변환 매트릭스

선형 대수학에서 선형 변환은 행렬로 나타낼 수 있다.T{\ $displaystyle$ T $}$ 가 $T$ $\mathbb {R} ^{m}$ 변환 매핑 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{m}$ n {\ $displaystyle \mathbb$ ${$ $R} ^{n$ $}$ 이고 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{m}$ $\mathbf {x}$ {\ $displaystyle$ $\mathbb {x}}$ 이 $\mathbf {x}$ $($ 가) $n개$ 의 $n$ 엔트리를 $가진$ 열 벡터인 $경우$

\displaystyle T(\mathbf {x})=A\mathbf {x}

{\displaystyle m\times의 스녀}{A\displaystyle}행렬 일부 m×n, T{T\displaystyle}.[표창 필요한]노트는 A{A\displaystyle}, m{m\displaystyle}행과 n{n\displaystyle}기둥을 가지고 있는 반면에 변환 T{T\displaystyle}에서 의 변환 매트릭스라고 불렀다. Rn{\di

splaystyle \mathbb {R}

^{

n}

\mathbb {R} ^{m}

R m {

displaystyle \mathbb {R}

^{

m

。행 벡터와 관련된 변환 행렬의 대체 표현식이 일부 ^[1]^[2]작성자에 의해 선호됩니다.

사용하다

행렬을 사용하면 임의의 선형 변환을 ^[3]계산에 적합한 일관된 형식으로 표시할 수 있습니다.또한 행렬을 곱하여 변환을 쉽게 구성할 수 있습니다.

행렬로 나타낼 수 있는 것은 선형 변환뿐만이 아닙니다.n차원 유클리드 공간ⁿ R에서 비선형인 일부 변환은 n+1차원 공간ⁿ⁺¹ R에서 선형 변환으로 표현될 수 있다.여기에는 아핀 변환(번역 등)과 투영 변환이 모두 포함됩니다.이러한 이유로 4×4 변환 매트릭스가 3D 컴퓨터 그래픽에 널리 사용됩니다.이러한 n+1차원 변환 행렬은 용도에 따라 아핀 변환 행렬, 투영 변환 행렬 또는 더 일반적으로 비선형 변환 행렬이라고 불립니다.n차원 행렬에 대해서는 n+1차원 행렬을 증강행렬로 기술할 수 있다.

물리과학에서 능동 변환은 실제로 시스템의 물리적 위치를 변경하는 변환이며 좌표계가 없는 경우에도 이치에 맞는 변환인 반면 수동 변환은 물리적 시스템의 좌표 설명(기준 변경)의 변경이다.액티브 변환과 패시브 변환의 구별이 중요합니다.기본적으로 변환이란 일반적으로 수학자는 활성 변환을 의미하지만 물리학자는 둘 중 하나를 의미할 수 있습니다.

달리 말하면, 패시브 변환은 두 개의 다른 좌표 프레임에서 볼 때 동일한 객체에 대한 설명을 의미합니다.

변환 매트릭스 찾기

함수형태의 $T(x)$ T $x)$ {\ $displaystyle T($ x)}가 $T(x)$ 있으면 표준기반의 각 벡터를 T로 변환하고 그 결과를 행렬의 열에 삽입하면 변환행렬 A를 쉽게 결정할 수 있다.바꿔 말하면

\displaystyle A=bgin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&T(\mathbf {e} _{2})&T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}})

예를 들어 $T(x)=5x$ $T(x)=5x$ T ( $T(x)=5x$ x ) $=$ $T(x)=5x$ x {\ $displaystyle$ T $(x$ )= $5x}$ 는 $T(x) = 5x$ 선형 변환입니다.위의 프로세스(이 경우 n = 2)를 적용하면 다음과 같은 사실이 드러납니다.

T(\mathbf {x})=5I\mathbf {x}=mathbf {x}=mathbmatrix}5&0&5\end {bmatrix}\mathbf {x

벡터 및 연산자의 행렬 표현은 선택한 기준에 따라 달라집니다. 유사한 행렬이 대체 기준에서 생성됩니다.그러나 구성 요소를 찾는 방법은 동일합니다.

좀 더 자세하게 설명하기 위해, 벡터 v{\displaystyle \mathbf{v}}기준 벡터에서 E={\displaystyle E={\begin{bmatrix}\mathbf{e}_{1}&[e1e2⋯ en];\cdots &, \mathbf{e}_{n}\end{bmatrix}}}좌표[v]E-경우 v1v2⋯과\mathbf{e}_{2}& 표시할 수 있다. vn $[\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ { $displaystyle$ [ \ $mathbf$ { $v } _$ { E } = $sbegin$ { $bmatrix$ } $v$ _ { $1$ } & $v$ _ { } & \ $cdots &$ v _ { n } \ $end$ { $bmatrix$ } $[\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ \ $mathrm$ { $T$ :

\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1} +v_{2}\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}E[\mathbf {v}]_{E}

이제 변환행렬 A의 결과를 $\mathbf {v}$ v $\displaystyle$ \ $mathbf$ {v $\mathbf {v}$ 에 $\mathbf {v}$ 대해 지정된 기준으로 표현합니다.

{begin {v}A(\mathbf {v})&=A\left(\sum _{i}v_{i}\right)=\sum _{i}{i}A(\mathbf {e}_{i}_{i}A(\mathbf {e}_{i})}\\&, =ᆪA(\mathbf{e}_{1})&, A(\mathbf{e}_{2})&, \cdots &amp을 말한다.A(\mathbf{e}_{n})\end{bmatrix}}[\mathbf{v}]_{E}=A\cdot[\mathbf{v}]_ᆮ\\[3pt]&, ={\begin{bmatrix}\mathbf{e}_{1}&,\mathbf{e}_{2}&, \cdots &, \mathbf{e}_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&, a_{1,2}&, \cdots &, a_{1,n}\\a_{2,1}&, a_{2,2}&, \cdots, a_{2,n}\\\vdots, \vdots & &, \ddots &, \ &.vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\end{bmatrix}{\cdots \\v_{1}\\\v_{2}\end{bmatrix}}{\end{aligned}}

매트릭스는 명확히 설명, j{\displaystyle a_{i,j}}요소 한 주어진 기준 E를 위해 ej)A[00⋯(vj)1)⋯ 0]T{\displaystyle \mathbf{e}_{j}={\begin{bmatrix}0&amp을 적용하여;0&, \cdots,(v_{j}=1)&, \cdots & &, 0\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}}}, 그리고 추모 결정된다. 응답 벡터

A\mathbf {e} _{j} = a_{1,j} \mathbf {e} _{1} +\cdots +a_{n,j} \mathbf {e} _{n} =\sum_i}_i,e} _mathbf {e} _{e}

이 방정식은 행렬 ^[4]A의 j번째 열의 원하는 $a_{i,j}$ a $,$ $a_{i,j}$ (\ $displaystyle a_{i$ j})를 $a_{i,j}$ 합니다.

고유 기저 및 대각 행렬

단, 연산자는 성분이 대각행렬을 형성하여 곱셈복잡도가 $n$ 으로 감소하는 특별한 기초가 있다.대각선이라는 것은 $a_{i,i}$ 를 $a_{i,i}$ 한 $a_{i,i}$ $a_{i,j}$ $a_{i,j}$ $({$ $displaystyle a_{i,j$ $})$ 가 $a_{i,j}$ 0이며, 위의 합계 ${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ ${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ $(\textstyle$ \ $sum a_{i,$ j}\ $mathbf$ { $e}_{$ i ${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ })_{i}의 $a_{i,i}$ 항만 남음을 의미합니다.나머지 대각 $a_{i,i}$ 인 i $a_{i,i}$ $,$ i {\ $displaystyle a_{i,i$ 는 고유값으로 알려져 정의 방정식에서는 $\lambda _{i}$ i $\lambda _{i}$ {\ $displaystyle \displayda$ $_{$ $i$ }로 $\lambda _{i}$ 지정되며, 이는 A $A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$ $= i$ $A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$ \ $displaystyle$ A $\mathbf {e} _{i}$ { $i}$ 로 감소한다 $A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$ 결과 방정식을 고유값 ^[5]방정식이라고 합니다.고유 벡터와 고유값은 특성 다항식을 통해 파생됩니다.

대각화를 사용하면 고유 베이스로 변환하거나 고유 베이스에서 변환하는 것이 종종 가능합니다.

2차원의 예

원점을 고정적으로 유지하는 대부분의 일반적인 기하학적 변환은 회전, 스케일링, 전단, 반사 및 직교 투영을 포함한 선형입니다. 아핀 변환이 순수 변환이 아닌 경우 일부 점을 고정하고 해당 점을 원점으로 선택하여 변환을 선형으로 만들 수 있습니다.2차원에서는 2×2 변환 행렬을 사용하여 선형 변환을 나타낼 수 있습니다.

스트레칭

xy 평면의 스트레치는 특정 방향의 모든 거리를 일정한 계수로 확대하지만 수직 방향의 거리에는 영향을 주지 않는 선형 변환입니다.x축과 y축을 따른 스트레칭만 고려합니다.x축을 따른 스트레치는 어떤 양의 $상수$ k에 대해 =; =의 형태를 가진다. (참고: > $1$ 이면 실제로는 "압축"이고, < $1$ 이면 "압축"이지만, 우리는 여전히 스트레치라고 부른다.) $또한$ , = 1이면 변환은 동일성이며, 즉 효과가 없습니다.)

x축을 따라 인자 $k$ 에 의한 스트레치와 관련된 행렬은 다음과 같습니다.

{bmatrix}k&0\\0&1\end {bmatrix}

마찬가지로 인자별 스트레칭도ky축을 따라 = ; = 형식을 가지므로 이 변환과 관련된 행렬은 다음과 같습니다.

(\displaystyle {bmatrix} 1&0&k&end {bmatrix})

쥐어짜다

위의 두 스트레치가 상호 값과 결합되면 변환 행렬은 스퀴즈 매핑을 나타냅니다.

(\displaystyle {bmatrix}k&0\0&1/k\end{bmatrix})}

축에 평행한 변을 가진 정사각형을 정사각형과 같은 면적의 직사각형으로 변환한다.역방향 스트레칭과 압축은 영역을 불변하게 합니다.

회전

원점에 대해 시계방향으로 회전하는 경우(음방향) 함수 형태는 x $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ + $y$ $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ $⁡$ \ $displaystyle$ x ' $= x$ \ $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ $cos$ \ $sin$ \ $theta$ $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ $=$ - $x$ + $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ cos $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ \ $theta$ + $theta$ \ cos \ cos입니다 $.$

(\displaystyle {bmatrix}x'\y'\end {bmatrix}=cos \theta &\sin \theta \theta \end {bmatrix}\cos \theta \end {bmatrix}{\y\end {bmatrix})

$y'=x\sin \theta +y\cos \theta$ 로 원점에 대해 시계 반대 방향으로 회전하는 경우 함수 형식은 x $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ a $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ - $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ $y'=x\sin \theta +y\cos \theta$ $⁡$ \ $displaystyle$ x ' $=$ $x$ \ $cos$ \ $theta$ }이고 $x' = x \cos \theta - y \sin \theta$ y $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ $x$ sin $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ $cos$ + y cos $⁡$ + y cos $\$ \ $ta$ \ ta cos \ ta \ ta \ ta \ cos 입니다.

(\displaystyle {bmatrix}x'\y'\end {bmatrix}=cos \theta &-\sin \theta &\cos \theta \end {bmatrix}{\cos {bmatrix}x\y\end {bmatrix})

이 공식은 x축이 오른쪽을 가리키고 y축이 위쪽을 가리킨다고 가정합니다.

전단

전단 매핑(시각적으로 기울기와 유사)의 경우 두 가지 가능성이 있습니다.

x축에 평행한 전단에는 x $x'=x+ky$ $=$ + $x'=x+ky$ y { $displaystyle$ x'= $x+ky}$ 및 $x'=x+ky$ $y'=y$ $y'=y$ $=$ { $displaystyle$ y'= $y$ 가 $x'=x+ky$ . 행렬 형식으로 작성하면 다음과 같습니다.

{bmatrix}x'\\y'\end {bmatrix}=bmatrix}1&k\\\0&1\end {bmatrix}{\displaystyle {bmatrix}x\y\end {bmatrix}

y축에 평행한 $x'=x$ 에는 x $x'=x$ $=$ x {\ $displaystyle$ x'= $x}$ 및 $x'=x$ $y'=y+kx$ $=$ y + $y'=y+kx$ x {\ $displaystyle$ y'= $y+kx$ 행렬 형식이 있습니다.

{bmatrix}x'\y'\end {bmatrix}=param {bmatrix}1&0\k&1\end {bmatrix}{\param {bmatrix}x\y\end {bmatrix}

반사

원점을 통과하는 선에 대한 반사는 l $=$ ( $\mathbf {l} =(l_{x},l_{y})$ , $\mathbf {l} =(l_{x},l_{y})$ y $\mathbf {l} =(l_{x},l_{y})$ ) { $displaystyle \mathbf {l}$ =( $l_{x},l_{y}})$ 로 $\mathbf {l} =(l_{x},l_{y})$ $\mathbf {l} =(l_{x},l_{y})$ .그런 다음 변환 행렬을 사용합니다.

\mathbf {A} = specfrac {1} {\lVert \rVert ^{2} {\spec{bmatrix}l_{x}-l_{y}^{2}&2l_{x}l_{y}^{y}^{y}^{\l}^{\l}}}}

직교 투영

원점을 통과하는 선에 직교로 벡터를 투영하려면 u $=$ ( $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ x , $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ y $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ ) { $displaystyle \mathbf {u}$ =( $u_{x},u_{y})$ 를 $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ 선 방향의 벡터라고 $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ .그런 다음 변환 행렬을 사용합니다.

\mathbf {A} = specfrac {1} {\lVert \rVert ^{2}} {\spec{bmatrix}u_{x}u_{y}\u_{x}u_{y}u_{y}&u_{y}^{endmatrix}}}

반사와 마찬가지로 원점을 통과하지 않는 선에 대한 직교 투영도 선형 변환이 아닌 아핀 변환입니다.

병렬 투영도 선형 변환이며 간단히 행렬로 나타낼 수 있습니다.그러나 투시 투영법은 그렇지 않으며 이를 행렬로 표현하기 위해 균질 좌표를 사용할 수 있습니다.

3D 컴퓨터 그래픽의 예

회전

단위 벡터(l,m,n)에 의해 정의된 축을 중심으로 각도 θ를 회전하는 행렬은 다음과 같다.

{\displaystyle{\begin{bmatrix}(1-\cos \theta)+\cos\theta&ml(1-\cos \theta)-n\sin \theta&nl(1-\cos \theta)+m\sin\theta \\lm(1-\cos \theta)+n\sin \theta&mm(1-\cos \theta)+\cos\theta&nm(1-\cos \theta)-l\sin\theta \\ln(1-\cos \theta)-m\sin \theta&mn(1-\cos \theta)+l\sin \theta&nn(1-\cos \theta)+\cos \theta. \end{bmatrix}}.}

반사

$ax+by+cz=0$ $ax+by+cz=0$ x $ax+by+cz=0$ + $ax+by+cz=0$ + $ax+by+cz=0$ z $ax+by+cz=0$ {\ $displaystyle$ ax + $by$ + $cz$ = $0$ } (원점을 통과하는 점)을 반영하려면 A $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }$ $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }$ - $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }$ T { $displaystyle$ \ $mathbf$ { $A}$ = \ $mathbf$ { $I }$ - $2$ \ $mathbf$ { N N $^{$ T } 를 $사용$ 합니다. $thbf {N}$ 은 $\mathbf {N}$ $($ 는) 평면의 벡터 법선에 대한 3차원 단위 벡터입니다. ${displaystyle$ a $a$ $b$ { $displaystyle$ b $b$ $및$ c { $displaystyle$ c $}$ 의² $c$ L 노름이 통일인 경우 변환 매트릭스는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\mathbf {A} = { { bmatrix } 1 - 2ab & 2ab & 1 - 2b ^ {2} & 2bc \ \ 2ac & 2c ^ {2} \ end { bmatrix}

이는 가구주가 2차원과 3차원으로 반영하는 특별한 경우이다.원점을 통과하지 않는 선 또는 평면에 대한 반사는 선형 변환이 아니라 아핀 변환이다.4×4 아핀 변환 행렬로서 다음과 같이 표현될 수 있다(정규가 단위 벡터라고 가정).

{bmatrix}x'\\y'\1\end{bmatrix}=sys {bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&2ab&2b^{2}&2b^{2}&2bc&2-2b\c^2&{c

d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N}

서 d

d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N}

- p

d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N}

N

d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N}

(\

displaystyle

d=-\

mathbf {p}

\

cdot \mathbf {N

ax+by+cz+d=0

평면상의 어떤 점

\mathbf {p}

(\

displaystyle \mathbf {p})

또는 이에

d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N}

\mathbf {p}

ax+by+cz+d=0

하는 a

ax+by+cz+d=0

+

ax+by+cz+d=0

+ c

ax+by+cz+d=0

+

ax+by+cz+d=0

= 0 (\displaystyle axby

+

cz

+ d + d

)

벡터의 4번째 성분이 1이 아닌 0이면 원점을 통과하는 평행 평면을 통해 대칭된 것처럼 벡터의 방향만 반영되고 크기는 변경되지 않습니다.이것은 위치 벡터와 법선 벡터를 동일한 행렬로 변환할 수 있기 때문에 유용한 속성입니다.자세한 내용은 아래의 동종 좌표 및 아핀 변환을 참조하십시오.

변환 구성 및 반전

행렬을 사용하여 선형 변환을 표현하는 주요 동기 중 하나는 변환이 쉽게 구성되고 반전될 수 있다는 것입니다.

구도는 행렬 곱셈으로 이루어진다.행 및 열 벡터는 행렬, 왼쪽 행 및 오른쪽 열에 의해 조작됩니다.텍스트는 왼쪽에서 오른쪽으로 읽기 때문에 변환 행렬을 구성할 때 열 벡터가 선호됩니다.

A와 B가 두 개의 선형 변환 행렬인 경우, 열 $\mathbf {x}$ x $(\displaystyle$ \ $mathbf$ {x $})$ 에 $\mathbf {x}$ A를 먼저 적용한 다음 $\mathbf {x}$ B를 적용한 효과는 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .

즉, B에 이은 결합 변환 A의 행렬은 단순히 개별 행렬의 곱이다.

A가 가역 행렬일 경우 A와의 구성이 항등 행렬이기 때문에 A를 "해제"하는 변환을 나타내는 행렬⁻¹ A가 있습니다.일부 실제 응용 프로그램에서 반전은 일반 반전 알고리즘을 사용하거나 (반대 방향으로 회전하는 것과 같이 명백한 기하학적 해석을 가진) 역연산을 수행한 후 역순으로 구성함으로써 계산될 수 있다.반사 행렬은 자체 역행렬이므로 별도로 계산할 필요가 없기 때문에 특수한 경우입니다.

다른 종류의 변환

아핀 변환

단위 정사각형에 다양한 2D 아핀 변환 행렬을 적용하는 효과.반사 행렬은 스케일링 행렬의 특수한 경우입니다.

2D 평면에서 아핀 변환을 3차원으로 수행할 수 있습니다.변환은 zy 평면에 평행하게 전단하여 이루어지며 z축을 중심으로 회전합니다.

행렬을 사용하여 아핀 변환을 표현하기 위해 동종 좌표를 사용할 수 있습니다.즉, 2-벡터(x, y)를 3-벡터(x, y, 1)로 나타내며, 고차원의 경우 이와 유사합니다.이 시스템을 이용하면 행렬 곱셈으로 번역을 표현할 수 있다.함수 $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ x $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ + $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ x ; $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ + $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ y { $displaystyle$ x ' $= x$ + t $_$ { $x$ } ; y' $= y$ + t _ { $y}$ 는 $x' = x + t_x; y' = y + t_y$ 다음과 같습니다.

{bmatrix}x'\y'\1\end{bmatrix}=syslog{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1\end{bmatrix}{\displaystyle{bmatrix}x\y\\end{bmatrix}}.

모든 일반 선형 변환은 아핀 변환 세트에 포함되며, 아핀 변환의 단순한 형태로 설명될 수 있습니다.따라서 선형 변환은 일반 변환 행렬로도 나타낼 수 있습니다.후자는 대응하는 선형 변환 행렬을 1행 및 열만큼 확장하고 오른쪽 하단 모서리를 제외한 나머지 공간을 0으로 채우는 방법으로 얻을 수 있습니다.예를 들어 위에서 시계 반대 방향으로 회전하는 행렬은 다음과 같습니다.

(\displaystyle {bmatrix}\cos \theta & 0\sin \theta &\cos \theta & 0\0&1\end {bmatrix})

동종 좌표를 포함한 변환 행렬을 사용하면 변환이 선형화되므로 다른 모든 변환 유형과 심리스하게 혼재할 수 있습니다.그 이유는 실제 평면이 $실제$ 투영 공간에서 w = $1$ 평면에 매핑되기 때문에 실제 유클리드 공간에서의 변환은 실제 투영 공간에서의 전단(shear)으로 표현될 수 있기 때문이다.변환은 데카르트 좌표에 의해 기술된 2-D 또는 3-D 유클리드 공간의 비선형 변환이지만(즉, 교환성 및 기타 특성을 보존하면서 다른 변환과 결합될 수 없음), 동종 좌표에 의해 기술된 3-D 또는 4-D 투영 공간에서 단순한 선형 변환이 된다(she)ar)

두 개 이상의 아핀 변환을 구성함으로써 더 많은 아핀 변환을 얻을 수 있습니다.예를 들어 벡터 $(t'_{x},t'_{y}),$ ( $(t'_{x},t'_{y}),$ $(t'_{x},t'_{y}),$ $(t'_{x},t'_{y}),$ , $(t'_{x},t'_{y}),$ $(t'_{x},t'_{y}),$ $(t'_{x},t'_{y}),$ ) $(t'_{x},t'_{y}),$ , \ $displaystyle ( t$ ' $_$ { $x$ , $t ' _$ { $y$ } ) ,\ displaystyle ( s x $(s_{x},s_{y})$ , $(s_{x},s_{y})$ ) ,\ $displaystyle$ ( $s$ _ { $x$ , s $_$ s _ { y } ) ,\ x 의 역시계방향으로 회전 R 을 지정하면 $(t'_{x},t'_{y}),$ , s, s $(s_{x},s_{y})$ s, s, s, s, s, s_ ${$ } 의 스케일링 S, { y $(t_{x},t_{y}),$ 의 $(s_{x},s_{y})$ 벡터 ( $(t_{x},t_{y}),$ t $(t_{x},t_{y}),$ t, $(t_{x},t_{y}),$ )의 변환 $(t_{x},t_{y}),$ t, t, t, t, t, t ), t, rT'RST의 LT M은 다음과 같습니다.^[8]

\displaystyle \theta &-s_{x}\cos \theta &-s_{x}\cos \theta - t_{y}s_{x}\sin \theta +'_{x}\s_{x}\sin \theta &-{x}\cos\cos\theta \ta \ta \ta \ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta\ta}\\0&1\end{bmatrix}}

아핀 변환을 사용할 때 좌표 벡터(일반적으로 w라고 함)의 균질한 성분은 변경되지 않습니다.따라서 항상 1이라고 가정하고 무시할 수 있습니다.그러나 투시 투영을 사용하는 경우에는 그렇지 않습니다.

투시 투영

단위 정사각형에 2D 아핀 및 원근 변환 행렬을 적용한 효과 비교.

3D 컴퓨터 그래픽에서 중요한 또 다른 변환 유형은 투시 투영입니다.평행투영은 평행선을 따라 점을 이미지 평면에 투영하는 데 사용되는 반면 투시투영은 투영의 중심이라 불리는 단일 점에서 나오는 선을 따라 이미지 평면을 가리킵니다.즉, 물체가 투영 중심에서 멀리 떨어져 있을 때는 더 작은 투영을 가지며, 가까울 때는 더 큰 투영을 가집니다(상호 함수 참조).

가장 간단한 투시 투영에서는 원점을 투영의 중심으로 사용하고 $z=1$ $=$ 1(\ $displaystyle$ z $=1)$ 의 $z=1$ 평면을 이미지 평면으로 사용합니다. $x'=x/z$ 변환의 함수 형식은 x $x'=x/z$ $=$ / $x'=x/z$ { $displaystyle$ x $'=x$ }, $z =$ y / z { $displaystyle$ y $'=y/z$ 입니다. 이를 다음과 같이 동종 좌표로 표현할 수 있습니다.

{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}=param {bmatrix}1&0&0&0&1&0\0&0&0&1&0\0&0&0&0\0&0&0&0&0&0&0&0&0\{bmatrix}{bmatrix}{p}{bmatrix}{matrix}{c}{c}{p}{p

행렬 곱셈을 수행한 후 균질 $w_{c}$ w $w_{c}$ {\ $displaystyle w_{c}$ 는 $w_{c}$ z {\ $displaystyle$ z $}$ 의 $z$ $z$ 과 같으며 나머지 3개는 변경되지 않습니다.따라서 실제 평면에 매핑하려면 각 컴포넌트를 $\$ 로 분할하여 균질분할 또는 투시분할을 수행해야 합니다.

{bmatrix}x'\\y'\1\end{bmatrix}=param frac {1}{w_{c}\y_{c}\z_{c}\w_{c}\end{bmatrix}}

이 투시 투영을 회전, 축척, 변환 및 시어와 조합하여 이미지 평면과 투영 중심을 원하는 위치로 이동함으로써 보다 복잡한 투시 투영을 구성할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 라파엘 아티(1965) 선형 기하학
^ J. W. P. 히르슈펠트(1979) 유한장 투영 기하학, Clarendon Press
^ Gentle, James E. (2007). "Matrix Transformations and Factorizations". Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics. Springer. ISBN 9780387708737.
^ Nearing, James (2010). "Chapter 7.3 Examples of Operators" (PDF). Mathematical Tools for Physics. ISBN 978-0486482125. Retrieved January 1, 2012.
^ Nearing, James (2010). "Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors" (PDF). Mathematical Tools for Physics. ISBN 978-0486482125. Retrieved January 1, 2012.
^ http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec03.pdf^{[베어 URL PDF]}
^ Szymanski, John E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers:Models and Applications. Taylor & Francis. p. 154. ISBN 0278000681.
^ Cédric Jules (February 25, 2015). "2D transformation matrices baking".

외부 링크

POV-Ray 매트릭스 페이지의 실제 예
참조 페이지 - 축 회전
선형 변환 계산기
변환 애플릿 - 2D 변환에서 행렬을 생성하거나 2D 변환에서 행렬을 생성합니다.
2D로 회전 중인 좌표 변환
Excel Fun - 스프레드시트에서 3D 그래픽스 구축

[1] 라파엘 아티(1965) 선형 기하학

[2] J. W. P. 히르슈펠트(1979) 유한장 투영 기하학, Clarendon Press

[3] Gentle, James E. (2007). "Matrix Transformations and Factorizations". Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics. Springer. ISBN 9780387708737.

[4] Nearing, James (2010). "Chapter 7.3 Examples of Operators" (PDF). Mathematical Tools for Physics. ISBN 978-0486482125. Retrieved January 1, 2012.

[5] Nearing, James (2010). "Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors" (PDF). Mathematical Tools for Physics. ISBN 978-0486482125. Retrieved January 1, 2012.

[6] ttp://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec03.pdf^{[베어 URL PDF]}

[7] Szymanski, John E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers:Models and Applications. Taylor & Francis. p. 154. ISBN 0278000681.

[8] Cédric Jules (February 25, 2015). "2D transformation matrices baking".

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v t 선형 대수
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 투영 선형 스팬 선형 지도 선형 투영 선형 독립성 선형 조합 근거 기준 변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유벡터 전치 선형 방정식
매트릭스	블록 분해 반전 가능 작은 곱셈 순위 변혁 크레이머의 법칙 가우스 소거
쌍선형	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 외부 제품 크로네커 곱 그램-슈미트 과정
다선형 대수	행렬식 크로스 프로덕트 트리플 프로덕트 7차원 교차곱 기하학 대수 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	듀얼 다이렉트 기능 공간 몫 부분 공간 텐서 곱
숫자	부동 소수점 수치 안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희박 행렬 선형 대수 라이브러리 비교
카테고리 개요 수학 포털

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정규형 선형 독립성 행렬 지수 원뿔 단면 행렬 표현 완전 매트릭스 유사역 행형식 브롱스키안
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