중복수

수학에서 과잉수(때로는 SA로 약칭되기도 한다)는 어떤 종류의 자연수다.자연수 n은 모든 m < n에 대해 정확하게 superabundant라고 불린다.

${\displaystyle {\frac {\frac(m)}{m}}<{\frac {\frac(n)}{n}}}}}$

여기서 σ은 divisors 함수(즉, n 자체를 포함한 n의 모든 양의 divisors의 합)를 나타낸다.처음 몇 개의 중복된 숫자는 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ...(OEIS에서 연속 A004394).예를 들어 1, 2, 3, 4, 5의 경우 시그마가 1, 3, 4, 7, 6, 7/4 > 6/5이기 때문에 숫자 5는 초복수가 아니다.

과잉수는 레오니다스 알라오글루와 폴 에르드스(1944년)에 의해 정의되었다.알라오글루와 에르드스에게는 알려지지 않은 라마누잔의 1915년 논문 '고도로 합성된 숫자' 약 30쪽이 억압되었다.그 페이지들은 마침내 Ramanujan Journal 1 (1997), 119–153에 게재되었다.이 논문의 제59절에서 라마누잔은 초과적 숫자를 포함하는 일반화된 고도로 복합적인 숫자를 정의한다.

특성.

레오니다스 알라오글루와 폴 에르드스(1944)는 n이 지나치게 많으면 k와 a₁, a₂, ...가 존재한다는_k 것을 증명했다.

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}(p_{i})^{a_{i}}}$

여기서 p는_i i번째 소수, 그리고

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \b \geq a_{k}\geq 1.}$

즉, n이 지나치게 많으면 n의 원시 분해는 비증가 지수를 가지고 있으며(더 큰 프라임의 지수는 결코 그 작은 프라임보다 크지 않다) ${\displaystyle p_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$까지의 모든 프라임이 n의 요인임을$$ 입증했다.그리고 특히 모든 과잉수는 짝수 정수이며, k-th p-the ${\displaystyle {p-k}_{}\mathrm{}}$#${\displaystyle }$. ${\displaystyle p_{k}\#$의 배수다.$}$

실제로 n이 4 또는_k 36인 경우를 제외하고 마지막 지수 a는 1과 같다.

너무 많은 숫자는 매우 복합적인 숫자와 밀접한 관련이 있다.모든 과잉 숫자가 고도로 복합적인 수는 아니다.실제로 중복과 고도로 복합된 449개 숫자만 동일하다(OEIS의 순서 A166981).예를 들어 7560은 매우 복합적이지만 지나치게 복잡하지는 않다.반대로 1163962800은 과잉이지만 복합성이 높지 않다.

알라오글루와 에르드스는 모든 과잉 수가 매우 풍부하다고 관찰했다.

모든 과잉 숫자가 하르샤드 수는 아니다.첫 번째 예외는 105번째 SA 번호인 149602080797769600이다.자릿수 합계는 81이지만 81은 이 SA 번호로 고르게 나누지 않는다.

과잉수는 리만 가설과 연관지어도 관심의 대상이며, 리만 가설은 리만 가설과 동일하다는 로빈의 정리와도 같다.

${\displaystyle {\frac {\frac(n)}{e^{\n\log \log n}}<1}$

알려진 가장 큰 예외인 5040보다 큰 모든 예외에 대해.만약 이 불평등이 리만 가설이 거짓임을 증명하는 더 큰 백작 샘플을 가지고 있다면, 그러한 백작 샘플은 초복수여야 한다(Akbary & Frigstad 2009).

모든 과잉 숫자가 엄청나게 많은 것은 아니다.

확장

그 일반화된 k{k\displaystyle}-super 풍부한 숫자는 그러하다는σ k(m)mk<>σ k(n)nk{\displaystyle{\frac{\sigma_{k}(m)}{m^{k}}}<>{\frac{\sigma_{k}(n)}{n^{k}}}}에 대한 모든 m개체, n{\displaystyle m<, n},σ k({\displaystyle \sigma_{k}(n)}이다. t을 합$그$는 n ${\displaystyle n}$의 divisors의 제3권력$$$.$

1초과다수는 과잉이다. 0초과다과다수는 고도로 복합적이다.

예를 들어, 일반화된 2초 풍부 숫자는 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, … (OEIS의 A208767)이다.

참조

• Briggs, Keith (2006), "Abundant numbers and the Riemann hypothesis", Experimental Mathematics, 15: 251–256.
• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis", American Mathematical Monthly, 116 (3): 273–275, doi:10.4169/193009709X470128.
• Alaoglu, Leonidas; Erdős, Paul (1944), "On highly composite and similar numbers", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 56 (3): 448–469, doi:10.2307/1990319, JSTOR 1990319.

외부 링크

• MathWorld: 너무 많은 숫자