사회적번호

수학에서, 사교수(society number)는 일정한 수의 합이 주기적인 수열을 이루는 수를 말합니다.그것들은 완벽한 숫자와 우호적인 숫자의 개념을 일반화한 것입니다.1918년 벨기에 수학자 폴 풀렛(Paul Poulet)에 의해 처음 두 개의 사회적 서열, 즉 사회적 사슬이 발견되고 명명되었습니다.^[1]사회적 수열에서 각 수는 앞 수의 고유한 나눗셈의 합, 즉 앞 수 자체를 제외한 합입니다.시퀀스가 상호 연관성을 가지려면 시퀀스가 순환적이어야 하며 시작점으로 되돌아가야 합니다.

순서의 주기 또는 사회적 숫자 집합의 순서는 이 주기의 숫자입니다.

수열의 주기가 1인 경우, 그 수는 차수 1의 사회적 수 또는 완벽한 수이다. 예를 들어 6의 적절한 나눗셈은 1, 2, 3이며, 그 합은 다시 6입니다.우호적인 숫자들의 쌍은 차수 2의 사회적인 숫자들의 집합입니다.순서 3의 사회적 번호는 알려져 있지 않으며 1970년 현재$$ $5{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle {107\mathrm{}}^{}}$ ${\$까지 검색이 수행되었습니다.^[2]

모든 수가 사회적 수 또는 소수(따라서 1)로 끝나는지, 아니면 이와 동등하게, 분획 수열이 절대 끝나지 않고, 따라서 경계 없이 증가하는 수가 존재하는지는 열린 문제입니다.

예

예를 들어, 숫자 1,264,460은 순환 분획 수열이 4의 주기를 갖는 사회적 숫자입니다.

${\displaystyle 1264460}$ ${\displaystyle 126460}$의 적합한 수의 합(= ${\displaystyle {22}^{}}$ ⋅ ${\displaystyle 5}$ ⋅ ${\displaystyle 17}$ ⋅ ${\displaystyle 3719}$ ${\displaystyle$ = $2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719$은

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860,

${\displaystyle 1547860}$ ${\displaystyle 1547860$$$= 22 ⋅ ${\displaystyle 5}$ ⋅ ${\displaystyle 193}$ ⋅ ${\displaystyle 401}$ ${\displaystyle$ = $2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401$의 적합한 나눗셈의 합은

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636,

${\displaystyle 1727636}$ ${\displaystyle 1727636$$$ = ${\displaystyle {22}^{}}$ ⋅ ${\displaystyle 521}$ ⋅ ${\displaystyle 829}$ ${\displaystyle$ = $2^{2}\cdot 521\cdot 829$의 적합한 나눗셈의 합은

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, 그리고

${\displaystyle 1305184}$ ${\displaystyle 13005184}$의 적합한 나눗셈의 합(= ${\displaystyle {25}^{}}$ ⋅ ${\displaystyle 40787}$ ${\displaystyle$ = $2^{5}\cdot 40787$은

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

알려진 사회적 번호 목록

다음은 2018년^[update] 7월 현재 알려진 모든 사회적 수를 해당 분획 수열의 길이로 분류한 것입니다.

순서 길이	알려진 개수 수열	최저수 순차적으로[3]
1 (완벽수)	51	6
2 (우호번호)	1225736919[4]	220
4	5398	1,264,460
5	1	12,496
6	5	21,548,919,483
8	4	1,095,447,416
9	1	805,984,760
28	1	14,316

만약 n이 3 모듈로 4와 동치이면 길이 n을 갖는 그러한 수열은 없다고 추측됩니다.

5주기 순서는: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264입니다.

알려진 유일한 28 사이클은 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22744, 19916, 17716 (OEIS의 시퀀스 A072890)입니다.벤 올린이 발견했습니다.

이 두 수열은 (완벽하고 우호적인 수를 제외하고) 백만 미만의 유일한 사회적 수를 제공합니다.

사회인 번호 검색 중

The aliquot sequence can be represented as a directed graph, ${\displaystyle G_{n,s}}$, for a given integer ${\displaystyle n}$, where ${\displaystyle s(k)}$ denotes the sum of the proper divisors of ${\displaystyle k}$.^[5] Cycles in ${\displaystyle G_{n,s}}$ represent sociable numbers within the interval ${\displaystyle$$[1,n]}.$두 가지 특수한 경우는 완벽한 수를 나타내는 루프와 우호적인 쌍을 나타내는 길이 2의 사이클입니다.

사회적 수 주기의 합 추측

길이가 2보다 큰 사회적 수 주기의 수가 무한대에 가까워질수록 10으로 나눈 사회적 수 주기의 합의 비율이 1에 접근한다고 추측됩니다(OEIS의 수열 A292217).

참고문헌

• H. 코헨, 우호적이고 사교적인 숫자로, 수학.Comp. 24 (1970), 페이지 423-429

외부 링크

• 알려진 사회적 번호 목록
• 완벽하고 우호적이며 사교적인 숫자의 광범위한 표
• Weisstein, Eric W. "Sociable numbers". MathWorld.
• OEIS에서 A003416(각 주기 최소 사회 번호) 및 A122726(모든 사회 번호)