완벽한 숫자 곱하기
Multiply perfect number
Cooksenaire 로드를 사용한 숫자 6의 2개 감염 시연
수학에서 곱하기 퍼펙트 숫자(멀티 퍼펙트 숫자 또는 독과점 숫자라고도 함)는 퍼펙트 넘버의 일반화다.
주어진 자연수 k의 경우, n은 n의 모든 포지티브 디비저의 합이 kn이면 k-퍼펙트(또는 k-폴드 퍼펙트)라고 부른다. 따라서 n은 2-퍼펙트인 경우에만 완벽하다.특정 k에 대해 k-완벽한 숫자를 곱하기완벽수라고 한다.2014년 현재 k-퍼펙트 수치는 k의 각 값 11에 대해 알려져 있다.[1]
다음을 증명할 수 있다.
- 주어진 소수 p의 경우, n이 p-완벽하고 p가 n을 나누지 않으면 pn은 (p+1)-완벽하다.이는 정수 n은 2로 나누되 4로 나누지 않는 3-완벽한 숫자라는 것을 의미하며, 만약 n/2가 홀수완벽한 숫자라면 그 중 아무 것도 알 수 없다.
- 3n이 4k-퍼펙트이고 3이 n을 나누지 않으면 n은 3k-퍼펙트다.
예
120의 구분자는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120이다.그들의 합은 360으로 3 3에 해당하므로 120은 3-완벽하다
가장 작은 k-완벽한 숫자
다음 표에는 k ≤ 11(OEIS에서 순서 A007539)에 대한 가장 작은 k-완벽한 숫자의 개요가 나와 있다.
| k | 가장 작은 k-완벽한 숫자 | 요인들 | 발견자 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 고대의 | |
| 2 | 6 | 2 × 3 | 고대의 |
| 3 | 120 | 23 × 3 × 5 | 고대의 |
| 4 | 30240 | 25 × 33 × 5 × 7 | 레네 데카르트, 1638년 경 |
| 5 | 14182439040 | 27 × 34 × 5 × 7 × 112 × 17 × 19 | 레네 데카르트, 1638년 경 |
| 6 | 154345556085770649600(21자리) | 215 × 35 × 52 × 72 × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257 | 로버트 대니얼 카마이클, 1907년 |
| 7 | 1413108979474383482598494027384855232343434448185651200(57자리) | 232 × 311 × 54 × 75 × 112 × 132 × 17 × 193 × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479 | TE 메이슨, 1911년 |
| 8 | 826809968707776137289924194863596289350194388329245554884393242141388447 6391773708366277407840568053622728960572562133483520000000(숫자) | 262 × 315 × 59 × 77 × 113 × 133 × 172 × 19 × 23 × 29 × 312 × 37 × 41 × 43 × 53 × 612 × 712 × 73 × 83 × 89 × 972 × 127 × 193 × 283 × 307 × 317 × 331 × 337 × 487 × 5212 × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 | 스티븐 F.그레튼, 1990년[1] |
| 9 | 5613080818371589999987...4156853437394000000000(287자리) | 2104×343×59×712×116×134×17×194x232×29×314×373x412×432×472×53×59×120061×67×713×73x폭이 792×83×89×97×1032년×107×127×1312년×1372년×1512년×191×211×241×331×337×431×521개×547곳×631년×661년×683×709년×911×1093년×1301×1723×2521×3067×3571×3851×5501×6829×6911×8647×17293×17351×.29191×120030941 × 45319× 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 | 프레드 헬레니우스, 1995년[1] |
| 10 | 448565429898310924320164...00000000000000000000000000(639자리) | 2175×369×529×가 718번지×1119년×138×179×197×239×293×318×372×414×434×는 474개×533년×59×615명×674×714호×732년×79×83×89×97×1013년×1032년×1072년×109×113×1272년×1312년×139×149×151×163×179×1812년×191×197×199×2113×223×239×257×271×281×307×331×337×3532×367×373×397명×419×421×521개×523.×12005472×613×683×761년×827년×9.71 × 991 × 1093 × 1741 × 1801 × 2113 × 2221 × 2237 × 2437 × 2551 × 2851 × 3221 × 3571 × 3637 × 3833 × 4339 × 5101 × 5419 × 6577 × 6709 × 7621 × 7699 × 8269 × 8647 × 11093 × 13421 × 13441 × 14621 × 17293 × 26417 × 26881 × 31723 × 44371 × 81343 × 88741 × 114577 × 160967 × 189799 × 229153 × 292561 × 579281 × 581173 × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 | 조지 울트먼, 2013년[1] |
| 11 | 251850413483992918774837...0000000000000000000000000000(숫자) | 2468×3140×566×749×1140×1331년×1711년×1912년×239×297×3111×378×415×1200433×473×534년×593년×612×674×714호×733×79×832×89×974년 x1014년×1033년×1093년×1132년×1273년×1313×1372년 x1392년×1492년×151×1572년×163×167×173×181×191×1932년×197×199×2113×223×227×2292×239×251×257×263×2693×271×2812×. 293×3073×313×317×331×347×349×367×3.73×397명×401×419×421×431×4432×449×457×461×467×491×4992×541×547곳×569×571×599×607×613×647×691×701×719년×727×761년×827년×853년×937년×967명×991년×997가지×1013년×1061×1087년×1171년×1213년×1223년×1231년×1279년×1381×1399년×1433년×1609년×1613년×HarmoniesMundi×1723×1741년×1783년×1873년 x1933년×1979년×2081×2089×222.1× 2357 × 2551 × 2657 × 2671 × 2749 × 2791 × 2801 × 2803 × 3331 × 3433 × 4051 × 4177 × 4231 × 5581 × 5653 × 5839 × 6661 × 7237 × 7699 × 8081 × 8101 × 8269 × 8581 × 8941 × 10501 × 11833 × 12583 × 12941 × 13441 × 14281 × 15053 × 17929 × 19181 × 20809 × 21997 × 23063 × 23971 × 26399 × 26881 × 27061 × 28099 × 29251 × 32051 × 32059 × 32323 × 33347 × 33637 × 36373 × 38197 × 41617 × 51853 × 62011 × 67927 × 73547 × 77081 × 83233 × 92251 × 93253 × 124021 × 133387 × 141311 × 175433 × 248041 × 256471 × 262321 × 292561 × 338753 × 353641 × 441281 × 449653 × 509221 × 511801 × 540079 × 639083 × 696607 × 746023 × 922561 × 1095551 × 1401943 × 1412753 × 1428127 × 1984327 × 2556331 × 5112661 × 5714803 × 7450297× 8334721 × 10715147 × 14091139 × 14092193 × 18739907 × 19270249 × 29866451 × 96656723 × 133338869 × 193707721 × 283763713 × 407865361 × 700116563 × 795217607 × 3035864933 × 3336809191 × 35061928679 × 143881112839 × 161969595577 × 287762225677 × 761838257287 × 840139875599 × 2031161085853 × 2454335007529 × 2765759031089 × 31280679788951 × 75364676329903 × 901563572369231 × 2169378653672701 × 4764764439424783 × 70321958644800017 × 79787519018560501 × 702022478271339803 × 1839633098314450447 × 165301473942399079669 × 604088623657497125653141 × 160014034995323841360748039 × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 | 조지 울트먼, 2001년[1] |
특성.
- X보다 작은 멀티퍼펙트 숫자의 수는 모든 양성 ε에 대해 ( ) 이다.[2]
- 유일한 알려진 홀수 곱하기 완벽한 숫자는 1이다.[citation needed]
k의 특정 값
퍼펙트 넘버
σ(n) = 2n을 가진 숫자 n은 완벽하다.
트라이 퍼펙트
σ(n) = 3n을 가진 숫자 n은 세 가지 완전하다.알려진 3중완벽 숫자는 6개뿐이며 이러한 숫자는 모두 다음과 같은 숫자로 구성된다.
120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 510011180160(OEIS에서 시퀀스 A005820)
만일 홀수 퍼펙트 m(유명한 오픈 문제)이 존재한다면, σ(2m) = σ(2)*σ(m) = 3*2m이기 때문에 2m는 3-완벽이 될 것이다.홀수 3완벽 숫자는 10을70 초과하는 제곱수여야 하며 10을5 초과하는 최대인 12개 이상의 구별되는 주요 요인이 있어야 한다.[3]
변형
유니타리어는 완벽한 숫자에 곱한다.
단일 단위 퍼펙트 넘버에 대해서도 비슷한 연장이 가능하다.양의* 정수 n은 =(n) = kn이면 단일 복수 k-완벽한 숫자라고 하며, 여기서 σ*(n)은 숫자 자체를 포함하지 않고 양의 적절한 단일 분할자의 합이다. (d와 n/d가 공통 인자를 공유하지 않는 경우, 숫자 n의 d는 단일 분할자이다.
단일 곱셈 퍼펙트 수는 일부 양의 정수 k를 위한 단일 곱셈 멀티 k-완벽한 숫자일 뿐이다.동등하게, 단일 곱하기 완벽한 숫자는 n이 σ*(n)을 나누는 n이다.단일 멀티 퍼펙트 넘버는 자연적으로 단일 퍼펙트 넘버라고 불린다.사례 k > 2에서는 지금까지 단일 다 k-완벽한 숫자의 예가 알려져 있지 않다.그런 숫자가 존재한다면 짝수, 10보다102 커야 하며 44개 이상의 홀수 주요 요인이 있어야 한다고 알려져 있다.이 문제는 아마 해결하기가 매우 어려울 것이다.단일분할기의 개념은 원래 R에 기인했다.그런 디비서를 블록 인자라고 부른 바이다나스워미(1931).현재의 용어는 E 때문이다.코헨(1960).
생체리듬은 완벽한 숫자를 곱한다.
양의 정수 n은 σ**(n) = kn이면 bi-unital multi k-perfect n이라고 한다.이 개념은 피터 하기스(1987년) 때문이다.바이 유니터리 곱하기 완벽한 수는 어떤 양의 정수 k를 위한 바이 유니터리 다중 k-완벽한 숫자일 뿐이다.동등하게, 생물 단일 곱하기 완벽한 숫자는 n이 σ**(n)을 나누는 n이다.자연적으로 바이 유니터리 멀티 2 퍼펙트 넘버를 바이 유니터리 퍼펙트 넘버라고 하고, 바이 유니터리 멀티 3 퍼펙트 넘버를 바이오 유니터리 트리 퍼펙트 넘버라고 한다.
양의 정수 n의 divisor d는 d와 n/d의 최대 공통의 dd(gcud)가 1이면 n의 bii-unital divisor라고 한다.이 개념은 D 때문이다.수리나라야나(1972년).n의 (긍정적) 생물분할체의 합은 σ**(n)으로 나타낸다.
피터 하기스(1987)는 이상하지 않은 바이오 유니터리 멀티퍼펙트 숫자가 없다는 것을 증명했다.Haukkanen과 Sitaramaiah(2020)는 심지어 생물학적으로 완벽한 3개의 숫자를 발견했다.
참조
- ^ a b c d e Flammenkamp, Achim. "The Multiply Perfect Numbers Page". Retrieved 22 January 2014.
- ^ 산도르, 미트리노비치 & 크르스티치 2006, 페이지 105
- ^ 산도르, 미트리노비치 & 크르스티치 2006, 페이지 108–109
원천
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