국부 경계성

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수학에서 함수는 모든 점을 중심으로 경계하면 국부적으로 경계한다.함수의 한 패밀리는 그 영역 내의 어떤 지점에 대해 모든 함수가 그 지점을 중심으로 그리고 동일한 숫자로 경계를 이루면 로컬로 경계된다.

로컬 경계 함수

어떤 x에 0∈ X{\displaystyle x_{0}\in XAreal-valued 또는 complex-valued 기능 f{\displaystyle f}X{X\displaystyle}는 .mw-parser-output .vanchor&gt라고 불린다 어떤 위상 공간에 정의한:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}locally을 경계}이 이웃 A{\display 존재하는 기능.스타일 x0{\displaystyle x_{0}의 -RCB-}가 f(A){.$\displaystyle f(A)}$는 경계 집합이다.즉, 숫자 M> 0 ${\displaystyle M>0}$에 대해 다음과 같은 값이 있다.

즉, 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해$$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$}$에 따라 상수를 찾을 수 있으며, 이는$$ $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x}의 근방에 있는 함수의 모든 값보다 큰 것이다$.$ 이 값을 x${\displaystyle }$. ${\displaysty$ x$.}$에 의존하지 않는 경계 함수와 비교하십시오$$.함수가 경계된 경우 로컬 경계로 지정된다.그 반대는 일반적으로 사실이 아니다(아래 참조).

${\displaystyle 이}$ 정의는 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 일부 메트릭 공간$({\displaystyle Y}$, d${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\d$ 디스플레이 스타일$(Y,d$)에서 값을 가져오는$$ 경우로 확장될 수 있다$.$${}$ 그렇다면$$ 위의 불평등은 다음으로 교체할 필요가 있다.

여기서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$은(는) 메트릭 공간의 일부 지점이다.$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 선택은 정의에 영향을 주지 않으며$$, 다른 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) 선택하면$$ 이 불평등이$$ $참$인 상수$$r {\$displaystyle$ r}이$($가) 증가할 것이다.

예

• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\${R} 함수 정의$$:$$\mathb {$R}$
  $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$$

  
  0 ${\displaystyle .}$${\displaystyle }$f ( x${\displaystyle }$) $display$ 1 {\$displaystyle$ $0\leq f(x)\leq$ 1$}$ 모든 $x{\displaystyle }$ . ${\displaystyle$ x$.}$에 $대해$ 제한됨$$ 따라서, 그것은 또한 국부적으로 경계되어 있다.

• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\${R} 함수 정의$$:$$\mathb {$R}$
  $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

  
  임의로 커지므로 경계되지 않는다.단$,$ 각 $a{\displaystyle }$ , {\$displaystyle a,}$${\displaystyle \mathrm{f<img\; alt="a,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.877ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="69">}}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \le }$ M ${\displaystyle f(x) \leq M$$\}({\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1),}$ ${\displaystyle(a-1,a+1$)에$$ 대해 로컬 경계로 지정되며$,$ 여기서$$ $M{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle$ M$=2$a, a +$5.$$}$

• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\${R} 함수 정의$$:$$\mathb {$R}$
  $${\displaystyle f(x)={\preas}{1}{x}, }{\mbox{if{}x\neq 0,\0, }\mbox{if}}}}$$

  
  경계선도, 지역 경계도 아니다.0의 주변에서는 이 함수가 임의로 큰 크기의 값을 취한다.

• 모든 연속 함수는 로컬로 경계한다.여기 실제 변수의 기능에 대한 증거가 있다.$Let{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle U\mathbb{}}$→ R ${\$어디 U⊆ R,{\displaystyle U\subseteq \mathbb{R},}U\to({R}}그리고 우리는 f{\displaystyle f}지역의{\displaystyle}에 모두∈ U에 연속성의 정의에 ε=1을{\displaystylea\in U}을 다스릴 수 있는 보여 줄 것이다, δ>0{\displaystyle \delta>0}존재하는 면면하다. 그러한 t모자 f())f(를)<>−, 모두에게 1{\displaystyle f())-f(를)<1})x와 ∈ U{x\in\displaystyle U}−<>를 삼각 부등식, f()))f())− f(를)+f(를)≤ f())− f(를)+f(를)<1+f(를)이제에 의해 δ{\displaystyle x-a<>\delta}.. ,{\display$style f(x) = f(x)-f(a)+f(a) \leq f(x)-f(a) + f(a) <1+ f(a) ,}$ which means that ${\displaystyle f}$ is locally bounded at ${\displaystyle a}$ (taking ${\displaystyle M=1+ f(a) }$ and the neighborhood ${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$).$이{\displaystyle }$ 주장은 f ${\displaystyle f}$의 도메인이 위상학적 공간일$$ 때 쉽게 일반화된다.

• 그러나 위의 결과의 반대는 사실이 아니다. 즉, 불연속 함수는 국부적으로 경계될 수 있다.For example consider the function ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ given by ${\displaystyle f(0)=1}$ and ${\displaystyle f(x)=0}$ for all ${\displaystyle x\neq 0.}$ Then ${\displaystyle f}$ is discontinuous at 0 but ${\displaystyle f}$ is locally bounded; ${\displaystyle \mathrm{예}}$를 들어$$ $M{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle M=1}$ 및 주변$$$({\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1),}$ ${\displaystyle(-1,1$)을 사용할 수 있는 0에서 로컬로 상수한다.

로컬 경계 가족

또는 complex-valued 실수를 사용한 기능이 위상 공간 X{X\displaystyle}에 정의된 집합(가족이라고 불렀다)U어떤 x에 0∈ X{\displaystyle x_{0}\in X국내에서 경계}이 이웃 x0{\displaystyle x_{0}의{A\displaystyle}}과 긍정적인 번호 M을이 존재한다;라고 불린다. 0$(\displaystyle$ $M>0}$

모든 x${\displaystyle x}$ A ${\displaystyle x\in A}$ 및$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f\\in$ U$.}$에 대해. 즉, 패밀리 내의 모든 기능은 로컬로 경계되어야 하며, 각 지점 주위에 동일한 상수에 의해 경계되어야 한다.

또한 이 정의는 절대값을 거리 함수로 다시 대체함으로써 패밀리 U의 함수가 일부 메트릭스 공간에서 값을 얻는 경우에까지 확장될 수 있다.

예

• $함수{\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$
  $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}}}$$

  
  여기서 $n{\displaystyle }$= 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$은(는) 로컬 경계로 지정된다$$.실제로 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$이 실제$$ 숫자일 경우 $주변{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$을 간격$({\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$- ${\displaystyle a,}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle }$1)으로 선택할$$ 수 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \left(x_{0}-a,x_{0}+1\right)$$}$ 그러면$$ 이 간격의$$ $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$과(와$)$ n${\displaystyle \mathrm{n}}$ 1 {\$displaystyle n\geq$ 1$}$에 대해 1이$$
  $${\displaystyle f_{n}(x) \leq M}$$

  
  $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle M=1+ x_{0} .}$ 더구나$$, 패밀리는 균일하게 경계되어 있는데, 이는 근린 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 상수 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) $n{\displaystyle .}$ ${\displaystystystyle$ n$.}$에 의존하지 않기 때문이다.

• $함수{\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$
  $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}}}$$

  
  $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 0보다 큰 경우 로컬로 경계됨.$임의$의 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해 주변$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 자체로$$ 선택할 수 있다.그러면 우리는
  $${\displaystyle f_{n}(x) \leq M}$$

  
  $M{\displaystyle }$= 1${\displaystyle M=1.}$ $유의사항$ M₀ ${\displaystyle M}$의 값은 x 또는 그 주변 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$A}의 선택에 따라 달라지지$$ 않는다는 것. {\displaystyle A$.}$ 그러면$$ 이 계열은 로컬 경계일 뿐만 아니라 균일하게 경계된다.

• $함수{\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$
  $${\displaystyle f_{n}(x)=x+n}$$

  
  국부적으로 경계하지 않는다.실제로 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$${\displaystyle \}}$의 ${\displaystyle {경우}_{}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f_{n}(x$$)}$ 값은 무한대로 치우쳐 있으므로$$ 경계를 지정할 수 없다$$.

위상 벡터 공간

국소적 경계는 위상학적 벡터 공간의 특성 또는 위상학적 벡터 공간(TV)으로의 함수 특성을 나타낼 수도 있다.

로컬 경계 위상 벡터 공간

위상학적 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 하위 집합 ${\displaystyle B}$ X ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 호출되는 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에 있는 원점의$$ 각 $근린{\displaystyle }$U {\$displaystyle$ U$}$에 다음과 같은 실제 숫자 > ${\displaystylease$ r > $0이($으)이(으)이(으) 있는 경우

국부 경계 위상 벡터 공간은 기원의 경계 인접 지역을 차지하는 위상학적 벡터 공간이다.Kolmogorov의 규범성 기준에 따르면, 이것은 TVS의 위상이 일부 세미노름에 의해 유도되는 경우에만 국부적으로 볼록한 공간에 적용된다.특히, 모든 국소 경계 TV는 국소적으로 볼록하고 가성방정 가능하다.

로컬 경계 함수

Let $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$ 위상 벡터 공간 사이의 함수는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 지점에 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 아래의 이미지가 경계되는$$ 근방이 있는$$ 경우 로컬 경계함수라고 한다.

다음 정리는 위상 벡터 공간의 국부 경계와 함수의 국부 경계를 연관시킨다.

정리.위상 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) ID 맵 ${\displaystyle {ID}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}$인 경우에만 로컬로 경계된다$$.$X\to X}$은(는) 로컬로 제한되어 있다$$.

참고 항목

• Bornological Space – 경계 연산자가 연속적인 공간
• 경계 연산자 – 경계된 하위 세트를 경계된 하위 집합으로 보내는 선형 연산자
• 경계 집합(위상 벡터 공간) – 경계도의 일반화

외부 링크

• 로컬 경계에 대한 PlanetMath 항목
• 로컬로 경계된 범주에 대한 nLab 항목