중심 팔면수

중심 팔면수

129개의 정육면체에 의한 Haüy 구조
의 이름을 따서 명명됨	르네 쥐스트 하우이
발행년도	1801
용어의 합계	Infinity
의 후속 사항	다면수, 델라노이 수
공식	${\displaystyle {(2n+1)\left(2n^{2}+2n+3\right)}{3}}$
초선	1, 7, 25, 63, 129, 231, 377
OEIS 지수	A001845 중심 팔면체

중심 팔면체수 또는 하위 팔면체수는 ^[1]원점을 중심으로 하는 팔면체 내부에 있는 3차원 정수 격자의 점 수를 세는 도형수이다.같은 숫자는 델라노이 숫자의 특수한 경우로, 특정 2차원 ^[2]격자 경로를 카운트합니다.하이위 팔면체수는 르네 쥐스트 하이위(René Just Haüy)의 이름을 딴 것이다.

역사

"하우이 팔면수"라는 이름은 18세기 후반에서 19세기 초에 활동한 프랑스의 광물학자 르네 쥐스트 하우이의 작품에서 유래했다.그의 "하위 구조"는 중앙 입방체 위에 입방체의 동심원 층을 쌓음으로써 형성된 폴리큐브로서의 8면체와 유사하다.가운데에 있는 팔면체 ^[3]수는 이 구조에 사용되는 큐브 수를 계산합니다.Hauy는 결정성 ^[4][5]광물의 구조에 대한 모델로서 이 건축과 다른 다면체의 관련 건축을 제안했다.

공식

원점에서 n단계 이내의 3차원 격자 점의 수는 다음 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle {(2n+1)\left(2n^{2}+2n+3\right)}{3}}$

이러한 숫자 중 처음 몇 개(n = 0, 1, 2, ...의 경우)는 다음과 같습니다.

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, ...^[6]

중심 팔면체수의 생성^[6][7] 함수는 다음과 같다.

${{displaystyle {(1+x)^{3}}{(1-x)^{4}}}.}$

중심 팔면체 수는 반복^[1] 관계를 따릅니다.

${\displaystyle C(n)=C(n-1)+4n^{2}+2.}$

또한 연속된 8면수 쌍의 합으로 계산할 수 있습니다.

대체 해석

격자 점의 수가 중심 팔면체로 카운트되는 3차원 정수 격자의 8면체는 3차원 택시카브 기하학의 미터법 공으로, 거리가 유클리드 거리가 아닌 좌표 거리의 합으로 측정됩니다.이러한 이유로, 루터와 메르텐스(2011)는 중심 팔면체를 "수정 공의 부피"^[7]라고 부른다.

같은 숫자는 오각형 피라미드에 의해 생성된 중앙의 피규어 숫자와 다른 방식으로 피규어 숫자로 볼 수 있다.즉, 만약 누군가가 3차원의 동심원 껍데기의 시퀀스를 형성한다면, 첫 번째 껍데기는 하나의 점으로 구성되어 있고, 두 번째 껍데기는 오각형 피라미드의 6개의 꼭짓점으로 구성되어 있으며, 각각의 연속된 껍데기는 각 삼각형 면에 삼각형 점의 수와 오각형 점의 수를 가진 더 큰 오각형 피라미드를 형성한다.오각형 면에서는 이 구성의 총 점 수가 중심 팔면체 ^[1]숫자입니다.

중심 팔면수 또한 D(3,n) 형식의 델라노이 수이다.델라노이 수치는 일반적으로 3 × n 그리드의 남서쪽 구석에서 북동쪽 구석까지의 경로 수를 계산하며, 한 단위 동쪽, ^[2]북쪽 또는 북동쪽으로 가는 단계를 사용한다.

레퍼런스