리팩터블 넘버

refactable number 또는 tau number는 그 divisor의 카운트로 구분할 수 없는 정수 n이며, 또는 그것을 대수적으로 표현하면 $n$은${\displaystyle }$( (${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau (n)\mid$ n$}$과 같은 숫자다$.$처음 몇 개의 리팩터블 번호는 (OEIS의 순서 A033950)에 다음과 같이 나열되어 있다.

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96, 104, 108, 128, 132, 136, 152, 156, 180, 184, 204, 225, 228, 232, 240, 248, 252, 276, 288, 296, ...

예를 들어 18은 6개의 칸(1과 18, 2와 9, 3과 6)을 가지며 6으로 나누어진다.되돌릴 수 있는 숫자가 무한히 많다.

특성.

Cooper와 Kennedy는 복원 가능한 숫자가 자연 밀도 0을 가지고 있다는 것을 증명했다.젤린스키는 세 개의 연속 정수가 모두 리팩터링할 수 없다는 것을 증명했다.^[1]콜튼은 리팩터블 넘버가 완벽하지 않다는 것을 증명했다.${\displaystyle 등식\gcd (n}$,${\displaystyle }$x ) = ${\displaystyle n(n}$ ) ${\displaystyle \gcd(n,x)=\tau(n)}$은 n {\$displaystyn n}$이$($가) 리팩터블 숫자일 경우에만 해법이 있으며$$, 여기서 ${\displaystyle gcd}$ ${\displaysty \gcd}$은 가장 큰 공통의 divor 함수다.

$T{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle T(x)}$을(를) 최대 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$인 리팩터블 번호로$$ 설정하십시오$.$$T{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle T(x)}$에 대한 점근성 결정 문제는 열려$$ 있다.스피로는 $T{\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle x\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{로그}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{}}$(${\displaystyle \frac{\log }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\log }{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{o^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$) ${\$ x$}}(\log \log$ x$)^{1+o(1)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

수정 가능한 숫자와 관련하여 여전히 해결되지 않은 문제가 있다.Colton은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$$}$ 및$$ $n{\displaystyle }$ + 1 $displaystyle$ n+1}이$(가$) 리팩터블할$$ 수 있는 $임의$의 큰 n$$ ${\$displaystyn}이(가$)$ 있는지 물었다.젤린스키는 refactable n ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ m$mod$ a mod m { a$mod m$≡ 존재하는지 궁금했다$.$ $n{\displaystyle }$ > {\$displaystyle n$$}\{$$0}\$$displaystyle n$$}$을 refactable하고 $n{\displaystyle }$$$${\displaystyle \equiv }$ m$a$a$m$

역사

처음에 커티스 쿠퍼와 로버트 E. 케네디가^[3] 정의한 타우 수치는 자연 밀도가 0이라는 것을 보여주었고, 후에 사이먼 콜튼이 숫자 이론과 그래프 이론과 같은 수학의 다양한 영역에서 정의를 구현하고 판단하는 컴퓨터 프로그램을 사용하여 다시 발견했다.^[4]콜튼은 그런 숫자들을 "환멸할 수 없다"고 말했다.컴퓨터 프로그램이 이전에 증거를 발견했던 반면, 이 발견은 컴퓨터 프로그램이 이전에 알려지지 않았던 새로운 아이디어를 발견한 최초의 사례 중 하나이다.콜튼은 리팩터블 수치에 대한 많은 결과를 증명해 보였으며, 무한히 많다는 것을 보여주었으며, 이들의 분포에 대한 다양한 일치 제한을 증명했다.콜튼은 케네디와 쿠퍼가 이전에 이 주제를 조사했다는 것을 나중에야 알게 되었다.

참고 항목

• 칸막이 함수

참조