$ 사용합니다.(변수 치환을 참조).비공식적으로 말하면, 이 예에서는 특정 $속성$ P $(\$ $displaystyle$ P $)$ 가 $P$ $모든$ x(\ $displaystyle$ x $)$ 에 $x$ 대해 유지되고 t $(\displaystyle$ t $)$ 가 $t$ 구조 내의 특정 객체를 의미한다는 $t$ 을 알 수 있는 경우 $P(t)$ t $)\displaystyle P($ t $P(t)$ 를 $P(t)$ 청구할 수 있습니다. $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ x $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ t $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ \ $displaystyle$ \ $forall$ x $\phi$ \ $to \phi$ _ ${t}^{x}$ 는 $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ 유효하다. 즉, 우리는 이 사실에 대한 "증명"을 제공할 수 있어야 한다.이 예들은 우리가 증명 자체의 개념을 다루고 있기 때문에 우리의 수학적 논리 이론의 메타옴이다.이와 더불어 존재론적 일반화도 가능합니다.

존재론적 일반화를 위한 Axiom 체계. $\phi$ ${\mathfrak {L}}$ L $(\$ $displaystyle$ $\phi$ ), $변수$ x $(\$ displaystyle $x$ $x$ $)$ $및$ x $(\displaystyle$ 를 대체할 수 있는 t(\displaystyle t $)$ 의 $\phi$ $t$ $\phi$ 은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \phi _{t}^{x}에서 \displaystyle x,\phi로$

는 보편적으로 유효합니다.

논리가 아닌 공리

논리가 아닌 공리는 이론 고유의 가정 역할을 하는 공식입니다.예를 들어 자연수와 정수의 두 가지 다른 구조에 대한 추론은 동일한 논리 공리를 포함할 수 있습니다; 비논리 공리는 특정 구조(또는 그룹과 같은 일련의 구조)에 대한 특별한 것을 포착하는 것을 목표로 합니다.따라서 논리적 공리와 달리 비논리적인 공리는 반복론이 아닙니다.논리가 아닌 공리의 또 다른 이름은 가정입니다.^[15]

거의 모든 현대 수학 이론은 주어진 일련의 비논리적인 공리에서 출발하며, 원칙적으로 모든 이론은 이러한 방식으로 공리화될 수 있고 논리 공식의 맨 언어로 공식화될 수 있다고 생각되었습니다^{[further explanation needed]}^{[citation needed]}.

비논리적인 공리는 종종 단순히 수학적 담론에서 공리로 언급된다.이것은 그들이 어떤 의미에서 진실이라고 주장하는 것을 의미하지 않는다.예를 들어, 어떤 그룹에서는, 그룹 연산은 가환이며, 이것은 추가 공리의 도입으로 주장될 수 있지만, 이 공리 없이도, 우리는 (더 일반적인) 그룹 이론을 꽤 잘 전개할 수 있고, 심지어 그 부정을 비가환 그룹 연구의 공리로 받아들일 수 있다.

그러므로, 공리는 추론의 규칙과 함께 연역 체계를 정의하는 형식 논리 시스템의 기본 기초이다.

예

이 절에서는 전적으로 비논리적인 공리(axioms, 이후)로부터 발전된 수학 이론의 예를 제시합니다.이러한 토픽 중 하나에 대한 엄격한 설명은 이러한 공리의 명세로부터 시작됩니다.

산술, 실해석, 복소해석과 같은 기본이론은 종종 비축적으로 도입되지만, 암묵적 또는 명시적으로 사용되는 공리는 선택권이 있는 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리, 약칭 ZFC 또는 폰 노이만-베르나와 같은 매우 유사한 공리 집합론이라는 가정이 일반적으로 존재한다.ZFC의 보수적인 확장인 ys-Gödel 집합론.때로는 모스-켈리 집합론이나 접근하기 어려운 기수를 가진 집합론과 같은 약간 강한 이론이 사용되기도 하지만, 사실 대부분의 수학자들은 2차 ^{[citation needed]}산술과 같이 ZFC보다 약한 체계에서 필요한 모든 것을 실제로 증명할 수 있다.

수학에서의 위상 연구는 점 집합 위상, 대수 위상, 미분 위상, 그리고 호몰로지 이론, 호모토피 이론과 같은 모든 관련 장비들을 통해 확장된다.추상대수의 발달은 군 이론, 고리, 장, 갈로아 이론을 가져왔다.

이 목록은 측정 이론, 에르고드 이론, 확률, 표현 이론, 그리고 미분 기하학을 포함한 수학의 대부분의 분야를 포함하도록 확장될 수 있다.

산술

페아노 공리는 1차 산술에서 가장 널리 사용되는 공리화이다.그것들은 숫자 이론에 대한 많은 중요한 사실들을 증명하기에 충분히 강한 일련의 공리들이고 그들은 괴델이 그의 유명한 두 번째 불완전성 ^[16]정리를 확립하도록 허락했다.

${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ ${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ T ${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ { ${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ , ${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ $}$ { $displaystyle$ { $mathfrak { L$ }} $_$ { $NT}=\{0,S\}.$ $0$ 서 ${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ 0({ $displaystyle$ 0 $}$ 은 $0$ 상수 기호, $({displaystyle$ S})는 $S$ 단항 함수 및 다음 공리입니다.

$\displaystyle x.\lnot (Sx=0)}$
$(\displaystyle x.\forall y). (Sx=Sy\to x=y)$
$(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ( $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ) $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ . ( $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ) $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ （ $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ x $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ) $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ （ $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ) $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ） $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ( \ $phi$ ( $0$ )\land $\forall$ x $.,$ ( \ $phi ( x$ )\ $to \phi$ ( $Sx$ $)\to$ \ $fi$ ( x $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ))\ $forall$ x . $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ ( x ) ） \\\\\\\\\\\\\\\\ $。$ NT $}}$ $\phi$ {\(\ $displaystyle\phi)$ 에 $\phi$ 자유변수가 1개 포함되어 있습니다.

${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$ ${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$ = ${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$ , ${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$ 0 ${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$ , S ${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$ { $displaystyle$ \ $mathfrak$ { N } = \ $langle$ \ $mathbb { N$ } , 0 , $S$ \ $rangle$ } 。 $\mathbb {N}$ 서 $\mathbb {N}$ N \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { $N }$ 은 ${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$ $\mathbb {N}$ $S$ 자연수 $S$ 이고 S는 자연수이고 $,$ $S$ \ $displaystyle 0$ 은 자연수 $0$ 해석됩니다.

유클리드 기하학

아마도 가장 오래되고 가장 유명한 공리들의 목록은 4+1 평면 기하학에 대한 유클리드의 가설일 것이다.거의 2천 년 동안 다섯 번째 (평행) 공식은 처음 4개에서 파생될 수 있는 것으로 의심되었기 때문에 이 공리는 "4 + 1"이라고 불립니다.결국, 다섯 번째 가정은 첫 번째 4가지 가정과 무관한 것으로 밝혀졌다.선 밖에 있는 점을 통과하는 평행이 정확히 1개 존재하거나 무한히 많이 존재한다고 가정할 수 있습니다.이 선택은 삼각형의 내부 각도가 각각 정확히 180도 이하인 두 가지 형태의 기하학을 제공하며 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학으로 알려져 있습니다.두 번째 가정("직선은 무한히 연장할 수 있다")도 제거하면 타원 기하학이 발생합니다. 이 경우 선 바깥의 한 점을 통과하는 평행이 없고 삼각형의 내부 각도가 180도보다 커집니다.

실제 분석

이 연구의 목적은 실수의 영역에 있다.실수는 데데킨드 완전 순서 필드의 속성에 의해 고유하게 선택됩니다(동형사상까지). 즉, 상한의 빈 실수 집합은 최소 상한을 가집니다.그러나 이러한 속성을 공리로 표현하려면 2차 논리를 사용해야 합니다.뢰벤하임-스콜렘 이론은 우리가 1차 논리로 제한한다면, 실수에 대한 공리 체계는 실수에 비해 작은 모델과 더 큰 모델을 포함한 다른 모델을 허용한다고 우리에게 말한다.후자의 일부는 비표준 분석에서 연구된다.

수리논리에서의 역할

연역 체계와 완전성

연역 시스템은 논리 공리의 집합 $\Lambda$ (\ $displaystyle\Lambda),$ 비논리 공리의 집합 $\Sigma$ $\{(\Gamma ,\phi )\}$ $displaystyle\Sigma)$ $\{(\Gamma ,\phi )\}$ 및 $\Sigma$ 추론 규칙의 집합 $((\displaystyle\{\Gamma,\phi})$ 으로 $\{(\Gamma ,\phi )\}$ 구성됩니다.연역체계의 바람직한 특성은 완전하다는 것이다.모든 공식 ${\$ \ $displaystyle$ \ $phi$ $\phi$ 에 대해 시스템이 완전하다고 합니다.

$(\displaystyle\text{if}}\Sigma\models\phi\text{그러면}}\Sigma\vdash\phi})$

즉, $σ$ 의 논리적인 결과인 모든 문장에 대해 $(\displaystyle\Sigma$ 에서 $\Sigma$ 문장의 연계가 실제로 존재합니다.이것은 때때로 "참인 것은 모두 입증할 수 있다"라고 표현되지만, 여기서 "참"은 "공리적인 집합으로 이루어진 것"을 의미한다는 것을 이해해야 합니다.r 예: "의도된 해석에서 참"괴델의 완전성 정리는 일반적으로 사용되는 연역 시스템의 특정 유형의 완전성을 확립한다.

$여기$ 서 "완전성 $"$ 은 산술 이론의 어떤 재귀적이고 일관된 $논리$ 가 완전하지 $\Sigma$ 괴델의 첫 번째 불완전성 정리와는 다른 $\Sigma$ 의미를 가지며, 산술적 진술이 항상 존재할 것이라는 점에 $유의하십시오$ style \ $phi$ $}$ 은 $\phi$ $\phi$ (는 $\lnot \phi$ 지정된 일련의 공리로부터 $\phi$ 할 수 없습니다 $.\displaystyle$ \ $lnot$ \ $\lnot \phi$ 입니다 $\lnot \phi$ $.$

따라서 한편으로는 연역체계의 완전성의 개념이 있고, 다른 한편으로는 일련의 비논리적인 공리의 완전성의 개념이 있다.완전성 정리와 불완전성 정리는 이름에도 불구하고 서로 모순되지 않는다.

자세한 설명

초기 수학자들은 자명한 기하학을 물리적 공간의 모형으로 여겼으며, 분명히 그러한 모형은 하나밖에 없을 것이다.대체 수학 시스템이 존재할 수 있다는 생각은 19세기 수학자들에게 매우 골칫거리였고 부울 대수학과 같은 시스템의 개발자들은 전통적인 산수로부터 그것들을 이끌어내기 위해 정교한 노력을 기울였다.갈로아는 그의 때아닌 죽음 직전에 이러한 노력이 대부분 헛수고였다는 것을 보여주었다.궁극적으로, 대수 체계들 사이의 추상적인 유사점들이 세부 사항보다 더 중요한 것으로 보여졌고, 현대 대수가 탄생했다.현대의 관점에서, 공리는 모순되지 않는 것으로 알려져 있는 한, 공식의 집합일 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 비록 완전하지는 않지만, 언급된 결과 중 일부는 언급된 가정과 일반적인 개념에서 실제로 따르지 않았다.
^ 힐베르트는 또한 유클리드가 그의 증명에서 사용한 가정을 분명히 했지만 그의 공통 개념과 가정에는 나열하지 않았다.

레퍼런스

^ cf. 공리, n. 어원옥스포드 영어사전, 2012-04-28에 접속.
^ 옥스퍼드 아메리칸 칼리지 딕셔너리: "n. 확립, 수용 또는 자명한 사실로 간주되는 진술 또는 제안.오리진: 15센트 후반.: 궁극적으로는 그리스 공리 'what think that thinked feating'에서, 'walue'에서 나온 것이다.하이빔^{[dead link]}(서브스크립션 필요)
^ "일반적으로 받아들여지는 명제; 잘 확립되어 있거나 보편적으로 인정된 원칙; 격언, 규칙, 법" 공리, n., 정의 1a.옥스포드 영어사전 온라인, 2012-04-28에 접속.Cf. 아리스토텔레스, 사후 분석 I.2.72a18-b4.
^ "명제(참이든 거짓이든)" 공리, n. 정의 2.옥스포드 영어사전 온라인, 2012-04-28에 접속.
^ 예를 들어,Maddy, Penelope (June 1988). "Believing the Axioms, I". Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520. JSTOR 2274520. 현실주의적 관점을 위해.
^ ^a ^b "Axiom — Powszechna Encyklopedia Filozofii" (PDF). Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu.
^ Wolff, P. Breakthroughs in Mathematic, 1963, 뉴욕: New American Library, pp 47-48
^ 히스, T.유클리드의 원소 13권뉴욕: 도버 페이지 200
^ 아리스토텔레스, 형이상학 Bk IV, 제3장 1005b "물리학도 지혜의 일종이지만, 첫번째 종류는 아닙니다.진리가 받아들여져야 할 용어에 대해 논의하는 사람들 중 일부는 논리 훈련이 부족하기 때문입니다.왜냐하면 그들은 특별한 연구를 할 때 이미 이러한 것들을 알고 있어야 하고, 그것에 대한 강의를 들을 때 그것을 탐구해서는 안 되기 때문입니다." W.D.로스 번역, 아리스토텔레스의 기본 저작물, ed.리처드 맥킨, (뉴욕주, 1941년)
^ 자세한 내용은 힐베르트의 공리를 참조하십시오.
^ Raatikainen, Panu (2018), "Gödel's Incompleteness Theorems", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2018 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 19 October 2019
^ Koellner, Peter (2019), "The Continuum Hypothesis", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 19 October 2019
^ 멘델슨, "6"제1장 '기타 공리화'
^ 멘델슨, "3"제2장 '일차 이론'
^ 멘델슨, "3"1차 이론: 2장의 적절한 원리
^ 멘델슨, "5"고정점 정리.괴델의 불완전성 정리 2장

추가 정보

멘델슨, 엘리엇(1987년).수학 논리 입문Belmont (캘리포니아):워즈워스 & 브룩스ISBN 0-534-06624-0
John Cook Wilson (1889), On an Evolutionist Theory of Axioms: inaugural lecture delivered October 15, 1889 (1st ed.), Oxford, Wikidata Q26720682

외부 링크

[10] 비록 완전하지는 않지만, 언급된 결과 중 일부는 언급된 가정과 일반적인 개념에서 실제로 따르지 않았다.

[11] 힐베르트는 또한 유클리드가 그의 증명에서 사용한 가정을 분명히 했지만 그의 공통 개념과 가정에는 나열하지 않았다.

[1] . 공리, n. 어원옥스포드 영어사전, 2012-04-28에 접속.

[2] 옥스퍼드 아메리칸 칼리지 딕셔너리: "n. 확립, 수용 또는 자명한 사실로 간주되는 진술 또는 제안.오리진: 15센트 후반.: 궁극적으로는 그리스 공리 'what think that thinked feating'에서, 'walue'에서 나온 것이다.하이빔^{[dead link]}(서브스크립션 필요)

[3] "일반적으로 받아들여지는 명제; 잘 확립되어 있거나 보편적으로 인정된 원칙; 격언, 규칙, 법" 공리, n., 정의 1a.옥스포드 영어사전 온라인, 2012-04-28에 접속.Cf. 아리스토텔레스, 사후 분석 I.2.72a18-b4.

[4] "명제(참이든 거짓이든)" 공리, n. 정의 2.옥스포드 영어사전 온라인, 2012-04-28에 접속.

[5] 예를 들어,Maddy, Penelope (June 1988). "Believing the Axioms, I". Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520. JSTOR 2274520. 현실주의적 관점을 위해.

[:0-6] "Axiom — Powszechna Encyklopedia Filozofii" (PDF). Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu.

[7] Wolff, P. Breakthroughs in Mathematic, 1963, 뉴욕: New American Library, pp 47-48

[8] 히스, T.유클리드의 원소 13권뉴욕: 도버 페이지 200

[9] 아리스토텔레스, 형이상학 Bk IV, 제3장 1005b "물리학도 지혜의 일종이지만, 첫번째 종류는 아닙니다.진리가 받아들여져야 할 용어에 대해 논의하는 사람들 중 일부는 논리 훈련이 부족하기 때문입니다.왜냐하면 그들은 특별한 연구를 할 때 이미 이러한 것들을 알고 있어야 하고, 그것에 대한 강의를 들을 때 그것을 탐구해서는 안 되기 때문입니다." W.D.로스 번역, 아리스토텔레스의 기본 저작물, ed.리처드 맥킨, (뉴욕주, 1941년)

[12] 자세한 내용은 힐베르트의 공리를 참조하십시오.

[13] Raatikainen, Panu (2018), "Gödel's Incompleteness Theorems", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2018 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 19 October 2019

[14] Koellner, Peter (2019), "The Continuum Hypothesis", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 19 October 2019

[15] 멘델슨, "6"제1장 '기타 공리화'

[16] 멘델슨, "3"제2장 '일차 이론'

[17] 멘델슨, "3"1차 이론: 2장의 적절한 원리

[18] 멘델슨, "5"고정점 정리.괴델의 불완전성 정리 2장

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