유클리드 유니폼 틸팅 목록

이 표는 유클리드 평면의 11개의 볼록한 균일 기울기(정규 및 반경)와 이중 기울기를 보여준다.

그 비행기에는 세 개의 규칙적인 기울기와 여덟 개의 반정형 기울기가 있다. 반정형 기울기는 이중에서 새로운 기울기를 형성하는데, 각각은 한 종류의 불규칙한 얼굴에서 만들어졌다.

존 콘웨이는 이 균일한 듀얼을 카탈로니아 고체 다면체와 평행하게 카탈로니아 틸링이라고 부른다.

균일한 기울기는 정점 구성, 즉 각 정점에 존재하는 면의 순서에 의해 나열된다. 예를 들어, 4.8.8은 정점에 있는 하나의 정사각형과 두 개의 옥타곤을 의미한다.

이 11개의 균일한 틸팅은 32개의 다른 균일한 색상을 가지고 있다. 균일한 색상은 정점 사이의 정점 통일성과 변형적 조화를 유지하면서 정점에서의 동일한 면의 다각형을 다르게 색칠할 수 있게 한다. (참고: 아래에 표시된 일부 타일링 이미지는 색상 통일되지 않음)

11개의 볼록한 균일 기울기 외에 별 다각형을 사용하는 비콘벡스 기울기, 역방향 정점 구성을 사용하는 14개의 비콘벡스 기울기가 있다.

라브스 틸팅

1987년 저서 틸링과 패턴에서 브란코 그룬바움(Branko Grünbaum)은 정점 균일 기울기를 아르키메데스 고형물과 평행하게 아르키메데스라고 부른다. 그들의 이중 기울기는 결정학자 프리츠 라브스를 기리기 위해 라브스 기울기라고 불린다.^[1][2] 알렉세이 슈브니코프의 이름을 따서 슈브니코프-라브스 기울기라고도 한다.^[3] 존 콘웨이는 이 유니폼을 카탈루냐 고체 다면체와 평행하게 카탈루냐 틸링이라고 불렀다.

라브스 틸링은 일반 폴리곤의 중심에 정점이 있고, 가장자리를 공유하는 일반 폴리곤의 가장자리를 연결하는 가장자리가 있다. 라브스 기울기의 기와는 평지형이라고 불린다. 여기에는 3개의 일반 타일(삼각형, 사각형, 육각형)과 8개의 불규칙 타일이 포함된다.^[4] 각 꼭지점에는 가장자리의 간격이 균일하다. 평면의 3차원 유사점을 스테레오헤드론이라고 한다.

이러한 이중 기울기는 얼굴 구성, 얼굴 각 정점에 있는 얼굴 수에 의해 나열된다. 예를 들어 V4.8.8은 하나의 모서리와 네 개의 삼각형이 있는 삼각형 타일을 의미하며, 두 개의 모서리가 8개의 삼각형을 포함하고 있다. 정점 평면(최대₁₂ D)의 방향은 아래 절의 정점도와 일치한다.

11개의 평형

삼각형				사변측정감시			펜타곤			육각형
V63	V4.82	V4.6.12	V3.122	V44	V(3.6)2	V3.4.6.4	V32.4.3.4	V34.6	V33.42	V36

유클리드 평면의 볼록 균일 기울기

모든 반사 형태는 와이트오프 기호로 대표되는 와이트오프 건설 또는 콕시터-딘킨 다이어그램에 의해 만들어질 수 있으며, 각각 3개의 슈바르츠 삼각형(4,4,2), (6,3,2), 또는 (3,3) 중 하나에서 작동하며, 콕시터 그룹은 [4,4], [6,3] 또는 [3^[3]]으로 대표된다. 스너브와 같은 대체 형태도 각 시스템 내의 특수 마크업으로 나타낼 수 있다. 단 하나의 유니폼 타일링만이 와이토프 공정에 의해 건설될 수 없고 삼각 타일링의 길이에 의해 만들어질 수 있다. 직교 미러 구조[1998,2,198]도 존재하며, 직사각형의 기본 영역을 만드는 두 세트의 평행 미러로 보인다. 영역이 사각형인 경우, 대각선 거울에 의해 [4,4] 계열로 대칭이 두 배가 될 수 있다.

패밀리:

• (4,4,2), ${\displaystyle B_{\mathrm{}}}$ C${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ 2 ${\$ [4,4] – 일반 사각 타일링의 대칭
  • ${\displaystyle {\stackrel{}{I}}_{}^{}}$~ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$2$\}\},$ [1998,2,16]
• (6,3,2), $G{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$2$\}\},$ [6,3] – 일반 육각 타일링 및 삼각 타일링의 대칭성.
  • (3,3,3) $A{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$[3^[3]]

[4,4] 그룹 계열

균일 틸팅 (플라토닉 및 아르키메데스)	정점 피규어 및 이중 면 Wythoff 기호 대칭군 콕시터 다이어그램	이중 통일 틸팅 (레이브스 또는 카탈루냐 기울기라고 함)
사각 타일링(쿼드릴)	4.4.4.4 (또는4 4) 4 2 4 p4m, [4,4], (*442)	자가 제조(자율)
잘린 사각 타일링(잘린 쿼드릴)	4.8.8 2 4 4 4 4 2 p4m, [4,4], (*442) 또는	테트라키스 사각 타일링(키스콰드리유)
스너브 사각 타일링(스너브 쿼드릴)	3.3.4.3.4 4 4 2 p4g, [4+,4], (4*2) 또는	카이로 오각형 타일링(4배 펜틸)

[6,3] 그룹 계열

플라토닉 및 아르키메데스 기울기	정점 피규어 및 이중 면 Wythoff 기호 대칭군 콕시터 다이어그램	듀얼 라브스 틸팅
육각 타일링(헥스티유)	6.6.6 (또는 63) 3 6 2 2 6 3 3 3 3 p6m, [6,3], (*632)	삼각 타일링(델틸유)
삼헥사각 타일링(헥사델틸트유)	(3.6)2 2 6 3 3 3 3 p6m, [6,3], (*632) =	롬빌 타일링(롬빌)
잘린 육각 타일링(잘린 헥스티유)	3.12.12 2 3 6 p6m, [6,3], (*632)	트리아키스 삼각 타일링(kisdeltille)
삼각 타일링(델틸유)	3.3.3.3.3.3 (또는6 3) 6 3 2 3 3 3 3 3 3 p6m, [6,3], (*632) =	육각 타일링(헥스티유)
Rhombitrihexangle tiling (Rhombihexadeltille)	3.4.6.4 3 6 2 p6m, [6,3], (*632)	델토이탈삼각형 타일링(테트릴레)
잘린 3hexangel tiling(잘린 육각형 타일링)	4.6.12 2 6 3 p6m, [6,3], (*632)	키스롬빌 타일링(키스롬빌)
스너브 3헥스각 타일링(스너브 헥스틸)	3.3.3.3.6 6 3 2 p6, [6,3]+, (632)	플로레트 오각형 타일링(6배 펜틸)

비위토피아 유니폼 타일링

플라토닉 및 아르키메데스 기울기	정점 피규어 및 이중 면 Wythoff 기호 대칭군 콕시터 다이어그램	듀얼 라브스 틸팅
길이가 긴 삼각 타일링(Isosnub 쿼드릴)	3.3.3.4.4 2 2 (2 2) cmm, [message,2+,mess], (2*22)	프리즘 오각형 타일링(iso(4-)펜틸)

균일 배색

11개의 유니폼 틸팅에는 총 32개의 유니폼 색상이 있다.

1. 삼각 타일링 – 9개의 균일한 색상, 4개의 와이토피안, 5개의 비와이토피안
   • 
2. 사각 타일링 – 9가지 색상: 와이토피안 7개, 비와이토피안 2개
   • 
3. 육각 타일링 – 3가지 컬러링, 모든 와이토피아
   • 
4. 삼헥사각 타일링 – 2가지 컬러링, 양쪽 와이토피안
   • 
5. 스너브 사각 타일링 – 컬러링 2개, 둘 다 교체된 와이토피안
   • 
6. 잘린 사각 타일링 – 2가지 컬러링, 양쪽 와이토피안
   • 
7. 잘린 육각형 타일링 – 컬러링 1개, 와이토피아
   • 
8. Rhombitrihexangular tiling – 1 컬러링, wythoffian
   • 
9. 잘린 3hexangel 타일링 – 컬러링 1개, 와이토피안
   • 
10. 스너브 육각 타일링 – 컬러링 1개, 교류 와이토피아
    • 
11. 긴 삼각 타일링 – 컬러링 1개, 비와이토피안
    • 

참고 항목

• 볼록형 균일 벌집 – 28개의 균일 3차원 테셀레이션, 볼록 균일 유클리드 평면 기울기와 평행한 구조.
• 테셀레이션 목록
• 과대산출 임계값
• 쌍곡면에서의 균일한 기울기

참조

추가 읽기

• Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (April 18, 2008). "Chapter 19, Archimedean tilings, table 19.1". The Symmetries of Things. A K Peters / CRC Press. ISBN 978-1-56881-220-5. Archived from the original on September 19, 2010.
• Coxeter, H.S.M.; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). "Uniform polyhedra". Phil. Trans. 246 A: 401–450.
• Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (섹션 2-3 Circle Packing, 평면 테셀레이션 및 네트워크, 페이지 34–40).
• Asaro, Laura; Hyde, John; Jensen, Melanie; Mann, Casey; Schroeder, Tyler. "Uniform edge-c-colorings of the Archimedean Tilings" (PDF). University of Washington. (워싱턴 대학교의 Casey)
• Grünbaum, Branko; Shepard, Geoffrey (November 1977). "Tilings by Regular polygons" (PDF).
• Seymour, Dale; Britton, Jill (1989). Introduction to Tessellations. Dale Seymour Publications. pp. 50–57, 71-74. ISBN 978-0866514613.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Uniform tessellation". MathWorld.
• 유클리드 평면의 균일 테셀레이션
• 테셀레이션스 오브 더 플레인
• 데이비드 베일리의 테셀레이션스 세계
• k-기울기 기울기
• n-트렁크기