승법 디지털 루트

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숫자 이론상, 주어진 숫자 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 있는 자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 곱셈 디지털 루트를 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 숫자를 함께$$ 곱한 다음, 한 자릿수만 남을 때까지 이 작업을 반복하여 $n$의 곱셈 디지털 루트라고 한다$$$.$$\displaystyle n$^[1] 증분 디지털 루트는 디지털 루트의 증분 등가물이다.

정의

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 자연수가 되게$$ 하라.base > ${\displaystyle b>$1}${\displaystyle {}_{}}$b${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle N_{}}$→ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 대한 자릿수 제품은 다음과 같이$$ 정의한다.

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}}}}$

여기서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle {log}_{}}$ b${\displaystyle {}_{}nn+}$ + ${\displaystyle 1}${\$displaystyle k=\lfloor \log _{b$}\$n}\proper$ loor$+1}$는 $기본{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b$ 및

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}-n-{\bmod {b}^{i}}}{b^{i}}}}}}}:{b^{i}}}}}}}}}}}$

숫자의 각 자릿수 값이다.자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이$($${\displaystyle 가}$) $F{\displaystyle {}_{}}$ b ${\$의 고정점이라면 승법 디지털 루트인데, ${\displaystyle F}$ b${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= n ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$일 경우 발생한다$.$

예를 들어 $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle b=10}$에서$$0은 다음과 같이 9876의 승법 디지털 루트다.

${\displaystyle F_{10}(9876)=(9)(8)(6)=3024}$

${\displaystyle F_{10}(3024)=3(0)(2)=0}$

${\displaystyle F_{10}(0)=0}$

모든 자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 베이스에 관계없이 F ${\displaystyle b_{}}$ ${\$에 대한 사전 주기적 지점이다$.$$왜냐하면{\displaystyle }$ n${\displaystyle b}$ b$${\$displaystyle$ n$\geq$ b$}$이면$,$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}}}}$

따라서

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}=d_{k-1}\prod _{i=0}^{k-2}d_{i}<d_{k-1}b^{k-1}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

< ${\displaystyle n$$b}$인 경우, 대수롭지 않게.

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

따라서, 가능한 유일한 승법 디지털 뿌리는 0 < < b ${\$$displaystyle$ $0$$\leq n<b}$이고,0 <$b>$의 고정점 이외에는 주기가 없다

곱셈 지속성

$F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$이(가) 고정 지점에 도달하기 위해$$ 필요한$$ $반복{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$의 수는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 곱셈 지속성이다$.$승수 지속성은 고정점에 도달하지 못하면 정의되지 않는다.

베이스 10에서는 곱셈 i> ${\displaystyle$ i$>11}$을(를) 가진 숫자가 없다고 추측한다 이는 숫자 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\$에 대해 사실인 것으로 알려져 있다$.$^[2][1]지속성이 0, 1, ...인 가장 작은 숫자는 다음과 같다.

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 6889, 26778889, 268889, 268889, 37788899, 2777788899, 27777888888888899(OEIS에서 순서 A003001)

이 숫자에 대한 검색은 이 기록을 깨는 숫자의 소수 자릿수에 대한 추가 속성을 사용하여 속도를 높일 수 있다.이 숫자들은 정렬되어야 하며, 처음 두 자리를 제외하고, 모든 숫자는 7, 8 또는 9여야 한다.처음 두 자리 숫자에 대한 추가 제한도 있다.이러한 제한에 기초하여 $기록적$인 지속성을 가진 k ${\displaystyle k}$ -자리$$ 숫자의 수는 가능한 모든 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -자리$$ 숫자의 극히 $일부인$k$${\$displaystyle$ k$}$의 제곱에 비례한다.그러나 위의 순서에서 누락된 숫자는 11보다 큰 곱셈 지속성을 가질 수 있다. 그러한 숫자는 존재하지 않는다고 믿으며, 만약 존재한다면 20,000자리 이상의 숫자를 가져야 한다.^[2]

음의 정수로 확장

승수 디지털 루트는 각 정수를 나타내기 위해 부호화된 숫자 표현을 사용하여 음의 정수로 확장할 수 있다.

프로그래밍 예제

아래의 예는 위의 정의에서 설명한 자릿수 제품을 구현하여 파이톤에서 승법 디지털 루트와 승법 지속성을 검색한다.

반항하다 digit_products(x: 인트로, b: 인트로) -> 인트로:     만일 x == 0:         돌아오다 0     총계 = 1     하는 동안에 x > 1:         만일 x % b == 0:             돌아오다 0         만일 x % b > 1:             총계 = 총계 * (x % b)         x = x // b     돌아오다 총계   반항하다 승수_디지털_루트(x: 인트로, b :인트로) -> 인트로:     보이는 = []     하는 동안에 x 아닌 에 보이는:         보이는.덧셈을(x)         x = digit_products(x, b)     돌아오다 x   반항하다 승법_수법(x: 인트로, b: 인트로) -> 인트로:     보이는 = []     하는 동안에 x 아닌 에 보이는:         보이는.덧셈을(x)         x = digit_products(x, b)     돌아오다 렌(보이는) - 1 

참고 항목

• 산술역학
• 디지트 합
• 디지털 루트
• 합계상품번호

참조

문학

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

외부 링크

• 2777777888888899의 특별한 점은? - 유튜브의 번호판(2019년 3월 21일)