펜타토페 수

펜타토프 번호는 파스칼 삼각형의 5번째 셀에서 5번째 열 1 4 6 4 4 1로 시작하는 번호로, 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 오른쪽에서 왼쪽으로이다.

이러한 종류의 첫 번째 숫자는 다음과 같다.

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365(OEIS의 후속 A000332)

펜타토프 숫자는 조각상 숫자의 등급에 속하는데, 이것은 규칙적이고 이산적인 기하학적 패턴으로 표현될 수 있다.^[1]

공식

n번째 펜타토프 숫자에 대한 공식은 n의 4번째 상승 요인인 4를 요인인 4로 나눈 값으로 나타낸다.

${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{\overline{4}}{4}}{4!}}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}.}$

펜타토프 숫자는 이항 계수로도 나타낼 수 있다.

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}$

즉, n + 3 개체에서 선택할 수 있는 구별되는 4배수의 숫자로, "n 더하기 3은 4를 선택한다"라고 큰 소리로 읽힌다.

특성.

펜타토프 숫자 3개 중 2개도 오각형 숫자다.정확히 말하자면,(3k − 2)thpentatope 번호는 항상(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw.-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}3k2− k/2)그 오각형의 번호와(3k − 1)thpentatope 번호는 항상(3k2+k/2)th 오각형의 번호입니다.(3k)번째 펜타토프 번호는 오각형 번호 공식에서 음수 지수 -3k² + k/2를 취하여 얻은 일반화된 오각형 번호다. (이러한 표현들은 항상 정수를 준다.)^[2]

모든 펜타토프 숫자의 왕복선의 무한 합은 4/3이다.^[3]이것은 텔레스코핑 시리즈를 사용하여 파생될 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflat }{\frac {4!}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}}={\frac {4}{3}}.}$

펜타토프 숫자는 첫 번째 n 사면수의 합으로 나타낼 수 있다.^[2]

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}}Te_{n}}$

또한 사면체 수 자체와도 관련이 있다.

${\displaystyle P_{n}={\tfrac {1}{4}}(n+3)Te_{n}.}$

프라임 번호는 펜타토프 번호의 전신( -1과 4=2만² 확인하면 됨)이며, 펜타토프 번호의 전신인 가장 큰 세미프라임은 1819이다.

마찬가지로, 6-단순 숫자 앞에 있는 유일한 소수점은 83과 461이다.

펜타토프 수 검정

우리는 이 테스트를 n번째 펜타토프 번호 공식에서 도출할 수 있다.

양의 정수 x가 주어진 경우, 계산 가능한 펜타토프 숫자인지 여부를 테스트하기 위해

${\displaystyle n={\\frac {{\sqrt {5+4{\sqrt{24x+1}}}{2}.}$^{[필요하다]}

숫자 x는 n이 자연수인 경우에만 펜타토프다.이 경우 x는 n번째 펜타토프 번호다.

생성함수

펜타토프 번호의 생성 함수는^[4]

${\displaystyle {\frac {x}{x}^{5}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\message .}$

적용들

생화학에서, 펜타토프 숫자는 4차원 단백질에 있는 n개의 다른 폴리펩타이드 하위 단위의 가능한 배열의 수를 나타낸다.

참조