다변량 미적분학

다변량 미적분학(다변량 미적분학이라고도 한다)은 여러 변수의 함수를 갖는 미적분학에 한 변수의 미적분학을 확장한 것으로, 한 변수의 함수가 아니라 여러 변수의 함수를 포함하는 것이다.^[1]

일반적인 작업

한계 및 연속성

다변량 미적분학의 한계와 연속성에 대한 연구는 단변량 함수로 입증되지 않은 많은 반직관적 결과를 산출한다.^{[1]: 19–22} 예를 들어, 서로 다른 경로를 따라 접근했을 때 서로 다른 한계를 부여하는 두 변수의 영역 내 점이 있는 스칼라 함수가 있다. 예:함수

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}}$

점$({\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,0)}$이(가) 원점을 통과하는 선에 $$할${\displaystyle }$때마다 ${\displaystyle 0}$에 접근한다$(y$ = k x {\$displaystyle$ y=kx$}).$ 그러나 포물선 $y{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ x$^{2}}$을 따라$$원점에 ${\displaystyle \mathrm{접근}}$했을${\displaystyle 때\mathrm{}}$ 함수$$값은 ± 1 / 2 {\displaystyle$pm 1/2}$의 한도를 가진다$.$ 같은 지점을 향해 다른 경로를 취하면 다른 한계값을 산출하기 때문에 일반적인 한계는 존재하지 않는다.

다변량 연속성에 충분하지 않은 각 주장의 연속성도 다음의 예에서 볼 수 있다.^{[1]: 17–19} 특히 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x,y)}$라는 두 개의 실제 값을 가진 실제 값 함수의 경우 고정 y ${\displaystyle y}$에 $대한$ f ${\$$displaystyle f}$의 연속성$,$ 고정$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$에 대한$$ y ${\$$displaystyty y$$}$의 $연속성{\displaystyle }$$$. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 연속성을 의미하지 않는다$.$

고려하다

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{case}}}$

쿼드랑글$({\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle \times }$ ( ${\displaystyle 0,1}$ ) × ( 1 ) ${\displaystyle (0,1)\time (0,1)}$에 대한 정의에 의해 이 함수가 0임을 쉽게 확인할 수 있다$.$ 더욱이 $상수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaysty$ y$}$와 0${\displaystyle }0$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\\displaystytytype 0\leq$ a\leq $a$\$leq$ a\$c.$

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$) ${\$)=f($x,a$)\$ft }$ 및 ${\displaystyle \mathrm{h<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; g\_\{a\}(x)=f(x,a)\backslash quad\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/632bd718e14516805227102094212e9b885ad3f0"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:17.452ex;\; height:2.843ex;">}{}_{}}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f(,}$ y${\displaystyle }$) = f(, ${\displaystyle y}$ ) ${\$

연속적이다. 구체적으로 말하자면

${\displaystyle {}_{}}$g ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) = ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$,${\displaystyle 0}$) = ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$0 ,${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=$0$$}=f(0$,y)=0}.$

However, the sequence ${\displaystyle f\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)}$ (for natural ${\displaystyle n}$) converges to ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)=1}$, rendering the function as di$({\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,0)}$에 스콜틴이 있음$.$ x ${\displaystyle x}$- 및 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$축과$$ 평행하지 않은 원점에 접근하면 이 불연속성이 드러난다.

함수 구성의 연속성

If ${\displaystyle f(x,y)}$ is continuous at ${\displaystyle (a,b),}$ and ${\displaystyle g}$ is a single variable function continuous at ${\displaystyle f(a,b),}$ then the composite function ${\displaystyle h=g\circ f}$ defined by ${\displaystyle h(x,y)=g(f(x,y))}$${\displaystyle h(x,y)=g(f(x,y))}$은$(,{\displaystyle b}$)$${\$displaystyle(a,b$)에서 연속적이다$.$$}$

예를 들어 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \exp(x-y)}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{ln<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash exp(x-y)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0e850e9bfc429198db907b91c8eaf6d4e6b6e2ae"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:10.687ex;\; height:2.843ex;">}}$ ${\displaystyle (1}$+ ${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$- 4 ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle y).}$ ${\displaystyle \ln(1+xy-4x+10y$)을 참조하십시오$.$$}$

연속함수의 속성

${\displaystyle f(}$ x${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x,y)}$ 및 $g$(x , y${\displaystyle }$) ${\displaystyle g(x,y)}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{모두}}$ (${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle(a,b)}$에서 연속인$$ 경우$$

(i) $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$± g${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle f(x,y)\pm g(x,y)}$은$({\displaystyle }$는) ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (a,b$)에서 연속이다$.$$}$

(ii) ${\displaystyle c}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle cf$${\displaystyle (}$$x,y)}$은(는${\displaystyle )}$ ( , b ) ${\displaystyle (a,b)}$에서 상수 c에 대해$$ 연속적이다$$.

(iii) $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x,$${\displaystyle y}$$)}$${\displaystyle }$. ${\displaystyle .}$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaysty g(x,y)}}$은$({\displaystyle }$a , ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$.$${\$displaystyle (a,b$)에서 연속적이다$.$$}$

$({\displaystyle }$iv) ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$, y${\displaystyle \frac{}{}}$) g${\displaystyle \frac{}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$, ${\displaystyle \frac{y}{}}$) ${\$$x,y$$)}}{$g${\displaystyle (}$${\displaystyle b}$$),$ $g{\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b)}$가${\displaystyle 0}$ 0$.$ {\$displaystystyle g(a,$b)\$neq 0.}$에 연속됨$$

(${\displaystyle v}$) $\mid {\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \mid f(x,y)\mid }$는 $(,{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle }$.$displaystyle (a,b)$에서 연속된다.$}$

부분 분화

부분파생상품은 파생상품의 개념을 더 높은 차원으로 일반화한다. 다변량함수의 부분파생상품은 다른 모든 변수를 일정하게 유지하는 하나의 변수에 관한 파생상품이다.^{[1]: 26ff}

부분파생상품은 흥미로운 방법으로 결합되어 파생상품의 더 복잡한 표현을 만들 수 있다. 벡터 미적분학에서 델 연산자$($ (${\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \nabla }$)를 사용하여 부분파생물의 관점에서 그라데이션, 발산, 컬의 개념을 정의한다. 부분파생상품의 행렬인 Jacobian 행렬은 임의차원의 두 공간 사이에 있는 함수의 파생상품을 나타내기 위해 사용될 수 있다. 따라서 파생상품은 함수의 영역에서 포인트마다 직접 변화하는 선형 변환으로 이해할 수 있다.

부분파생물을 포함하는 미분방정식을 부분미분방정식 또는 PDE라고 한다. 이러한 방정식은 일반적으로 하나의 변수에 대해서만 파생상품을 포함하는 일반적인 미분방정식보다 풀기 어렵다.^{[1]: 654ff}

다중 통합

다중 적분은 정수 함수에 대한 적분 개념을 확장한다. 이중 및 삼중 통합은 평면과 우주에서 영역의 면적과 부피를 계산하는 데 사용될 수 있다. 푸비니의 정리는 통합이 통합의 영역 전체에 걸쳐 지속되는 한 복수 적분 또는 반복된 적분으로 평가될 수 있음을 보장한다.^{[1]: 367ff}

표면 적분과 선 적분은 표면과 곡선과 같은 곡선 다지관 위에 통합하는 데 사용된다.

다차원 미적분학의 기본정리

단변량 미적분학에서 미적분의 기본 정리는 파생물과 적분 사이의 관계를 설정한다. 다변량 미적분학의 파생상품과 적분 사이의 연결은 벡터 미적분학의 통합적 이론에 의해 구체화된다.^{[1]: 543ff}

• 그라데이션 정리
• 스토크스 정리
• 발산정리
• 그린의 정리.

다변량 미적분학에 대한 보다 진보된 연구에서, 이 네 가지 이론은 다변량 위에 있는 미분 형태의 통합에 적용되는 일반화된 스톡스의 정리인 보다 일반적인 정리의 구체적인 함양이라고 볼 수 있다.^[2]

응용 프로그램 및 사용

다변량 미적분학의 기법은 물질 세계에서 많은 관심 대상들을 연구하기 위해 사용된다. 특히.

다변량 미적분은 다중 자유도를 갖는 결정론적 시스템을 분석하는 데 적용할 수 있다. 각 자유도에 해당하는 독립 변수를 갖는 함수는 이러한 시스템을 모델링하는 데 종종 사용되며, 다변량 미적분학은 시스템 역학 특성화를 위한 도구를 제공한다.

다변량 미적분은 연속 시간 동적 시스템의 최적 제어에 사용된다. 다양한 경험적 데이터 집합 간의 관계를 추정하기 위한 공식을 도출하기 위해 회귀 분석에 사용된다.

다변량 미적분은 결정론적 행동을 보이는 고차원적 시스템을 모델링하고 연구하기 위해 자연과학과 사회과학의 많은 분야에서 사용된다. 예를 들어 경제학에서 다양한 상품에 대한 소비자의 선택과 생산하기 위해 사용할 다양한 입력과 생산자 선택에 대한 생산자 선택은 다변량 미적분학을 사용하여 모델링된다. 금융의 양적 분석가들도 다변량 미적분을 주식시장의 향후 추이를 예측하기 위해 사용하는 경우가 많다.

비결정론적 또는 확률론적 시스템은 확률론적 미적분과 같은 다른 종류의 수학을 사용하여 연구될 수 있다.

참고 항목

• 다변량 미적분학 주제 목록
• 다변량 통계량

참조

외부 링크

• UC 버클리 대학교 다변량 미적분학 비디오 강의, 2009년 가을, 에드워드 Frenkel 교수
• MIT 비디오 강의 다변량 미적분학, 2007년 가을
• 다변량 미적분학: 조지 케인과 제임스 헤롯의 무료 온라인 교과서
• 다변량 미적분 온라인: 제프 크니슬리의 무료 온라인 교과서
• 다변량 미적분학 – 매우 빠른 리뷰, 교수 블레어 페롯, 매사추세츠 대학교 애머스트
• 다변량 미적분학, 제리 슈먼 박사의 온라인 텍스트