매우 풍부한 수

Highly abundant number
처음 6개의 매우 풍부한 숫자의 디비저 총계(Cooksenaire 로드)

수학에서 고도로 풍부한 수는 그 부차(자체 포함)의 합이 더 작은 자연수의 부차 합보다 더 큰 속성을 가진 자연수다.

매우 풍부한 숫자와 몇 개의 비슷한 등급의 숫자들이 필라이(1943년)에 의해 처음 소개되었고, 이 문제에 대한 초기 작업은 알라오글루와 에르드스(1944년)에 의해 이루어졌다.Alaoglu와 Erdős는 모든 매우 풍부한 숫자를 10까지4 표로 작성했고, 어떤 N보다 적은 매우 풍부한 수의 수는 적어도 로그2 N에 비례한다는 것을 보여주었다.

공식 정의 및 예

형식적으로, 자연수 n은 모든 자연수 m < n,

여기서 σ은 divisors의 합 함수를 나타낸다.처음의 매우 풍부한 숫자는

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ...(OEIS의 경우 순차 A002093).

예를 들어 σ(5) = 5+1 = 6은 σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7보다 작기 때문에 5는 매우 풍부하지 않은 반면, 8은 8(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15가 σ의 모든 이전 값보다 크기 때문에 매우 풍부하지 않다.

매우 풍부한 유일한 홀수 숫자는 1과 3이다.[1]

다른 숫자 집합과의 관계

풍부하고, 원시적이고, 매우 풍부하고, 매우 풍부하고, 과잉이고, 엄청나게 풍부하고, 매우 복합적이고, 우수한 복합적이고, 매우 우수하고, 이상하고 완벽한 숫자의 오일러 도표 100 미만이다.

처음 8개의 요인 설계는 매우 풍부하지만 모든 요인 설계가 매우 풍부한 것은 아니다.예를 들어,

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

그러나 디비저의 합이 더 큰 적은 수가 있다.

σ(360360) = 1572480,

그래서 9!는 그다지 풍부하지 않다.

알라오글루와 에르데스는 모든 과잉수가 매우 풍부하다고 지적하고, 과잉이 아닌 무한히 많은 고농축 숫자가 있는지 물었다.이 문제는 장 루이 니콜라스(1969년)가 긍정적으로 대답했다.

용어에도 불구하고, 매우 풍부한 숫자가 모두 풍부한 것은 아니다.특히 고농축 7수(1, 2, 3, 4, 6, 8, 10) 중 풍성한 것은 하나도 없다.고농축 9번째 숫자인 16과 함께 이들만이 풍부하지 않은 고농축 숫자다.

7200은 또한 매우 풍부한 가장 큰 숫자로, 매우 풍부한 모든 큰 숫자들은 그것들을 단 한 번만 나누는 주요한 요소를 가지고 있다.따라서 7200은 홀수 합으로 가장 풍부하게 분포되어 있는 숫자이기도 하다.[2]

메모들

  1. ^ 알라오글루 & 에르드스(1944), 페이지 466을 참조한다.알라오글루와 에르데스는 210보다 큰 고농축의 모든 숫자를 4로 나누었다고 더 강력하게 주장하지만, 이것은 사실이 아니다: 630은 매우 풍부하며, 4로 나누지 않는다. (사실 630은 유일한 백작이며, 630은 매우 큰 모든 고농축의 숫자는 12로 나누어져 있다.)
  2. ^ Alaoglu & Erdős (1944년), 페이지 464–466.

참조

  • Alaoglu, L.; Erdős, P. (1944). "On highly composite and similar numbers" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 56 (3): 448–469. doi:10.2307/1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087.
  • Nicolas, Jean-Louis (1969). "Ordre maximal d'un élément du groupe Sn des permutations et "highly composite numbers"". Bull. Soc. Math. France. 97: 129–191. MR 0254130.
  • Pillai, S. S. (1943). "Highly abundant numbers". Bull. Calcutta Math. Soc. 35: 141–156. MR 0010560.