스칼라 숫자의 지수화를 일반화하는 행렬 작업
수학 에서 행렬 지수 란 일반적인 지수 함수와 유사한 제곱 행렬 의 행렬 함수 다. 그것은 선형 미분 방정식의 시스템을 푸는 데 사용된다. Lie groups 이론에서 매트릭스 지수화는 매트릭스 Lie 대수학과 해당 Lie group 사이의 연결을 제공한다.
X 실제 매트릭스 나 복잡한 매트릭스 가 되게 하라. e 또는 X exp(X )로 표시된 X 의 지수(expective)는 파워 시리즈 에 의해 주어진 n .
e X = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! X k {\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {1}{k! }}}X^{k}}}
여기서 X 0 {\ displaystyle X^{0} X {\displaystyle X} 매트릭스 {\displaystyle } . [1]
위의 시리즈는 항상 수렴하기 때문 에 X의 지수화가 잘 정의되어 있다. X 가 1×1 행렬인 경우 X 의 행렬 지수화는 1×1 행렬이며, 단일 요소는 X 의 단일 원소의 일반적인 지수다 .
특성. 기본 속성 X Y n ×n 하고 우리 n×n 정체성 행렬 을 I 행렬 을 0으로 나타낸다. 행렬 지수(matrix index)는 다음과 같은 특성을 만족한다.[2]
우리는 파워 시리즈로서 정의의 즉각적인 결과인 속성부터 시작한다.
e 0 = I exp(X T ) = (X X T X 나타낸다 .T exp(X ∗ ) = (Exp 여기 ∗ X 결합 전이 를 나타낸다.∗ Y 불가능 한 경우, e = YeYYXY −1 X −1 다음 주요 결과는 다음과 같다.
X Y Y X {\displaystyle XY=YX} X Y e X Y {\ displaystyle ^{X}e^{ Y}=e^{X+Y 이 정체성의 증거는 실수의 지수화에 대한 해당 정체성에 대한 표준 파워 시리즈 주장과 동일하다. 즉, X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle displaysty Y 일반적 displaystyle displaystyle } Golden-Thompson 불평등 참조).
선행정체성의 결과는 다음과 같다.
e aX e bX e (a + b )X e X e −X = I 위의 결과를 이용하여 우리는 다음의 주장을 쉽게 확인할 수 있다. X 대칭 이면 e X X 스큐대칭이면 e X 직교 한다. X 에르미트 인 경우 e X X 스큐-헤르미티아인이 라면 e X 단일체 다.
마지막으로, 매트릭스 기하급수적 인 라플라스 변환 은 분해자 에 해당한다.
∫ 0 ∞ e − t s e t X d t = ( s I − X ) − 1 {\displaystyle \int _{0}^{0}^{-e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1} s 의 모든 큰 양의 값에 대해.
선형미분방정식계 행렬 지수화가 중요한 이유 중 하나는 선형 일반 미분 방정식 의 시스템을 푸는 데 사용할 수 있기 때문이다. 의 해결책
d d t y ( t ) = A y ( t ) , y ( 0 ) = y 0 , {\dplaystyle {\frac {d}{dt}y(t)=Aay(t),\quad y(0)=y_{0},} 여기서 A 는 상수 행렬로, 다음과 같이 주어진다. y ( t ) = e A t y 0 . {\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}. }
행렬 지수(matrix expective)는 비균형 방정식을 해결하는 데도 사용할 수 있다.
d d t y ( t ) = A y ( t ) + z ( t ) , y ( 0 ) = y 0 . {\dplaystyle {\frac {d}{dt}y(t)=Aay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}. } 예는 아래 응용 프로그램 섹션을 참조하십시오.
양식의 미분방정식에 대한 폐쇄형식 솔루션이 없다.
d d t y ( t ) = A ( t ) y ( t ) , y ( 0 ) = y 0 , {\displaystyle {\frac {d}{dt}y(t)= A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}}} 여기서 A 는 일정하지 않지만, Magnus 시리즈 는 솔루션을 무한의 금액으로 제공한다.
행렬 지수 결정 요인 자코비의 공식 에 의해, 어떤 복잡한 사각 행렬에 대해서도, 다음과 같은 추적 정체성 은 다음을 가지고 있다.[3]
퇴장시키다 ( e A ) = e tr ( A ) . \\displaystyle \det \left(e^{ A}\오른쪽)=e^{\operatorname {tr}(A)}~.}
계산 도구를 제공하는 것 외에도, 이 공식은 매트릭스 지수화가 항상 반전 가능한 매트릭스 라는 것을 보여준다. 이는 상기의 방정식의 오른쪽이 항상 0이 아니므로 det(eA ) 0 0이 되어야 하며, 이 A e가 반드시 되돌릴 수 있어야 함을 의미한다.
실제 가치의 경우, 이 공식은 또한 지도를 보여준다.
생략하다 : M n ( R ) → G L ( n , R ) {\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathb {R})\mathrm {GL}(n,\mathb {R})}에 연결 앞서 언급한 복잡한 사례와 대조적으로, 굴욕적 이지 않다. 이는 실제 값 매트릭스의 경우, 계산식의 우측은 항상 양수인 반면, 음의 결정 인자를 가진 변위 불가능한 매트릭스는 존재한다는 사실에서 비롯된다.
실제 대칭 행렬 실제 대칭 행렬의 행렬 지수화는 양의 한정적이다. S {\displaystyle S} ( 를) n x ∈ R displaystyle x\in mathb {R}^{n}} 매트릭스 지수 및 대칭 행렬의 기본 특성을 사용하여 다음 작업을 수행하십시오.
x T e S x = x T e S / 2 e S / 2 x = x T ( e S / 2 ) T e S / 2 x = ( e S / 2 x ) T e S / 2 x = ‖ e S / 2 x ‖ 2 2 ≥ 0. {\displaystyle x^{ T}e^{S}x=x^{ T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{ T}(e^{S/2})^{ T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{ T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert _{2}^{2}}\geq 0.}
e S 2 {\ displaystyle ^{S/2}} x {\displaystyle x=0} , x T s x 0 {\displaysty x^{ 0이 아닌 모든 {\displaystyle x} T}e^{S}x>0 }. S {\ displaystyle e^{S}
기하급수적인 금액 모든 실수(scalars) x 와 y 에 대해 우리는 지수함수가 e x +y e x y 출퇴근 행렬도 마찬가지다. 행렬 X 와 Y 가 통근할 경우(XY YX
e X + Y = e X e Y . {\displaystyle e^{X+ Y}=e^{X}e^{Y}. }
그러나 위의 평등을 통근하지 않는 행렬의 경우 반드시 평등이 유지되는 것은 아니다.
더 리 제품 공식 X 와 Y 가 통근하지 않더라도 지수 e X + Y 제품 공식으로 계산 할[4]
e X + Y = 임이 있는 n → ∞ ( e 1 n X e 1 n Y ) n . {\displaystyle e^{X+ Y}=\lim _{n\to \inflt }\왼쪽(e^{{\frac {1}{n}X}e^{\frac {1}{n}}}) Y}\오른쪽)^{n}}
위와 같은 근사치를 위해 큰 유한 n 을 사용하는 것은 수치적 시간 진화 에 종종 사용되는 스즈키-트로터 팽창의 기초가 된다.
베이커-캠프벨-하우스도르프 공식 다른 방향으로는 X 와 Y 가 충분히 작다면(하지만 반드시 통근하는 것은 아님) 우리는
e X e Y = e Z , {\displaystyle e^{X}e^{ Y}=e^{Z}} 여기 서 Z 는 Baker-Campbell-Hausdorff 공식 에 의해 X 와 Y의 정류자 로 계산될 수 있다.[5] Z = X + Y + 1 2 [ X , Y ] + 1 12 [ X , [ X , Y ] ] + ⋯ , {\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{1}:{2}}[X,Y]+{\frac {1}{1}{12}}}[X,Y]]+\cdots ,} 여기서 나머지 용어는 X 와 Y 를 포함하는 모든 반복 정류자. X 와 Y 가 통근하면 모든 통근자는 0이고 우리 Z = X + Y
은둔자 행렬의 기하급수적 불평등 에르미트 행렬 의 경우 행렬 지수 추적 과 관련된 주목할 만한 정리가 있다.
A 와[6] B 가 에르미트 행렬이라면
tr 생략하다 ( A + B ) ≤ tr [ 생략하다 ( A ) 생략하다 ( B ) ] . {\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \reft[\exp(A)\exp(B)\right]. }
동시성의 요건은 없다. 황금연휴라는 것을 보여주는 몇 가지 좋은 예가 있다. 톰슨 부등식은 세 가지 행렬로 확장할 수 없으며, 어떤 경우에도 에르미타인 A C tr(A )exp(C ) 가 진짜라고 보장되지 않는다. 그러나 Lieb 은 다음과 같이 표현을 수정하면 세 개의 행렬로 일반화될 수 있다는 것을 증명했다[7] [8]
tr 생략하다 ( A + B + C ) ≤ ∫ 0 ∞ d t tr [ e A ( e − B + t ) − 1 e C ( e − B + t ) − 1 ] . {\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\nft }\mathrm {d}t\,\operatorname {tr} \left[e^{} A}\좌(e^{-B}+t\우)^{-1}e^{C}\좌(e^{-B}+t\우)^{-1}\우). }
지수 지도 행렬의 지수성은 항상 반전 가능한 행렬 이다. e X e −X 의해 주어진다. 이것은 복잡한 숫자의 지수화가 항상 0이 아니라는 사실과 유사하다. 매트릭스 지수(matrix index)는 우리에게 지도를 준다.
생략하다 : M n ( C ) → G L ( n , C ) {\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathb {C})\mathrm {GL}(n,\mathb {C})}에 연결 모든 n ×n 행렬의 공간으로부터 일반 선형 그룹 n 도, 즉 모든 n×n 변위 불가능한 행렬의 그룹 에 이르기까지. 사실, 이 지도는 굴절적 이며, 이는 모든 반전 가능한 행렬이 일부 다른[9] 있다는 것을 의미한다(이를 위해서는 R이 아닌 복잡한 숫자의 필드 C 를 고려하는 것이 필수적이다).
X 와 Y 행렬 두 개에 대해
‖ e X + Y − e X ‖ ≤ ‖ Y ‖ e ‖ X ‖ e ‖ Y ‖ , \displaystyle \left\e^{X+Y}-e^{X}\right\\ \leq \e^{\e^{}\e^{}}}
여기서 ‖ · ‖ 은 임의의 행렬 규범 을 나타낸다. M n C 콤팩트 서브셋에서 지수 맵이 연속적 이고 립슈츠가 연속적 이라는 것을 따른다.
지도
t ↦ e t X , t ∈ R \displaystyle t\mapsto e^{tX}\qquad t\in \mathb {R}} t 0 에서 ID 요소를 통과하는 일반 선형 그룹에서 부드러운 곡선을 정의한다.
실제로 이는 이후 일반 선형 그룹의 1-모수 부분군 을 제공한다.
e t X e s X = e ( t + s ) X . {\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}. }
점 t 에서 이 곡선(또는 접선 벡터 )의 파생값은 다음과 같다.
d d t e t X = X e t X = e t X X . {\displaystyle {\frac {d}{dt}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X. } (1 )
t 0 에서의 파생상품은 행렬 X 에 불과하며, 이는 X 가 이 단일모수 부분군을 생성한다는 것을 의미한다.
일반적으로 [10] X (t )
d d t e X ( t ) = ∫ 0 1 e α X ( t ) d X ( t ) d t e ( 1 − α ) X ( t ) d α . {\dplaystyle {\frac{d}{dt}e^{X(t)}=\int_{0}e^{1}e^{1}e^{\frac {dX(t)}{dt}e^{{dt}}e^{1-\alpha )X(t)\,d\alpha ~.}
위의 표현을 적분 부호 바깥으로 가져가고 X (t )Hadamard 보조정리기 의 도움으로 매트릭스 지수의 파생에 대한 다음과 같은 유용한 표현을 얻을 수 있다.[11]
( d d t e X ( t ) ) e − X ( t ) = d d t X ( t ) + 1 2 ! [ X ( t ) , d d t X ( t ) ] + 1 3 ! [ X ( t ) , [ X ( t ) , d d t X ( t ) ] ] + ⋯ {\displaystyle \left({\frac {d}{dt}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)={\frac{d}}X(t)+{\frac {1}{1}{1}{2! }}}\왼쪽[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3! }}}\왼쪽[X(t),\왼쪽[X(t), {\frac {d}{dt}{dt}}X(t)\오른쪽]+\cdots }}}
위 표현식의 계수는 지수에서 나타나는 계수와 다르다. 닫힌 폼은 지수 맵의 파생 모델을 참조하십시오.
행렬 지수 계산 매트릭스 지수 계산을 위한 신뢰할 수 있고 정확한 방법을 찾는 것은 어려운 일이며, 이것은 여전히 수학 및 수치 분석에서 상당한 현재 연구의 주제다. Matlab , GNU 옥타브 , SciPy 모두 Padé 근사치 를 사용한다.[12] [13] [14] 이 절에서는 어떤 매트릭스에 원칙적으로 적용 가능하고 작은 매트릭스에 대해 명시적으로 수행할 수 있는 방법에 대해 논의한다.[15] 후속 섹션에서는 대형 행렬에 대한 수치 평가에 적합한 방법을 설명한다.
대각선 가능 케이스 행렬이 대각선 인 경우:
A = [ a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &0&\0&\cdots &\vdots >\0&\cdots &n}{bmatrix},},} 그런 다음 주 대각선의 각 항목을 지수화하여 지수화를 얻을 수 있다. e A = [ e a 1 0 ⋯ 0 0 e a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ e a n ] . {\displaystyle e^{ A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}�&\cdots &0���&#e^{0}}}\cdots &\vdots &\vdots \0�>e_{n}}}. }
이 결과는 또한 대각선이 가능한 행렬 을 강조할 수 있다. 만약
A = UDU −1
그리고
e A Ue D U −1
실베스터 공식 의 적용은 동일한 결과를 산출한다. (이를 위해 대각 행렬의 덧셈과 곱셈, 즉 지수화는 요소별 덧셈과 곱셈과 동일하며, 특히 "1차원" 지수화는 대각선 사례에 대해 요소별로 체감된다는 점에 유의한다.)
예: 대각선 가능 예를 들어, 행렬
A = [ 1 4 1 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}} 로 대각선화 될 수 있다. [ − 2 2 1 1 ] [ − 1 0 0 3 ] [ − 2 2 1 1 ] − 1 . {\displaystyle{bmatrix}-2&\\1&1\\\end{bmatrix}{bmatrix}-1&0\0&3\\end{bmatrix}{bmatrix}{bmatrix}-{bmatrix}-2&1\end}{bmatrix}^-1}. }
그러므로,
e A = [ − 2 2 1 1 ] e [ − 1 0 0 3 ] [ − 2 2 1 1 ] − 1 = [ − 2 2 1 1 ] [ 1 e 0 0 e 3 ] [ − 2 2 1 1 ] − 1 = [ e 4 + 1 2 e e 4 − 1 e e 4 − 1 4 e e 4 + 1 2 e ] . {\displaystyle e^{ A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{ 4}-1}{4e}&{\frac {e^{4}+1}{2e}\\\end{bmatrix}}. }
닐포텐트 케이스 일부 정수 q 에 대해 N q 0 이면 행렬 N 은 영점 이다. 이 경우 행렬 지수 e N
e N = I + N + 1 2 N 2 + 1 6 N 3 + ⋯ + 1 ( q − 1 ) ! N q − 1 . {\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{1}{1}{1}{1}{2}}:N^{1}{6}{6}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{1}(q-1)! }}{{q-1}~.}
시리즈는 스텝 수가 한정되어 있기 때문에 매트릭스 다항식으로서 효율적으로 계산 할 수 있다.
일반사례 요르단-체발리 분해 사용 Jordan-Chevalley 분해 에 의해, 복잡한 항목이 있는 모든 n × n {\displaystyle n\times n} X 는 다음과 같이 표현할 수 있다.
X = A + N [\displaystyle X=A+N} 어디에
A 는 대각선으로 할 수 있다N 은 nilpotent이다.A 는 N 과 통근 한다.이는 X 의 지수화를 앞의 두 가지 사례로 줄임으로써 계산할 수 있다는 것을 의미한다.
e X = e A + N = e A e N . {\displaystyle e^{X}=e^{A+ N}=e^{A}e^{N}}}
마지막으로 작업 하기 위해서 는 A와 N의 동시성이 필요하다는 점에 유의하십시오.
요르단 표준 형식 사용 밀접하게 연관된 방법은, 만일 그 필드가 대수적으로 닫힌다면 , 요르단 형태 의 X로 작업하는 것이다. X PJP −1 J 는 X 의 요르단 형태라고 가정하자. 그러면
e X = P e J P − 1 . {\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}. }
또한, 그 이후로
J = J a 1 ( λ 1 ) ⊕ J a 2 ( λ 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ J a n ( λ n ) , e J = 생략하다 ( J a 1 ( λ 1 ) ⊕ J a 2 ( λ 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ J a n ( λ n ) ) = 생략하다 ( J a 1 ( λ 1 ) ) ⊕ 생략하다 ( J a 2 ( λ 2 ) ) ⊕ ⋯ ⊕ 생략하다 ( J a n ( λ n ) ) . {\displaystyle {\reasoned} J&, =J_{a_{1}}(\lambda_{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda_{2})\oplus \cdots\oplus J_{a_{n}}(\lambda_{n}),\\e^{J}&, =\exp{\big(}J_{a_{1}}(\lambda_{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda_{2})\oplus \cdots\oplus J_{a_{n}}(\lambda_{n}){\big)}\\&,=\exp{\big(}J_{a_{1}}(\lambda_{1}){\big)}\oplus\exp{\big(}J_{a_{2}}(\lambda_{2}){\big)}\oplus \cdo.\oplus \ets xp {\big (}J_{a_{n})(\lambda _{n}{n}{\big )}. \end{정렬}}}
따라서 요르단 블록의 행렬 지수 계산법만 알면 된다. 그러나 각각의 요르단 블록은 형태다.
J a ( λ ) = λ I + N ⇒ e J a ( λ ) = e λ I + N = e λ e N . 디스플레이 스타일 {\displaystyle}&&> J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\ Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}. \end{정렬}}}
여기서 N 은 특별한 영점 행렬이다. 그런 다음 J의 행렬 지수(matrix expectivity)는 다음과 같다.
e J = e λ 1 e N a 1 ⊕ e λ 2 e N a 2 ⊕ ⋯ ⊕ e λ n e N a n {\displaystyle e^{ J}=e^{\lambda _{1}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{2}}e^{{n_{2}}:}\cdots \oplus \oplus \oplus e^{n_{n}}e^{n_{a_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}oplus }
투영 케이스 P 가 투영 행렬 인 경우(예 2 공차 : P = P
e P I + (e - 1)P
지수함수의 확장에 의해 이를 도출하면 P 의 각 검정력은 P 로 감소하며, 이는 합계의 공통 요인이 된다.
e P = ∑ k = 0 ∞ P k k ! = I + ( ∑ k = 1 ∞ 1 k ! ) P = I + ( e − 1 ) P . {\displaystyle e^{P}=\sum _{k=0}^{\flac{P^{k}}{k! }}}=I+\왼쪽(\sum _{k=1}^{\inflt }{\frac {1}{k! }}\오른쪽) P=I+(e-1)P~ }
회전 케이스 수직 단위가 a b 회전 행렬 R 은 발전기 G 와 각도 θ 을 포함하는 유사한 지수 함수의 관점에서 표현될 수 있다.[16] [17] [18]
G = b a T − a b T P = − G 2 = a a T + b b T P 2 = P P G = G = G P , {\displaystyle {\reasoned} G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}} R ( θ ) = e G θ = I + G 죄를 짓다 ( θ ) + G 2 ( 1 − cas ( θ ) ) = I − P + P cas ( θ ) + G 죄를 짓다 ( θ ) . {\displaystyle {\reasoned} R\reft(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta )\&=I-P+P\cos(\ta )+G\sin(\ta )~~ \\end{aigned}}
지수식의 공식은 직렬 팽창에서 G 의 힘을 감소시키고 G 와2 G의 각각의 직렬 계수를 각각 -cos(계수 ) 와 sin(계수 ) 으로 식별함으로써 얻어진다. 여기서 e Gθ 대한 두 번째 표현은 발전기 의 파생인 R (R ) e Gθ 포함하는 글에서 R (R
2차원, 만약 =[10]{\displaystyle a=\left[{\begin{}smallmatrix 1\\0\end{smallmatrix}}\right]}, b)[01]{\displaystyle b=\left[{\begin{}smallmatrix 0\\1\end{smallmatrix}}\right]}, G=[0− 110]{\displaystyle G=\left는 경우에는{\begin{smallmatrix}0&, -1\\1.&0\e nd{smallmatrix}}\ right ], G 2 1 0 ] displaystyle G }=\left begin}-1&0\\end{smallmatrix}\right
R ( θ ) = [ cas ( θ ) − 죄를 짓다 ( θ ) 죄를 짓다 ( θ ) cas ( θ ) ] = I cas ( θ ) + G 죄를 짓다 ( θ ) {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\\cos(\theta )\end{bmatrix}= I\cos(\theta)+G\sin(\theta )} 평면 회전의 표준 행렬로 감소한다.
행렬 P -G 는2 Ab-plane에 벡터를 투영 하며 회전은 벡터의 이 부분에만 영향을 미친다. 이를 예시하는 예는 a b 30° = π/6 의 회전이다.
a = [ 1 0 0 ] b = 1 5 [ 0 1 2 ] {\displaystyle{bmatrix}\mathbf {a} &={\bmatrix}1\\0\\\\\end{bmatrix}&\mathbf {b} &={\frac{1}{\sqrt{5}{bmatrix}0\\\\\\2\end}{bmatrix\}}}}}정렬}}}}}}}}}}}}:{bmatrix\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} G = 1 5 [ 0 − 1 − 2 1 0 0 2 0 0 ] P = − G 2 = 1 5 [ 5 0 0 0 1 2 0 2 4 ] P [ 1 2 3 ] = 1 5 [ 5 8 16 ] = a + 8 5 b R ( π 6 ) = 1 10 [ 5 3 − 5 − 2 5 5 8 + 3 − 4 + 2 3 2 5 − 4 + 2 3 2 + 4 3 ] {\displaystyle {\reasoned} G={\frac{1}{\sqrt{5}}}&{\begin{bmatrix}0&, -1&, -2\\1&, 0&, 0\\2&, 0&, 0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&, ={\frac{1}{5}}{\begin{bmatrix}5&, 0&, 0\\0&, 1&, 2\\0&, 2&, 4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac{1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}}{를}+{\frac{8}{\sqrt{5}=\mathbf}\mathbf{b}&.R\left({\frac{\pi}{6}}\right)&, ={\frac{1}{10}}{ \begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
Let N I P N 2 N P G 이것은 우리
R ( π 6 ) = N + P 3 2 + G 1 2 R ( π 6 ) 2 = N + P 1 2 + G 3 2 R ( π 6 ) 3 = N + G R ( π 6 ) 6 = N − P R ( π 6 ) 12 = N + P = I {\displaystyle {\reasoned} R\왼쪽({\frac {\pi }{6}}\오른쪽)& =N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\ R\왼쪽({\frac {\pi }{6}}\오른쪽) ^{6}&=N-P\\ R\왼쪽({\frac {\pi }{6}}\오른쪽)^{12}&=N+P= I\\\end{aigned}}
로랑 시리즈별 평가 Cayley-Hamilton 의 정리 덕분 에 매트릭스 지수화는 순서 n-1의 다항식으로서 표현 가능하다.
P 와 Q t 한 변수에서 0이 아닌 다항식인 경우(예 :P (A)함수의 경우
f ( z ) = e t z − Q t ( z ) P ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}}}} 그러면 전체일 것이다. e t A = Q t ( A ) . (\displaystyle e^{t) A}=Q_{t}(A). } 이를 증명하기 위해 위의 두 동일성 중 첫 번째 (z ) 를 곱하고 z를 A 로 대체한다.
그러한 다항식 Qt (z )실베스터 공식 참조. P 의 근원이 되는 Qa,t (z )로랑 시리즈 f 의 주요 부분 을 a: 관련 프로베니우스 공변량 에 비례하여 P 의 산물에서 해결된다. 그 다음, P의 모든 뿌리에 걸쳐 있는 Q 의a,t 합 S 를t 특정 Q t 취할 수 있다. 나머지 Q 는t 모두t (z )에 P 의 배수를 더하면 얻을 수 있을 것이다. 특히t P 보다 학위가 낮은 Q는 라그랑주-실베스터 다항식 인 St (z )가 유일하다.
예 : 임의의 2×2 행렬의 경우를 생각해 보십시오.
A := [ a b c d ] . {\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}. }
Cayley-Hamilton 정리 덕분 에 지수 행렬 e 는tA
e t A = s 0 ( t ) I + s 1 ( t ) A . (\displaystyle e^{t) A}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A. }
(모든 복잡한 숫자 z 와 C-알지브라B 에 대해, 우리는 z 의 제품을 B 의 단위로 다시 표시한다.)
α 와 β 를 A 의 특성 다항식 의 뿌리가 되게 한다.
P ( z ) = z 2 − ( a + d ) z + a d − b c = ( z − α ) ( z − β ) . {\displaystyle P(z)=z^{2}-(a+d)\z+ad-bc=(z-\alpha )~.}
그러면 우리는
S t ( z ) = e α t z − β α − β + e β t z − α β − α , {\displaystyle S_{t}=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\fraca -\beta }{\frac {z-\alpha }{\beta -},},} 이 때문에 s 0 ( t ) = α e β t − β e α t α − β , s 1 ( t ) = e α t − e β t α − β {\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}}
α β , 반면 α β
S t ( z ) = e α t ( 1 + t ( z − α ) ) , {\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha )~,}
하도록
s 0 ( t ) = ( 1 − α t ) e α t , s 1 ( t ) = t e α t . {\displaystyle {\regated}s_{0}(t)&=(1-\cHB \,t)\,e^{\cHB t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\cHB t}. \end{정렬}}}
정의
s ≡ α + β 2 = tr A 2 , q ≡ α − β 2 = ± − 퇴장시키다 ( A − s I ) , {\displaystyle {\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}}
우리는 가지고 있다.
s 0 ( t ) = e s t ( 코쉬 ( q t ) − s 징징거리다 ( q t ) q ) , s 1 ( t ) = e s t 징징거리다 ( q t ) q , {\displaystyle {\sinh(qt)s_{0}(t)&=e^{st}\좌측(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}&s_{1}(t)&=e^}{\frac {\sinh(qt){q},\end}}}}}}
어디 sin(쿼트)/q은 0만약 t=0이고 그리고 t 만약 q=0.
그러므로,
e t A = e s t ( ( 코쉬 ( q t ) − s 징징거리다 ( q t ) q ) I + 징징거리다 ( q t ) q A ) . (\displaystyle e^{t) A}=e^ᆪ\left(\left((qt\cosh)-s{\frac{\sinh(쿼트)}{q}}\right)~ I~+{\frac{\sinh(쿼트)}{q}}A\right)~.}
위에서 지적한 바와 그러므로 매트릭스 A는 서로 잡아서 통학 조각들은traceful 말은 흔적이 없는 piece,의 합으로 분해됩니다.
A = s I + ( A − s I ) , {\displaystyle A=sI+(A-sI)~,}
매트릭스는 기하 급수적인 두개의 각각의 조각들의 기하 급수적 현상 일반 제품 감소한다. 이것은 공식 종종 물리학에서 사용되는, 파울리의 스핀 매트릭스의 그룹 SU(2)의 더블렛 표현의 회전은 오일러의 공식의 아날로그에 달한다.
그 다항식 성은 그 다음"보간법"특성화가 주어질 수 있다. , n≡도 et(z)≡ etz를 정의합니다. P. 그리고 St(z)은 독특한 학위를<>;St(k)(를)충족하는 n의 다항식)et(k)(를) 때마다 k은은 다수를 뿌리의 P. 우리가 분명히 우리는 A의 P는 최소 다항식을 가정하 우리는 더 A는diagonalizable 행렬을 가정하고 있다. 특히, P의 뿌리, 그리고"보간법"특성이 성은 라그랑주 보간 공식에 의해서 주어진다, 그래서 그것은 Lagrange−Sylvester 다항식 여부를 나타내는 간단하다.
다른 극단에, 만약 P)(z-)n.
S t = e a t ∑ k = 0 n − 1 t k k ! ( z − a ) k . {\displaystyle S_{t}=e^{에서}\\sum _{k=0}^{n-1}\{\frac{t^{k}}{k! }})(z-a)^{k}~.}
때 P는 이와는 ≠ b, 2(z− b){\displaystyle P=(z-a)^{2}(z-b)}(z는 −)는 가장 간단한 사건은 위의 관찰에 의해 덮여 있지 않습니다.
S t = e a t z − b a − b ( 1 + ( t + 1 b − a ) ( z − a ) ) + e b t ( z − a ) 2 ( b − a ) 2 . {\displaystyle S_{t}=e^{에서}\{\frac{z-b}{a-b}})\left(1+\left(t+{\frac{1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{고}\{\frac{{2(z-a)^}}{(b-a)^{2}}}. }
실베스터의 공식의 구현에 의해 평가. 위의 실용적, 앞당겨 계산은 다음과 같은 급속한 단계로 줄어든다. 위에서n×n 행렬 exp(tA)한 Cayley–Hamilton 정리까지 첫번째n−1 힘의 선형 조합에 달하다 생각해내라. diagonalizable 매트릭스에 대하여,, 예를 들어 위에. 2×2 경우 A의 B는 프로베니우스 covariants, 실베스터의 공식 수익률)exp(tA)Bα exp(tα)+Bβ exp(tβ),에서 잘 드러나
그러나 A 와 I 의 관점에서 이 표현식과 그 첫 번째 파생상품 0 으로 평가하여 이들 B 를 위해 직접 간단히 해결하는 것이 가장 쉽다.
그러나 이 간단한 절차는 Buchheim으로 인한 일반화에서 결함 이 있는 행렬에도 효과가 있다.[19] 이것은 대각선이 가능 하지 않은 매트릭스의 4×4 예에 대해 여기에 설명되며, B 는 투영 매트릭스가 아니다.
고려하다
A = [ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 − 1 8 0 0 1 2 1 2 ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\\0&1&0\\0&0&-{1}{1}{8}\0&0&{\frac{1}{1}{1}:{2}}:\{bmatrix},},},} 고유값 λ 1 3/4 및 λ 2 1 로, 각각 2의 다중성을 가진다.
각 고유값에 t , exp(expi )를 곱한 지수 값을 고려하십시오. 각 지수화된 고유값을 해당 미결정 계수 행렬 i 고유값이 1보다 큰 대수적 곱을 갖는 경우 이 과정을 반복하되, 각 반복에 대해 t 의 추가 인수를 곱하여 선형 독립성을 보장한다.
(If one eigenvalue had a multiplicity of three, then there would be the three terms: B i 1 e λ i t , B i 2 t e λ i t , B i 3 t 2 e λ i t {\displaystyle B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}} nct, B 는 프로베니우스 공변량일 뿐이며, 그들을 위해 아래와 같이 해결하는 것은 단지 이 4개의 고유값의 반데르몬드 행렬 의 역행위에 해당한다.)
그런 조건을 모두 합치면 여기 네 가지 조건이 있는데
e A t = B 1 1 e λ 1 t + B 1 2 t e λ 1 t + B 2 1 e λ 2 t + B 2 2 t e λ 2 t , e A t = B 1 1 e 3 4 t + B 1 2 t e 3 4 t + B 2 1 e 1 t + B 2 2 t e 1 t . {\displaystyle {\regated}e^ {At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~. \end{정렬}}}
A 의 처음 세 가지 힘과 정체성의 관점에서 모든 알려지지 않은 행렬 B 를 해결하기 위해서는 4개의 방정식이 필요하다. 위의 방정식은 t = 0에서 그러한 방정식을 제공한다. 또한, t 에 대해 차별화한다.
A e A t = 3 4 B 1 1 e 3 4 t + ( 3 4 t + 1 ) B 1 2 e 3 4 t + 1 B 2 1 e 1 t + ( 1 t + 1 ) B 2 2 e 1 t , {\displaystyle Ae^{At}={\frac {3}{4}B_{1_{1}e^{\frac {3}+\왼쪽({\frac {3}{4}}{4}}t+1\오른쪽) B_{1_{2}}e^{\frac {3}{4}}+1B_{2_{1}e^{1t}+\왼쪽(1t+1\오른쪽) B_{2_{2}}e^{1t}~,}
그리고 또,
A 2 e A t = ( 3 4 ) 2 B 1 1 e 3 4 t + ( ( 3 4 ) 2 t + ( 3 4 + 1 ⋅ 3 4 ) ) B 1 2 e 3 4 t + B 2 1 e 1 t + ( 1 2 t + ( 1 + 1 ⋅ 1 ) ) B 2 2 e 1 t = ( 3 4 ) 2 B 1 1 e 3 4 t + ( ( 3 4 ) 2 t + 3 2 ) B 1 2 e 3 4 t + B 2 1 e t + ( t + 2 ) B 2 2 e t , {\displaystyle {\reasoned} A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right) B_{1_{2}}e^{\frac {3}{4}}+B_{2_{1}e^{1t}+\왼쪽(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\오른쪽) B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right) B_{1_{2}}e^{\frac {3}{4}}+B_{2_{1}e^{1}+{1}++\왼쪽(t+2\오른쪽) B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aigned}}}
그리고 한 번 더
A 3 e A t = ( 3 4 ) 3 B 1 1 e 3 4 t + ( ( 3 4 ) 3 t + ( ( 3 4 ) 2 + ( 3 2 ) ⋅ 3 4 ) ) B 1 2 e 3 4 t + B 2 1 e 1 t + ( 1 3 t + ( 1 + 2 ) ⋅ 1 ) B 2 2 e 1 t = ( 3 4 ) 3 B 1 1 e 3 4 t + ( ( 3 4 ) 3 t + 27 16 ) B 1 2 e 3 4 t + B 2 1 e t + ( t + 3 ⋅ 1 ) B 2 2 e t . {\displaystyle {\reasoned} A^{3}e^{At}&=\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)^{3}^{3} }B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right) B_{1_{2}}e^{\frac {3}{4}}+B_{2_{1}e^{1t}+\왼쪽(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\오른쪽) B_{2_{2}}e^{1t}\&=\왼쪽({\frac{3}{4}\오른쪽)^{3 }}B_{1}_{1}e^{{\frac {3}{4}}\! +\왼쪽(\왼쪽)\frac {3}{4}\오른쪽)^{3}t\! +{\frac {27}{16}\오른쪽) B_{1_{2}}e^{\frac {3}{4}}\! +B_{2_{1}e^{t}\! +\왼쪽(t+3\cdot 1\오른쪽) B_{2_{2}}e^{t}~ \end{정렬}}}
(일반적으로 n-1 파생상품이 필요하다.)
이 4개의 방정식에서 t = 0을 설정하면, 4개의 계수 행렬 B 는 다음과 같이 해결될 수 있다.
I = B 1 1 + B 2 1 A = 3 4 B 1 1 + B 1 2 + B 2 1 + B 2 2 A 2 = ( 3 4 ) 2 B 1 1 + 3 2 B 1 2 + B 2 1 + 2 B 2 2 A 3 = ( 3 4 ) 3 B 1 1 + 27 16 B 1 2 + B 2 1 + 3 B 2 2 , {\displaystyle {\reasoned} I&=B_{1}_{1}+B_{2_{1}\ A&={\frac{3}{4}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2}}+B_{2}}+B_{2_{2}}+B_{2_{2}}\\ A^{2}&=\왼쪽({\frac {3}{4}}\오른쪽)^{2}B_{1_{1}:{1}+{3}{2}}:B_{1}{1_{2}}+B_{2_{1}+{1}+2B_{2_{2}}\\\\\ A^{3}&=\left({\frac {3}{4}\오른쪽)^{3 }}B_{1}_{1}+{\frac {27}{16}{1_{2}}+B_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aigned}}}}}}}
양보하다
B 1 1 = 128 A 3 − 366 A 2 + 288 A − 80 I B 1 2 = 16 A 3 − 44 A 2 + 40 A − 12 I B 2 1 = − 128 A 3 + 366 A 2 − 288 A + 80 I B 2 2 = 16 A 3 − 40 A 2 + 33 A − 9 I . {\displaystyle {\reasoned} B_{1_{1}}&=128 A^{3}-366A^{2}+288A-80 I\\B_{1_{2}}&=16 A^{3}-44 A^{2}+40A-12 I\\B_{2_{1}&=-128 A^{3}+366 A^{2}-288A+80 I\\B_{2_{2}}&=16 A^{3}-40A^{2}+33A-9 I~.\end{aigned}}
A 의 값으로 대체하면 계수 행렬이 생성된다.
B 1 1 = [ 0 0 48 − 16 0 0 − 8 2 0 0 1 0 0 0 0 1 ] B 1 2 = [ 0 0 4 − 2 0 0 − 1 1 2 0 0 1 4 − 1 8 0 0 1 2 − 1 4 ] B 2 1 = [ 1 0 − 48 16 0 1 8 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ] B 2 2 = [ 0 1 8 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\reasoned} B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&, 0&, 48&, -16\\0&, 0&, -8&, 2\\0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&, 0&, 4&, -2\\0&, 0&, -1&,{\frac{1}{2}}\\0&, 0&,{\frac{1}{4}}&-{\frac{1}{8}}\\0&, 0&,{\frac{1}{2}}&-{\frac{1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&){\be.gin{bmatrix}1&, 0&, -48&, 16\\0&, 1&, 8&, -2\\0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&, 1&, 8&, -2\\0&, 0&0 &0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\end{aigned}}}
그래서 마지막 답은
e t A = [ e t t e t ( 8 t − 48 ) e t + ( 4 t + 48 ) e 3 4 t ( 16 − 2 t ) e t + ( − 2 t − 16 ) e 3 4 t 0 e t 8 e t + ( − t − 8 ) e 3 4 t − 2 e t + t + 4 2 e 3 4 t 0 0 t + 4 4 e 3 4 t − t 8 e 3 4 t 0 0 t 2 e 3 4 t − t − 4 4 e 3 4 t . ] (\displaystyle e^{t) A}={\begin{bmatrix}e^{t}&t^{t}&\왼쪽(8t-48\오른쪽)e^{t}\! +\좌측(4t+48\우측)e^{{\frac {3}{4}}&\좌측(16-2\,t\우측)e^{t}\! +\왼쪽2t-16\오른쪽)e^{{\frac {3}{4}}\0&e^{t}e^{t}\! +\frac-8\오른쪽)e^{{\frac {3}{4}}{4}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}{2} }}}{{\frac{3}{4}}\0&0&{\frac {t+4}{4}{4} }}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~. \end{bmatrix}}}
이러한 경우에 이용되는 퍼처의 알고리즘 보다 절차가 훨씬 짧다.
삽화 다음 지수 값을 계산한다고 가정해 보십시오.
B = [ 21 17 6 − 5 − 1 − 6 4 4 16 ] . {\displaystyle B={\begin{bmatrix}21&17&6\\\-5&-1&-6\\4&16\end{bmatrix}. }
그것의 요르단 형식은
J = P − 1 B P = [ 4 0 0 0 16 1 0 0 16 ] , {\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&161\\0&16\end{bmatrix},} 매트릭스 P가 주어지는 위치 P = [ − 1 4 2 5 4 1 4 − 2 − 1 4 0 4 0 ] . {\displaystyle P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{1}{4}&#{5}{4}\{4}\\\frac {1}{1}{4}&-{\frac {1}{1}{4}\0&#end{bmatrix}}}. }
먼저 exp(J )를 계산해 보자. 우리는 가지고 있다.
J = J 1 ( 4 ) ⊕ J 2 ( 16 ) {\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)}
1×1 행렬의 지수화는 행렬의 한 항목인 지수일 뿐이므로 exp(J1 (4) = [e 4 ] J 2 (16)의 지수값은 위에 언급 (λI + N ) e = e eλ N [20]
생략하다 ( [ 16 1 0 16 ] ) = e 16 생략하다 ( [ 0 1 0 0 ] ) = = e 16 ( [ 1 0 0 1 ] + [ 0 1 0 0 ] + 1 2 ! [ 0 0 0 0 ] + ⋯ ) = [ e 16 e 16 0 e 16 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2! }{{\\\bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}+\cdots {}\오른쪽)={\\\nmatrix}e^{16}&e^{0&e^{16}\end{bmatrix}}}}. \end{정렬}}}
따라서 원래 행렬 B 의 지수값은 다음과 같다.
생략하다 ( B ) = P 생략하다 ( J ) P − 1 = P [ e 4 0 0 0 e 16 e 16 0 0 e 16 ] P − 1 = 1 4 [ 13 e 16 − e 4 13 e 16 − 5 e 4 2 e 16 − 2 e 4 − 9 e 16 + e 4 − 9 e 16 + 5 e 4 − 2 e 16 + 2 e 4 16 e 16 16 e 16 4 e 16 ] . {\displaystyle{\begin{정렬}(B)&, =P\exp(J)P^{)}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&, 0&, 0\\0&, e^{16}&, e^{16}\\0&, 0&, e^{16}\end{bmatrix}}P^ᆳ\\[6pt]&, ={1\over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&, 13e^{16}-5e^{4}&, 2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&, 16e^{16}&, 4e^{16}\end{bmatrix}}. \end{정렬}}}
적용들 선형 미분 방정식 행렬 지수에는 선형 미분 방정식 의 시스템에 적용이 있다. (매트릭스 미분방정식 을 참조하십시오.) 이 글의 앞부분에서 폼의 균일 한 미분 방정식을 상기하십시오.
y ′ = A y {\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} } 용액 At y 0) 가 있다.
벡터를 생각해보면
y ( t ) = [ y 1 ( t ) ⋮ y n ( t ) ] , {\displaystyle \mathbf {y}(t)={\put{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix},} 우리는 다음과 같이 이종 결합 선형 미분 방정식의 시스템을 표현할 수 있다. y ′ ( t ) = A y ( t ) + b ( t ) . {\displaystyle \mathbf {y} '(t)= A\mathbf {y}(t)+\mathbf {b}(t). } ansatz 를 만들어 e −At 통합 계수를 사용하고 전체에서 곱하면 산출량이 증가한다. e − A t y ′ − e − A t A y = e − A t b ⇒ e − A t y ′ − A e − A t y = e − A t b ⇒ d d t ( e − A t y ) = e − A t b . {\displaystyle {\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right) &=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{arged}}}
두 번째 단계는 AB BA이면 eB At Be At 따라서 e At t 에 대한 세 번째 단계를 간단히 통합함으로써 시스템에 대한 해결책이 도출된다.
예제(동종) 시스템을 고려하십시오.
x ′ = 2 x − y + z y ′ = 3 y − 1 z z ′ = 2 x + y + 3 z . {\displaystyle {\buff}x'x&-y&+z\\'yz\z'x&+3z\end}~}
관련 불량 행렬은
A = [ 2 − 1 1 0 3 − 1 2 1 3 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\0&3&1\\nd{bmatrix}.}
행렬 지수:
e t A = 1 2 [ e 2 t ( 1 + e 2 t − 2 t ) − 2 t e 2 t e 2 t ( − 1 + e 2 t ) − e 2 t ( − 1 + e 2 t − 2 t ) 2 ( t + 1 ) e 2 t − e 2 t ( − 1 + e 2 t ) e 2 t ( − 1 + e 2 t + 2 t ) 2 t e 2 t e 2 t ( 1 + e 2 t ) ] , (\displaystyle e^{t) A}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right) \\e^{2t}\left1+e^{2t}+2t\right)&2t^{2t}{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix},}
균질계통의 일반적인 용액이
[ x y z ] = x ( 0 ) 2 [ e 2 t ( 1 + e 2 t − 2 t ) − e 2 t ( − 1 + e 2 t − 2 t ) e 2 t ( − 1 + e 2 t + 2 t ) ] + y ( 0 ) 2 [ − 2 t e 2 t 2 ( t + 1 ) e 2 t 2 t e 2 t ] + z ( 0 ) 2 [ e 2 t ( − 1 + e 2 t ) − e 2 t ( − 1 + e 2 t ) e 2 t ( 1 + e 2 t ) ] , {\displaystyle {\bmatrix}x\\y\z\end{bmatrix}={\frac {x(0)}{2}}:{\n1}{bmatrix}e^{2t}\좌측(1+e^{2t}-2t\오른쪽)\-e^{2t}\좌측1+e^{2t}-{2t}-e^{2t}-e^{2t}-e^{2t}-우측근) \\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right) \\e^{2t}\왼쪽(1+e^{2t}\오른쪽)\end{bmatrix},}
에 상당하는.
2 x = x ( 0 ) e 2 t ( 1 + e 2 t − 2 t ) + y ( 0 ) ( − 2 t e 2 t ) + z ( 0 ) e 2 t ( − 1 + e 2 t ) 2 y = x ( 0 ) ( − e 2 t ) ( − 1 + e 2 t − 2 t ) + y ( 0 ) 2 ( t + 1 ) e 2 t + z ( 0 ) ( − e 2 t ) ( − 1 + e 2 t ) 2 z = x ( 0 ) e 2 t ( − 1 + e 2 t + 2 t ) + y ( 0 ) 2 t e 2 t + z ( 0 ) e 2 t ( 1 + e 2 t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~. \end{정렬}}}
예제(이종) 이제 비균형 시스템을 고려하십시오.
x ′ = 2 x − y + z + e 2 t y ′ = 3 y − z z ′ = 2 x + y + 3 z + e 2 t . {\displaystyle {\buff}x'x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\\y'&y&z&\z&#=x&#&#&#x&#&#&#{2t}\end}
우리는 다시 가지고 있다.
A = [ 2 − 1 1 0 3 − 1 2 1 3 ] , {\displaystyle A=\왼쪽[{\begin{array}{rrrr}2&-1&1\\0&3-1\\\2&1&3\end{array}\오른쪽],}
그리고
b = e 2 t [ 1 0 1 ] . {\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\nd{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}. }
이전부터 우리는 이미 동질 방정식에 대한 일반적인 해결책을 가지고 있다. 동질적이고 특정한 해결책의 합이 비균형 문제에 대한 일반적인 해결책을 제공하므로, 우리는 이제 특정한 해결책만을 찾으면 된다.
우리는, 위로는,
y p = e t A ∫ 0 t e ( − u ) A [ e 2 u 0 e 2 u ] d u + e t A c = e t A ∫ 0 t [ 2 e u − 2 u e 2 u − 2 u e 2 u 0 − 2 e u + 2 ( u + 1 ) e 2 u 2 ( u + 1 ) e 2 u 0 2 u e 2 u 2 u e 2 u 2 e u ] [ e 2 u 0 e 2 u ] d u + e t A c = e t A ∫ 0 t [ e 2 u ( 2 e u − 2 u e 2 u ) e 2 u ( − 2 e u + 2 ( 1 + u ) e 2 u ) 2 e 3 u + 2 u e 4 u ] d u + e t A c = e t A [ − 1 24 e 3 t ( 3 e t ( 4 t − 1 ) − 16 ) 1 24 e 3 t ( 3 e t ( 4 t + 4 ) − 16 ) 1 24 e 3 t ( 3 e t ( 4 t − 1 ) − 16 ) ] + [ 2 e t − 2 t e 2 t − 2 t e 2 t 0 − 2 e t + 2 ( t + 1 ) e 2 t 2 ( t + 1 ) e 2 t 0 2 t e 2 t 2 t e 2 t 2 e t ] [ c 1 c 2 c 3 ] , {\displaystyle {\displaysty}\mathbf {y} _{p}&=e^{t. A}\int _{0}^{t}e^{(-u) A}{{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\e^{2u}\end{bmatrix}\,du+e^{t A}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{t A}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{t A}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{t A}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\왼쪽(2e^{u}-2ue^{2u}\오른쪽) \\e^{2u}\left2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}\,du+e^{t} A}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{t A}{\begin{bmatrix}(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\ᆰe^ᆱ\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\ᆲe^ᆳ\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&, -2te^{2t}&, 0\\-2e^ᆹ+2(t+1)e^{2t}&, 2(t+1)e^{2t}&, 0\\2te^{2t}&, 2te^{2t}&, 2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\.c_{3}\end{bmatrix}}~,\en d{정렬}}} 매개변수의 변동을 통해 필요한 특정 솔루션을 결정하기 위해 더욱 단순화할 수 있다. 참고 c = y(0 p 자세한 내용은 다음 일반화를 참조하십시오.
비균형 사례 일반화: 모수의 변동 비균형 사례의 경우 통합 요인 (모수 변동에 유사 한 방법)을 사용할 수 있다. 우리 p y(t ) = exp(tA ) z (t .
y p ′ ( t ) = ( e t A ) ′ z ( t ) + e t A z ′ ( t ) = A e t A z ( t ) + e t A z ′ ( t ) = A y p ( t ) + e t A z ′ ( t ) . {\displaystyle {\begin}\mathbf {y} _{p}(t)&=\왼쪽(e^{tA}\오른쪽)'\mathbf {z}(t)+e^{t) A}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]& =Ae^{tA}\mathbf {z}(t)+e^{t A}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]& =A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{t A}\mathbf {z} '(t)~.\end{aigned}}}
네 p
e t A z ′ ( t ) = b ( t ) z ′ ( t ) = ( e t A ) − 1 b ( t ) z ( t ) = ∫ 0 t e − u A b ( u ) d u + c . {\displaystyle {\regated}e^{t A}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}
그러므로,
y p ( t ) = e t A ∫ 0 t e − u A b ( u ) d u + e t A c = ∫ 0 t e ( t − u ) A b ( u ) d u + e t A c , {\displaystyle {\displaysty}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{t A}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b}(u)\,du+e^{t A}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b}(u)\,du+e^{t A}\mathbf {c} ~,\end{aigned}} 여기서 c
더 정확히 말하자면, 방정식을 생각해봐.
Y ′ − A Y = F ( t ) Y'-A\ Y=F(t)}
초기 조건 Y (t 0 ) Y 0 경우
A 는 n by n 복잡한 행렬이다.F 는 어떤 개방간격 I에서 ℂ까지의n t 0 {\ displaystyle t_{0}} Y 0 {\ displaystyle Y_{0}} C n 위 −tA 표시된 동일성에 e 수율을 좌로 곱함
Y ( t ) = e ( t − t 0 ) A Y 0 + ∫ t 0 t e ( t − x ) A F ( x ) d x . {\displaystyle Y(t)=e^{(t-t_{0}) A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}^{t}e^{(t-x)A}\F(x)\dx~.}
우리는 그 방정식의 해답이
P ( d / d t ) y = f ( t ) [\d(d/dt)\ y=f(t)}
초기 조건 y k t y k {\ displaystyle y^{(k)}(t_{0})=y_{k}} k is
y ( t ) = ∑ k = 0 n − 1 y k s k ( t − t 0 ) + ∫ t 0 t s n − 1 ( t − x ) f ( x ) d x , {\displaystyle y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\y_{k}\s_{k}\{k}}\{k}(t-t_{0})+\{t_{n-1}s(t-x)\f(x),},}
여기서 표기법은 다음과 같다.
P ∈ C X ] {\displaystyle P\in \mathb {C} [X]} 도 0 의 단일 다항식이다.f 는 어떤 열린 간격 I 에 대해 정의된 연속적인 복합 가치 함수다. t 0 {\ displaystyle t_{0}} y k {\ displaystyle y_{k}} sk (t )Laurent 시리즈별 하위평가 에서 t ] displaystyle S_{t}\in \mathb {C}[X]} k {\ displaystyle ^{k}}}}
이러한 주장을 정당화하기 위해, 우리는 우리의 순서 n 스칼라 방정식을 통상적인 축소에 의해 순서 1 벡터 방정식으로 변형시켜 첫 번째 순서 시스템 으로 바꾼다. 우리의 벡터 방정식은 형태를 취한다.
d Y d t − A Y = F ( t ) , Y ( t 0 ) = Y 0 , {\displaystyle {\frac {dY}{dt}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})= Y_{0}} 여기서 A 는 P 의 전치사 행렬 이다. 위에서 설명한 바와 같이 실베스터 공식을 구현하여 서브섹션 평가 에서 수행한 관찰에 의해 매트릭스 지수 계산식을 해결한다.
사례 n = 2에서 우리는 다음과 같은 진술을 얻는다. 에 대한 해결책.
y ″ − ( α + β ) y ′ + α β y = f ( t ) , y ( t 0 ) = y 0 , y ′ ( t 0 ) = y 1 {\displaystyle y'-(\displaystyle y'-(\cHB +\cHB )\,\display \y=f(t)},\display y(t_{0}})=y_{1}:{1}
이다
y ( t ) = y 0 s 0 ( t − t 0 ) + y 1 s 1 ( t − t 0 ) + ∫ t 0 t s 1 ( t − x ) f ( x ) d x , {\displaystyle y(t)=y_{0}\s_{0}(t-t_{0})+{1}\s_{1}(t-t_{0})+\{t_{0}^{t}s_{1}s(t-x)\,}
여기서 기능 및 0 s 1 상기 Laurent 시리즈 에 의한 하위 섹션 평가와 같다.
매트릭스 지수 다른 행렬의 행렬 지수(매트릭스-매트릭스 지수)[21]
X Y = e 통나무를 하다 ( X ) ⋅ Y X^{\displaystyle X^{ Y}=e^{\log(X)\cdot Y}} Y X = e Y ⋅ 통나무를 하다 ( X ) {\displaystyle ^{Y}X=e^{ Y\cdot \log(X)}} 모든 정규 및 비송음 X 및 복잡한 n ×n Y 에 대해.
매트릭스 지수에는 매트릭스 대 매트릭스의 곱셈 연산자가 역호작용 하지 않기 때문에 왼쪽 지수 X와 오른쪽 지수Y X의 구분이 있다. 게다가
X 가 정상이고 음성이 아닌 경우 X 와Y X 는 동일한 고유값 집합을 가진다.X 가 정상이고 음성이 아닌 경우 Y 가 정상이고 XY YX이면 X Y .만약 X가 정상이고 비성격이고 X , Y, Z 가 서로 통근한다면, X Y +Z = X,Z XY Z , X = X X 참고 항목 참조 ^ 홀 2015 방정식 2.1^ 홀 2015 제안 2.3^ 홀 2015 정리 2.12^ 홀 2015 정리 2.11^ 홀 2015 제5장^ Bhatia, R. (1997). Matrix Analysis . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 169. Springer. ISBN 978-0-387-94846-1 ^ E. H. Lieb (1973). "Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture" . Advances in Mathematics 11 (3): 267–288. doi :10.1016/0001-8708(73)90011-X ^ H. Epstein (1973). "Remarks on two theorems of E. Lieb". Communications in Mathematical Physics . 31 (4): 317–325. Bibcode :1973CMaPh..31..317E . doi :10.1007/BF01646492 . S2CID 120096681 . ^ 홀 2015 연습 2.9 및 2.10^ R. M. Wilcox (1967). "Exponential Operators and Parameter Differentiation in Quantum Physics". Journal of Mathematical Physics . 8 (4): 962–982. Bibcode :1967JMP.....8..962W . doi :10.1063/1.1705306 . ^ 홀 2015 정리 5.4^ "Matrix exponential – MATLAB expm – MathWorks Deutschland" . Mathworks.de. 2011-04-30. Retrieved 2013-06-05 .^ "GNU Octave – Functions of a Matrix" . Network-theory.co.uk. 2007-01-11. Archived from the original on 2015-05-29. Retrieved 2013-06-05 .^ "scipy.linalg.expm function documentation" . The SciPy Community. 2015-01-18. Retrieved 2015-05-29 .^ 홀 2015 2.2를 참조하십시오.^ 유클리드 공간에서. ^ Weyl, Hermann (1952). Space Time Matter ISBN 978-0-486-60267-7 ^ Bjorken, James D.; Drell, Sidney D. (1964). Relativistic Quantum Mechanics 22 . ^ 리네하트, R. F. (1955) "모성 함수의 정의의 등가성 ". 미국 수학 월간지 , 62 (6), 395-414. ^ 이것은 일반화할 수 있다. 일반적으로 J n a )대각선상 a e/0!, 위쪽 a e/1!, 다음 a /2! 등이 있는 상위 삼각 행렬이다. ^ Ignacio Barradas and Joel E. Cohen (1994). "Iterated Exponentiation, Matrix-Matrix Exponentiation, and Entropy" (PDF) . Academic Press, Inc. Archived from the original (PDF) on 2009-06-26. Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991). Topics in Matrix Analysis . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46713-1 Moler, Cleve ; Van Loan, Charles F. (2003). "Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later" (PDF) . SIAM Review . 45 (1): 3–49. Bibcode :2003SIAMR..45....3M . CiteSeerX 10.1.1.129.9283 doi :10.1137/S00361445024180 . ISSN 1095-7200 .Suzuki, Masuo (1985). "Decomposition formulas of exponential operators and Lie exponentials with some applications to quantum mechanics and statistical physics". Journal of Mathematical Physics . 26 (4): 601–612. Bibcode :1985JMP....26..601S . doi :10.1063/1.526596 . Curtright, T L ; Fairlie, D B ; Zachos, C K (2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications . 10 : 084. arXiv :1402.3541 Bibcode :2014SIGMA..10..084C . doi :10.3842/SIGMA.2014.084 . S2CID 18776942 .Householder, Alston S. (2006). The Theory of Matrices in Numerical Analysis . Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0-486-44972-2 Van Kortryk, T. S. (2016). "Matrix exponentials, SU(N) group elements, and real polynomial roots". Journal of Mathematical Physics . 57 (2): 021701. arXiv :1508.05859 Bibcode :2016JMP....57b1701V . doi :10.1063/1.4938418 . S2CID 119647937 . 외부 링크
e 
(가) 통근하는 한, 
변환불가능하므로, 동등성은 
양적으로 확실하다. 
![{\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd974188ca2ee906d8c10114412bdc89b0db637a)
![{\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67f5a9c156589dcc0627529aeb987b7ab57ff77)
![{\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8395467e8b32cac1f2fd5634a920770cb7eca5e)
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c74b020fc5a663d2e643610b3dc6a5d3e9ee0c8)
![{\displaystyle G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66979defb968641217b24636f83ee2bd5c48135)
![{\displaystyle G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a245a10c8a673650524b9f214b72dbcd04558c2e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645acc0496a216b8b6bd59c4f7bc8ba0023e82d4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf04ed9a5767fa06004d8c32cb391df66373de5b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37743b1b3b11a50a71b628fede06041391b9c98)
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a866884769332fa1a366783b9a1d1955f7dc05)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef0cccdaf2d5b0fe9d53a321c37fdde8f71b782)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1870f9bb07a06edb36c925a5612cc28d61d36722)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8517346e558b122ce5039cdeb54006e7e0e7eb18)
I의 지점이며,
(는) 0 ( 
![P\in\mathbb{C}[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e0f3045d57f5926108bade04c243a473b2cdf1)
(는) 
(는) 복합수이며,![S_t\in\mathbb{C}[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600abf70e16defa72aa00bb637b53ca1d04049b5)
S t
