친수

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숫자 이론에서, 친근한 숫자는 공통의 번성 지수를 가진 둘 이상의 자연적인 숫자로, 숫자의 분수의 합과 숫자 자체의 비율이다.같은 "부작"을 가진 두 개의 숫자가 친근한 쌍을 이루고, 같은 "부작"을 가진 n개의 숫자가 친근한 n-투플을 형성한다.

상호 우호적이 되는 것은 동등성 관계로서, 따라서 상호 "친절한 숫자"의 클럽(등가계급)으로 양성의 분열을 유도한다.

어떤 친근한 쌍의 일부가 아닌 숫자를 독방이라고 한다.

n의 "abundancy" 지수는 합리적인 수 σ(n) / n으로, 여기서 σ은 divisor 함수의 합을 나타낸다.숫자 n은 m(m) / m = σ(n) / n과 같은 m ≠n이 존재한다면 "친근한 숫자"로 정의되며, "부존재"는 n(n) - 2n으로 정의된다.

"Abundancy" may also be expressed as ${\displaystyle \sigma _{-\!1}(n)}$ where ${\displaystyle \sigma _{k}}$ denotes a divisor function with ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ equal to the sum of the k-th powers of the divisors of n.

1번부터 5번까지의 숫자는 모두 외톨이다.가장 작은 "친절한 숫자"는 6으로, 예를 들어 "친절한" 쌍 6과 28을 형성하며, "친절한" 쌍은 "부적절함" "(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2이며, σ (28) / (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2와 같다.공유 값 2는 이 경우 정수지만 다른 경우에는 그렇지 않다."abundancy" 2를 가진 숫자는 또한 완벽한 숫자로 알려져 있다."친절한 숫자"와 관련된 몇 가지 미해결된 문제들이 있다.

명목상의 유사성에도 불구하고, 비록 후자의 두 개의 정의에도 구분 함수(divisor function)가 포함되지만, 친근한 숫자와 우호적인 숫자 또는 사교적인 숫자 사이에는 특별한 관계가 없다.

예

또 다른 예로서 30과 140은 우호적인 한 쌍을 형성한다. 30과 140은 동일한 "부재성"을 가지기 때문이다.

${\dfrac {\dfrac {\dfrac {\dfrac (30)}{30}}{\dfrac {1+3+5+6+10+30}{30}}}{\dfrac {72}}{12}{5}}}}}}}}}$

${\dfrac {\dfrac {\dfrac (140)}{140}={\dfrac {1+2+4+7+10+14++20+28+70+140}{140}={\dfrac {336}{140}}}}{\dfrac {12}{5}}}}}}}}}.}$

숫자 2480, 6200, 40640도 각각 12/5에 해당하는 '부재'를 가지고 있기 때문에 이 클럽의 회원이다.

홀수 숫자가 우호적인 예를 들면 135와 819("부적절성" 16/9(적자)를 고려한다.42번과 544635번("부적절" 16/7번)처럼 홀수에게 "친절"하는 경우도 있다.홀수 "친구"는 84729645 및 155315394("부적절" 896/351)에서와 같이 짝수보다 작을 수 있다.

정사각형 번호는 친숙할 수 있다. 예를 들어 693479556 (26334의 제곱)과 8640 모두 "부적절함" 127/36을 가지고 있다(이 예는 Dean Hickerson에게 인가된다).

small n에 대한 상태

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In the table below, blue numbers are proven friendly (sequence A074902 in the OEIS), dark red numbers are proven solitary (sequence A095739 in the OEIS), numbers n such that n and ${\displaystyle \sigma (n)}$ are coprime (sequence A014567 in the OEIS) are left black, though they are known to be solitary.다른 숫자들은 상태를 알 수 없고 노란색으로 강조되어 있다.

n	$\displaystyle \sigma(n)}$	${\displaystyle {\frac {\frac(n)}{n}}$		n	$\displaystyle \sigma(n)}$	${\displaystyle {\frac {\frac(n)}{n}}$		n	$\displaystyle \sigma(n)}$	${\displaystyle {\frac {\frac(n)}{n}}$		n	$\displaystyle \sigma(n)}$	${\displaystyle {\frac {\frac(n)}{n}}$
1	1	1		37	38	38/37		73	74	74/73		109	110	110/109
2	3	3/2		38	60	30/19		74	114	57/37		110	216	108/55
3	4	4/3		39	56	56/39		75	124	124/75		111	152	152/111
4	7	7/4		40	90	9/4		76	140	35/19		112	248	31/14
5	6	6/5		41	42	42/41		77	96	96/77		113	114	114/113
6	12	2		42	96	16/7		78	168	28/13		114	240	40/19
7	8	8/7		43	44	44/43		79	80	80/79		115	144	144/115
8	15	15/8		44	84	21/11		80	186	93/40		116	210	105/58
9	13	13/9		45	78	26/15		81	121	121/81		117	182	14/9
10	18	9/5		46	72	36/23		82	126	63/41		118	180	90/59
11	12	12/11		47	48	48/47		83	84	84/83		119	144	144/119
12	28	7/3		48	124	31/12		84	224	8/3		120	360	3
13	14	14/13		49	57	57/49		85	108	108/85		121	133	133/121
14	24	12/7		50	93	93/50		86	132	66/43		122	186	93/61
15	24	8/5		51	72	24/17		87	120	40/29		123	168	56/41
16	31	31/16		52	98	49/26		88	180	45/22		124	224	56/31
17	18	18/17		53	54	54/53		89	90	90/89		125	156	156/125
18	39	13/6		54	120	20/9		90	234	13/5		126	312	52/21
19	20	20/19		55	72	72/55		91	112	16/13		127	128	128/127
20	42	21/10		56	120	15/7		92	168	42/23		128	255	255/128
21	32	32/21		57	80	80/57		93	128	128/93		129	176	176/129
22	36	18/11		58	90	45/29		94	144	72/47		130	252	126/65
23	24	24/23		59	60	60/59		95	120	24/19		131	132	132/131
24	60	5/2		60	168	14/5		96	252	21/8		132	336	28/11
25	31	31/25		61	62	62/61		97	98	98/97		133	160	160/133
26	42	21/13		62	96	48/31		98	171	171/98		134	204	102/67
27	40	40/27		63	104	104/63		99	156	52/33		135	240	16/9
28	56	2		64	127	127/64		100	217	217/100		136	270	135/68
29	30	30/29		65	84	84/65		101	102	102/101		137	138	138/137
30	72	12/5		66	144	24/11		102	216	36/17		138	288	48/23
31	32	32/31		67	68	68/67		103	104	104/103		139	140	140/139
32	63	63/32		68	126	63/34		104	210	105/52		140	336	12/5
33	48	16/11		69	96	32/23		105	192	64/35		141	192	64/47
34	54	27/17		70	144	72/35		106	162	81/53		142	216	108/71
35	48	48/35		71	72	72/71		107	108	108/107		143	168	168/143
36	91	91/36		72	195	65/24		108	280	70/27		144	403	403/144

단독번호

싱글톤 클럽에 속해 있는 번호는, 다른 번호는 「친절」하지 않기 때문에, 단독의 번호다.프라임 숫자의 힘처럼 모든 프라임 수치는 독점으로 알려져 있다.보다 일반적으로 숫자 n과 ((n)이 짝수(coprime) 즉, 이 숫자들의 가장 큰 공통점이 1이므로 σ(n)/n이 불가분수(reducable fraction)인 경우, n은 단독(OEIS에서 연속 A014567)이다.프라임 숫자 p의 경우, 우리는 p와 공동 프라임인 +(p) = p + 1을 가지고 있다.

숫자가 "친절한" 것인지 아니면 혼자 있는 것인지를 결정하는 일반적인 방법은 알려져 있지 않다.분류를 알 수 없는 가장 작은 숫자는 10이다. 독방이라고 추측된다.그렇지 않다면, 가장 작은 친구는 ${\displaystyle {\mathrm{적어도}}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$ 30 ${\$^[1][2] 가장 작은 친구를 가진 작은 숫자가 존재한다. 예를 들어 24는 가장 작은 친구인 9,963,648명과 함께 "친절한" 숫자다.^[1][2]

대형클럽

상호 "친절한" 숫자의 클럽이 무한히 큰지 여부는 공공연한 문제다.완벽한 숫자는 클럽을 형성하고, 무한히 많은 수의 완벽한 숫자(적어도 메르세네 프리임이 있는 만큼)가 있다고 추측하지만, 증거는 알려져 있지 않다.2018년^[update] 12월 현재 51개의 완벽한 숫자가 알려져 있으며, 그 중 가장 큰 숫자는 소수점 표기법으로 4900만자리 이상을 가지고 있다.멤버가 더 알려진 클럽도 있는데, 특히 완벽한 숫자를 곱해 형성된 클럽은 '부적합'이 정수인 숫자다.2013년 초 현재, 9에 해당하는 "친절한" 번호의 클럽은 2094명의 알려진 회원을 가지고 있다.^[3]몇몇은 꽤 큰 것으로 알려져 있지만, (완벽한 숫자 자체는 제외)의 곱셈 클럽은 유한한 것으로 추측된다.

점근밀도

각 쌍 a, b의 친근한 숫자는 모든 자연수의 긍정적인 비율을 낳는다(그러나 다른 클럽에서), gcd(n, ab) = 1. 예를 들어 "원초적" 친근한 6과 28은 1, 5, 11, 13, 17, 19, 2와 일치하는 모든 n에 대해 친근한 6n과 28n을 낳는다.3, 25, 29, 31, 37 또는 41 modulo 42.^[4]

이것은 (존재하는 경우) 친근한 숫자의 자연 밀도가 양수임을 보여준다.

앤더슨과 히커슨은 밀도가 사실상 1이어야 한다고 제안했다(또는 단독 숫자의 밀도는 0이어야 한다는 것과 동등하게 동일).^[4]MathWorld의 단독 번호에 관한 기사(아래 참조 섹션 참조)에 따르면, 포머런스는 한때 그가 그것을 반증했다고 생각했지만, 이 추측이 해결되지는 않았다.

메모들

참조

• 그래, 제임스숫자 10에 대한 비디오.번호표.
• Weisstein, Eric W. "Friendly Number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Friendly Pair". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Solitary Number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Abundancy". MathWorld.