기우가 수

기우가 수는 각 고유한 소인수_i p에 대해 $p_{i}|\left({n \over p_{i}}-1\right)$ ( $p_{i}|\left({n \over p_{i}}-1\right)$ - 1 $p_{i}|\left({n \over p_{i}}-1\right)$ ) $p_{i}|\left({n \over p_{i}}-1\right)$ {\ $displaystyle p_{i} \left({n$ \ $over p_{i}}-1\$ right $p_{i}|\left({n \over p_{i}}-1\right)$ 또는 각 고유한_i 소인수 p에 $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$ 2 ( $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$ - pi $)$ {\ $displaystyle p_{$ i}^{ $2}$ ( $n$ - $p_{$ i $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$ 를 $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$ 합성수 n입니다.

기우가 수는 수학자 주세페 기우가의 이름을 따서 지어졌고, 그의 원시성에 대한 추측과 관련이 있습니다.

정의들

다카시 아고히스에 의한 기우가 수에 대한 대체 정의: 합성수 n은 합동일 경우에만 기우가 수이다

nB_{\varphi(n)}\equiv -1{\pmod {n}

는 참이며, 여기서 B는 베르누이 수이고 $\varphi (n)$ ( $\varphi (n)$ $\varphi(n)$ 는 $\varphi (n)$ 오일러의 토티엔트 함수입니다.

Giuseppe Giuga에 의한 동치 공식은 다음과 같습니다. 합성수 n은 합동일 경우에만 Giuga 수이다.

\sum _{i=1}^{n-1}i^{\varphi(n)}\equiv -1{\pmod {n}

그리고 만일 그리고 만일.

\sum _{pn}{\frac {1}{p}}-\prod _{pn}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {N}.

알려진 모든 기우가 수 n은 실제로 더 강한 조건을 만족합니다.

\sum _{pn}{\frac {1}{p}}-\display_{pn}{\frac {1}{p}}=1.

예

기우가 수열이 시작됩니다.

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 4327492051738, …(OEIS의 시퀀스 A007850).

예를 들어, 30은 기우가 수이고, 그 소인수가 2, 3, 5이기 때문에 우리는 다음을 확인할 수 있습니다.

30/2 - 1 = 2로 나눌 수 있는 14,
30/3 - 1 = 9, 3 제곱, 그리고
30/5 - 1 = 5, 세 번째 소인수 자체입니다.

특성.

기우가 수의 주요 인자는 구별되어야 합니다. $p^{2}$ 2 $p^{2}$ {\ $displaystyle$ p $^{2}}$ 에서 n ${\displaystyle$ n $n$ 을 $($ 를) 분할하면 n ${n \over p}-1=m-1$ - $m-1$ = ${n \over p}-1=m-1$ $m=n/p$ - ${n \over p}-1=m-1$ {\ $displaystyle {n \over$ p $}-1$ = $m-1$ $}$ 이(가 $)$ 뒤따릅니다. $m-1$ 서 m $m-1$ - 1 ${\$ $displaystyle$ $m-1$ }은(는 $)$ p ${\displaystyle$ p $p$ 로 분할되지 $않으므로$ n {\ $displaystyle$ n $}$ 은 $($ 는) Giuga 숫자가 아닙니다.

따라서 제곱이 없는 정수만이 기우가 수가 될 수 있습니다.예를 들어, 60의 요인은 2, 2, 3 및 5이며, 60/2 - 1 = 29이며, 이는 2로 나뉠 수 없습니다.따라서 60은 기우가 수가 아닙니다.

이것은 소수의 제곱을 배제하지만, 반 소수는 기우가 수가 될 수 없습니다. $n=p_{1}p_{2}$ = $n=p_{1}p_{2}$ $n=p_{1}p_{2}$ p $n=p_{1}p_{2}$ {\ $displaystyle$ {= $p_{1}p_{2$ 일 경우 $p_{1}<p_{2}$ p $p_{1}<p_{2}$ < $p_{1}<p_{2}$ p $2$ {\ $displaystyle p_{1}<p_{$ 2}}일 ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ , ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ n p ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ - ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ = ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ 1 ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ - ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ < $p$ 2 {n \ $over$ p_ ${2$ }}-1= $p_{1}-1<p_{2$ 일 경우, $p_{2}$ 2 $p_{2}$ {\ $displaystyle p_{2}}$ 는 n ${n \over p_{2}}-1$ 2 - ${n \over p_{2}}-1$ { $n \over$ p_ ${2}-1$ 일 경우, $n$ ${\displaystyle$ n $}$ 은(는) 기우가 숫자가 아닙니다.

수학에서 해결되지 않은 문제:

기우가 수는 무한히 많습니까?

(수학에서 더 많은 미해결 문제)

알려진 모든 기우가 수는 짝수입니다.기우가 수가 존재할 경우, 최소 14개의 소수의 곱이어야 합니다.기우가 수가 무한히 많은지는 알 수 없습니다.

Paolo P. Lava (2009)에 의해 Giuga 수는 미분 방정식 n' = n+1의 해라고 추측되었고, 여기서 n'은 n의 산술 도함수입니다. (정사각형이 $n=\prod _{i}{p_{i}}$ 수 $n=\prod _{i}{p_{i}}$ = $n=\prod _{i}{p_{i}}$ ∏ $n=\prod _{i}{p_{i}}$ i $n=\prod _{i}{p_{i}}$ i {\ $displaystyle$ n=\ $sum _{i}{p_{$ i $n=\prod _{i}{p_{i}}$ $n'=\sum _{i}{\frac {n}{p_{i}}}$ = $n'=\sum _{i}{\frac {n}{p_{i}}}$ {\ $displaystyle$ n'=\ $sum _{i}{\frac$ {n}{ $p_{$ i $n'=\sum _{i}{\frac {n}{p_{i}}}$ 따라서 n' = n+1은 t의 마지막 방정식일 뿐입니다.위의 섹션 정의(n을 곱한 값)

José Mª Grau와 Antonio Oler-Marcén은 정수 n이 어떤 정수 a > 0에 대하여 n' = a + 1을 만족하는 경우에만 기우가 수임을 보여주었고, 여기서 n'은 n의 산술 도함수입니다. (다시, n' = a + 1은 정의의 세 번째 방정식과 같고 n에 n을 곱했습니다.)

참고 항목

참고문헌

Weisstein, Eric W. "Giuga Number". MathWorld.
Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). "Giuga's Conjecture on Primality" (PDF). American Mathematical Monthly. 103 (1): 40–50. CiteSeerX 10.1.1.586.1424. doi:10.2307/2975213. JSTOR 2975213. Zbl 0860.11003. Archived from the original (PDF) on 2005-05-31.
Balzarotti, Giorgio; Lava, Paolo P. (2010). Centotre curiosità matematiche. Milan: Hoepli Editore. p. 129. ISBN 978-88-203-4556-3.

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