중심 육각수

수학이나 콤비네이터학에서 중심형 육각수,^[1][2] 즉 육각수는 중앙에 점이 있는 육각형을 나타내고 다른 모든 점은 육각형 격자로 중심점을 둘러싸고 있는 육각형을 나타내는 중심형 구상수다. 다음 그림은 처음 네 개의 중심 육각형 숫자에 대한 이러한 배열을 예시한다.

1		7		19		37
+1		+6		+12		+18

중심 육각수는 관련 육각형이 정점을 공유하는 형상수인 궁지에 몰린 육각수와 혼동해서는 안 된다.

육각형 번호의 순서는 다음과 같이 시작한다(OEIS의 순서 A003215).

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919.

공식

n번째 중심 육각수는 공식에^[2] 의해 주어진다.

${\displaystyle H(n)=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1=3n^{2}-3n+1.\,}$

공식을 다음과 같이 표현한다.

${\displaystyle H(n)=1+6\왼쪽({\frac {n-1)}{2}}\오른쪽)}$

n의 중심 육각형 수가 (n - 1)번째 삼각형 숫자의 6배 이상임을 나타낸다.

반대 방향에서 중심 $육각형수{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$= ${\displaystyle H}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle H=H(n)}$에 해당하는 지수 n은 공식으로 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle n={\frac {3+{\sqrt{12H-3}}{6}}.}$

이것은 숫자 H가 중심인 육각형인지 아닌지에 대한 시험으로 사용될 수 있다: 위의 표현이 정수일 경우에만 그럴 것이다.

반복 및 생성 기능

중심 육각형 번호 $H{\displaystyle (n}$) ${\displaystyle H(n)}$이(가) 재발 관계를^[2] 만족함$$

${\displaystyle H(n+1)=H(n)+6n.}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{생성함수}}$ $F{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{}}$= n ${\displaystyle \underset{}{\ge }}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{H}}}$( x${\displaystyle }$) x ${\displaystyle n^{}}$ ${\$을 계산할 수 있다$.$ 생성 함수가 충족됨

${\displaystyle F(x)=x+xF(x)+\sum _{n\geq 2}6nx^{n}.}$

후기는 6 ${\displaystyle \frac{x}{}}$ (${\displaystyle \frac{1}{}}$- ${\displaystyle \frac{x{}^{}}{}}$) 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {\frac {6x}{{{{{-x)^{2}}~6x$의 테일러 시리즈가므로, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle (1-x)F(x)=x+{\frac {6x}{1-x)^{2}}:6x={\frac {x+4x^{2}+x^{32}}:{1-x)^{2}}:$

결국 로 끝나다.

${\displaystyle F(x)={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{{1-x)^{3}}}.}$

특성.

베이스 10에서는 육각형 숫자의 가장 오른쪽(가장 작은) 숫자가 1-7–9–7–1 패턴을 따른다는 것을 알 수 있다(5주기 반복). 이는 모듈로 5를 복용할 때 0-1-3-1-0을 반복하는 삼각형 번호(OEIS의 순서 A008954)의 마지막 자리부터 이어진다.

첫 n 중심 육각수의 합은 n이다³. 즉 중앙의 육각형 피라미드 숫자와 정육면체는 같은 숫자지만 다른 모양을 나타낸다. 정반대의 관점에서 보면 중심 육각수는 2개의 연속된 정육면체의 차이이므로 중심 육각수는 정육면체의 그노몬이 된다. (이것은 도표에서 기하학적으로 볼 수 있다.) 특히 프라임 중심 육각수는 쿠바 프라임이다.

(2n)²과 n번째 중심 육각수의 차이는 3n² + 3n - 1 형식의 숫자인 반면,² (2n - 1)과 n번째 중심 육각수의 차이는 발음이 된다.

적용들

중심 6각형 숫자는 패킹 문제에 실용적으로 적용된다. 그것들은 비엔나 소시지와 같은 둥근 물건들을 더 큰 둥근 용기에 포장하거나 개별 철사 가닥을 케이블로 결합할 때 발생한다.^{[citation needed]}

참조

참고 항목

• 육각수
• 매직 육각형
• 별번호