비모수 스큐

통계학 및 확률론에서 비모수적 왜곡은 실제 값을 갖는 랜덤 변수와 함께 가끔 사용되는 통계량이다.^[1][2] 랜덤 변수의 분포의 왜도, 즉 분포가 한쪽으로 또는 다른 평균으로 "울어"지는 경향에 대한 측도다. 그 계산에는 기초 분포의 형태에 대한 지식이 필요하지 않다. 즉, 비모수라는 이름을 정의한다. 그것은 바람직한 특성들을 가지고 있다: 모든 대칭 분포에 대해 0이다; 그것은 척도 이동에 영향을 받지 않는다; 그리고 그것은 왼쪽과 오른쪽의 동전을 똑같이 잘 드러낸다. 일부 통계 표본에서, 정규성에서 모집단의 이탈을 탐지하는 데 있어 왜도의 일반적인 척도보다 덜 강력한^[3] 것으로 나타났다.^[4]

특성.

정의

비모수 스큐는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle S={\frac {\mu -\nu }{\sigma }}}$

여기서 모집단의 평균(µ), 중위수(μ), 표준 편차(μ)는 통상적인 의미를 갖는다.

특성.

비모수 스큐는 Pearson 2 왜도 계수의 3분의 1이며 모든 분포에 대해 -1과 +1 사이에 있다.^[5][6] 이 범위는 평균이 중위수의 한 표준 편차 내에 있다는 사실에 의해 암시된다.^[7]

변수(X)의 부호 변환에서 S 값은 부호 변경 가능성을 제외하고는 변경되지 않는다. 기호로

${\displaystyle S(aX+b)=\operatorname {sign}(a)\,S(X)}$

여기서 ≠ 0과 b는 상수이고 S( X )는 변수 X의 비모수적 왜곡이다.

샤퍼 한계

이 통계량의 한계(±1 )는 절대값이 다음 범위로 제한된다는 것을 보여준 마진다르에^[8] 의해 날카로워졌다.

${\displaystyle {\frac {2(pq)^{1/2}}{{(p+q)^{1/2}}:$

와 함께

${\displaystyle p=\Pr(X)\operatorname {E}(X)}$

그리고

${\displaystyle q=\Pr(X<\operatorname {E}(X),}$

여기서 X는 분산이 유한한 랜덤 변수, E()는 기대 연산자, Pr()는 사건이 발생할 확률이다.

p = q = 0.5인 경우 이 통계량의 절대값은 1로 제한된다. p = 0.1과 p = 0.01로, 통계량의 절대값은 각각 0.6과 0.199로 경계를 이룬다.

확장

라고도^[9] 알려져 있다.

$\displaystyle \mu -\nu _{0} \leq \operatorname {E}(X-\nu _{0})\leq \operatorname {E}(X-\mu )\leq \sigma ,}$

여기서 ν은₀ 중위수이고 E(.)는 기대 연산자다.

라는 것이 증명되었다.

${\displaystyle {\mu -x_{q}}{}{\mu -x_}}}}{\leq}}{\max \left\sqrt}{\sqrt}{\sqrt {\frac {q}{1-q}}}}\right}}}}}}}}}}$

여기서 x는_q q^th 퀀텀이다.^[7] 분량은 0과 1 사이에 위치한다: 중위수(0.5분위수)는 q = 0.5이다. 이 불평등은 또한 왜도의 척도를 정의하는 데 사용되었다.^[10]

이 후자의 불평등은 더욱 날카로워졌다.^[11]

${\displaystyle \mu -\sqrt {\frac{1-q}{q}}\leq x_{q}\leq \mu +\sqrt{\frac{1-q}}}}}}$

유한 평균을 갖는 분포에 대한 또 다른 확장이 발표되었다.^[12]

${\displaystyle \mu -{\frac {1}{2q}\operatorname {E}X-\mu \leq x_{q}\leq \mu +{\frac {1}{{{{{{{{-2q)}}}}\operatorname {E}$

이 마지막 불평등 쌍의 한계는 ${\displaystyle Pr(X}$= ${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle q}$ = q ${\displaystyle \Pr(X=a)=q}$ 및$$ ${\displaystyle Pr(X}$= b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle q}$ = 1 - q ${\displaystyle \Pr(X=b)=1-q}$일 때 달성된다.

유한표본

표본 크기가 n finite 2인 유한 표본에 대해 x인_r 경우^th r 순서 통계량, m 표본 평균 및 s 자유도에 대해 보정된 표본 표준 편차,^[13]

${\displaystyle {\frac {m-x_{r}}{s}}{s}\leq {\text{max}\lift[{\sqrt {(n-1)(r-1)}{n-r+1)}}}{\sqrcrt {\(n-1)}}{nr}\ri}\ri}\ri}\riprim}\right]}}}}}}}$

r을 n / 2로 교체하면 표본 중위수에 적절한 결과가 나온다.^[14]

${\displaystyle {\frac {m-a}{s}}{s}\sqrt {\n^{2}-n}{n^{n^}}}}}}={\sqrt {\frac{n-1}{n}}}}}}}}}}}$

여기서 a는 표본 중앙값이다.

통계적 시험

핫텔링과 솔로몬은 시험 통계량의^[5] 분포를 고려했다.

${\displaystyle D={\frac {n(m-a)}{s}}}$

여기서 n은 표본 크기, m은 표본 평균, a는 표본 중위수, s는 표본의 표준 편차다.

D의 통계적 검정에서는 시험 중인 귀무 가설은 분포가 대칭적이라는 것을 가정했다.

Gastwirth는 nD의^−1/2 점근 분산을 추정했다.^[15] 분포가 0에 대해 단수이고 대칭인 경우 점근 분산이 1/4과 1 사이에 있다. 보수적인 추정치(분산을 1과 같게 표시)를 가정하면 실제 유의 수준이 공칭 수준보다 훨씬 낮을 수 있다.

기초 분포가 대칭인 카빌리오와 마사로라고 가정하면 S의 분포가 점증적으로 정상이라는 것을 알 수 있었다.^[16] 점근 분산은 기본 분포에 따라 달라진다. 정규 분포의 경우 S√n의 점근 분산이 0.5708...

기준 분포가 대칭이라고 가정했을 때, 중위수 위와 아래의 값 분포를 고려함으로써, 정과 가스트위스는 다음과^[17] 같이 주장해 왔다.

${\displaystyle {\sqrt{2n}\왼쪽 사진\frac {m-a}{s}\오른쪽)}$

여기서 n은 표본 크기로서 t 분포로 분포한다.

관련통계

미라는 평균과 중위수의 차이의 분포를 연구했다.^[18]

${\displaystyle \property_{1}=2(m-a),}$

여기서 m은 표본 평균이고 a는 중위수다. 기초 분포가 대칭인 경우 γ₁ 그 자체는 점증적으로 정상이다. 이 통계는 앞서 본페로니에 의해 제시된 것이었다.^[19]

대칭적인 기저 분포를 가정하여 S의 수정은 먀오, 겔, 가스위츠에 의해 연구되었는데, 이들은 표준 편차를 수정하여 통계를 작성하였다.^[20]

${\displaystyle J={\frac {1}{n}{n}}{\pi{2}}\sum{X_{i}-a}}}}{\frcrt {\frac {\pi}}}}}}}}$

여기서 X는_i 표본 값이고, 합은 모든 n개의 표본 값보다 많다.

시험 통계는 다음과 같다.

${\displaystyle T={\frac {m-a}{J}}.}$

척도 통계량 T√n은 점근법적으로 정규 분포를 따르고 대칭 분포의 평균은 0이다. 점근 분산은 기본 분포에 따라 달라진다. 제한 값은 정규 분포 변수(T√n) = 0.5708... 자유도가 3인 t 분포의 경우 var(T(n) = 0.9689...^[20]

개별 분포에 대한 값

대칭 분포

대칭 확률 분포의 경우 비모수 스큐 값은 0이다.

비대칭 분포

오른쪽 치우친 분포의 경우 양수이고 왼쪽 치우친 분포의 경우 음수입니다. 절대값 ≥ 0.2는 표시된 왜도를 나타낸다.

일부 분포에 대해 S를 결정하는 것은 어려울 수 있다. 이는 일반적으로 중위수에 대한 폐쇄형태를 알 수 없기 때문이다. 이러한 분포의 예로는 감마 분포, 역치 제곱 분포, 역감마 분포 및 스케일링 역치 제곱 분포가 있다.

S에 대한 다음 값은 알려져 있다.

• 베타 분포: 1 < α < β 여기서 α와 β는 분포의 매개변수로서, 그 다음에 좋은 근사치를^[21] 구한다.

${\displaystyle S={\frac {1}{3}{\frac {(\alpha -2\beta){1/2}}:{{1/2}}(\alpha +\beta +\beta -2/3)(\alpha \beta )^{1/2}}:$

1 < β > α일 경우 공식에서 α와 β의 위치가 역전된다. S는 항상 < 0>이다.

• 이항 분포: 다양하다. 평균이 정수일 경우 S = 0. 평균이 정수일 경우 S는 부호가 있거나 0일 수 있다.^[22] ±min{max{p, 1 - p }, log2_e } / σ으로 경계되며 여기서 σ은 이항 분포의 표준 편차다.^[23]
• Burr 분포:
• Birnbaum-Sunders 분포:

${\displaystyle S={\frac {2}{\beta ^{2}(4+5\alpha ^{2})}}$

여기서 α는 형상 매개변수, β는 위치 매개변수다.

• 캔터 분포:

${\displaystyle {\frac {-4}{3}}\leq S\leq {\frac {4}{3}}}}$

• 카이 제곱 분포: S ≥ 0이지만 그 값은 자유도(k)의 수에 따라 달라진다.

${\displaystyle S\ 약 {\frac {1-(1-{\frac {2}{k})^{3}{2}}:}$

• 다금 분포:
• 지수 분포:

$[\displaystyle S=1-\log _{e}(2)\ 약 0.31}$

• 두 개의 모수가 있는 지수 분포:^[24]

$[\displaystyle S=1-\log _{e}(2)\ 약 0.31}$

• 지수 로가리듬

${\displaystyle S=-{\frac {polylog(2,1-p)+\ln(1+{\sqrt{p})\ln p}{-[2pollylog(3,1-p)+polylog^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"{{{{{{{{{{{"-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 S는 항상 0 > 입니다.

• 기하급수적으로 수정된 가우스 분포:

${\displaystyle 0\leq S\leq 1-\log _{e}(2)}$

• 자유도가 n과 n인 F 분포(n > 4 ):^[25]

${\displaystyle S=n^{-3/2}{\sqrt {\frac {n-4}{n-2}}+O(n^{5/2})}$

• 프리셰 분포: 이 분포의 분산은 α > 2에 대해서만 정의된다.

${\displaystyle S={\frac {\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)-{\frac {1}{{\sqrt {\alpha }}\log _{e}(2)}}}{\sqrt {\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}}}}}$

• 감마 분포: 중위수는 이 분포에 대해 대략적으로만 결정할 수 있다.^[26] 형상 모수 α가 ≥ 1이면

${\displaystyle S\ 약 {\frac {\beta }{3\alpha +0.2}}}$

여기서 β > 0은 속도 매개변수다. 여기서 S는 항상 0 > 입니다.

• 일반화 정규 분포 버전 2

${\displaystyle S=-{\frac {\exp({\frac {-k^{2}}:2}}:}-1}-1}{\sqrt {\exp({\frac {k^{2}}:2}}:2}}:2}}:2}}:2}}:2}}:2}}:2}}:2}}:}$

S는 항상 < 0>이다.

• 일반화 파레토 분포: S는 형상 모수(k )가 < 1/2일 때만 정의된다. 이 분포의 S는 < 0이다.

${\displaystyle S=\왼쪽({\frac {2^{k}-1}{k}}{k}\오른쪽)^{0.5}$

• Gumbel 분포:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {{6}[\reght +\log_{e}(2)]}{\pi }}}{\pi }}\약 0.1643}$

여기서 γ은 오일러의 상수다.^[27]

• 반정규 분포:^[24]

${\displaystyle S\약 {\frac {{\sqrt {{2}}-0.6745{\sqrt{\pi }}{\sqrt{\pi -2}}}\약 0.36279}$

• 쿠마라스와미 분포
• 로그 로지스틱 분포(Fisk 분포): β를 형상 모수가 되게 한다. 이 분포의 분산과 평균은 β > 2일 때만 정의된다. 표기법을 단순화하기 위해 b = β / π을 허용한다.

${\displaystyle S={\frac {b-\sin(b)}{\sqrt {b\tan(b)-b^{2}}}$

b > 4.932(약)의 값에 대해서는 표준 편차가 존재하지 않는다. 표준 편차가 정의된 값의 경우 S는 0보다 크다.

• 로그 정규 분포: 평균(μ ) 및 분산(σ²) 포함

${\displaystyle S={\frac {1}{(e^{\frac {\sigma ^{2}}+1)(e^{\mu +\sigma ^{2}})}}}$

• Log-Weibull 분포:^[24]

${\displaystyle S\ 관련 {\frac {\log _{e}(2)-0.5772]{\sqrt{6}{\pi }}}}}\ 약 -0.1643}$

• 로맥스 분포: S는 α > 2에 대해서만 정의된다.

${\displaystyle S={\frac {(\alpha -1)(\alpha -1)(1-)(\alpha -1)(2^{1/\alpha }-1)}{\alpha ^{1/2}}$

• 맥스웰-볼츠만 분포:^[24]

${\displaystyle S\cHB {{\frac {{}-1.5382\Gamma({\frac{3}{2}}){\sqrt{2(\frac{5}{2}})}{\frac{3}{2}}:}}}}}-\감마({\frac{2}})}}}\약 0.0854}$

• 나카가미 분포

$(\displaystyle S=-1})$

• 파레토 분포: α > 2의 경우, 여기서 α는 분포의 형상 모수,

${\displaystyle S=(\alpha -2^{1/\alpha -1][\alpha -1])({\frac {\alpha -2}{\alpha }}})^{1/2},}$

그리고 S는 항상 0을 초과한다.

• 포아송 분포:

${\displaystyle {\frac {-\log _{e}(2){\lambda ^{1}{1}:{\frac S\leq {1}{1}{3\lambda ^{1}:{\frac {1}:{1}2}}:}$

여기서 λ은 분포의 모수다.^[28]

• Rayleigh 분포:

${\displaystyle S={\sqrt {\frac {2}{4-\pi }}}}[({\frac {\pi }{2}})^{0.5}-\log _{e}(4)\약 0.1251}$

• Weibull 분포:

${\displaystyle S={\frac {\감마(1+1/k)-\log _{e}^{1/k}}{{1/k}}{{(\감마(1+2/k)-\감마(1+1/k)^{1/2}}}}$

여기서 k는 분포의 형상 모수다. 여기서 S는 항상 0 > 입니다.

역사

1895년에 Pearson은 평균과 모드의 차이를 표준화하여 왜도를 측정하는 것을 처음으로 제안하였다.^[29]

${\displaystyle {\frac {\mu -\theta}{\ma}},}$

여기서 μ, μ, μ, μ는 각각 분포의 평균, 모드 및 표준 편차다. 표본 데이터에서 모집단 모드의 추정은 어려울 수 있지만, 여러 분포에서 평균과 모드의 차이는 Pearson에게 두 번째 왜도 계수를 제안한 평균과^[30] 중위수 사이의 차이의 약 3배이다.

${\displaystyle {\frac {3(\mu -\nu )}{\ma },}$

여기서 ν은 분포의 중위수다. 보울리는 1901년 이 공식에서 3인자를 떨어뜨려 비모수적 왜곡 통계로 이어졌다.

중위수, 평균 및 모드 사이의 관계는 Pearson이 유형 III 분포를 조사할 때 처음 파악되었다.

평균, 중위수 및 모드 간의 관계

임의 분포의 경우 모드, 중위수 및 평균이 임의의 순서로 나타날 수 있다.^[31][32][33]

평균, 중위수, 모드 및 표준 편차 사이의 일부 관계에 대한 분석이 수행되었다.^[34] 그리고 이러한 관계들은 비모수적 왜곡의 부호와 크기에 어느 정도 제약을 가한다.

이러한 관계를 보여주는 간단한 예는 n = 10, p = 0.09를 갖는 이항 분포다.^[35] 이 분포는 플롯되었을 때 긴 오른쪽 꼬리를 가지고 있다. 평균(0.9)은 중위수 (1)의 왼쪽에 있지만 세 번째 표준화된 모멘트에 의해 정의된 스큐(0.906)는 양의 값이다. 대조적으로 비모수적 왜곡은 -0.110이다.

피어슨의 법칙

일부 분포의 경우 평균과 모드의 차이가 평균과 중위수 사이의 3배라는 규칙은 Pearson이 유형 3 분포를 조사하는 동안 이를 발견했기 때문이다. 보통 분포와 유사한 약간 비대칭 분포에 적용되는 경우가 많지만 항상 참인 것은 아니다.

1895년에 Pearson은 현재 감마 분포로 알려진 것에 대해 관계가^[29] 있다고 언급했다.

$\displaystyle \nu -\theta =2(\mu -\nu )}$

여기서 where, ν, µ는 모드, µ는 형상 모수가 큰 분포의 경우 각각 중위수 및 평균이 거의 참이었다.

1917년 Doodson은 네 번째 모멘트가 유한한 적당히 치우친 분포에 대한 모드와 평균 사이에 중위수가 있다는 것을 증명했다.^[36] 이 관계는 모든 Pearson 분포에 대해 유지되며 이러한 분포는 모두 양의 비모수 왜곡을 가진다.

Doodson은 또한 좋은 근사치에 대한 분포의 이 계열에 대해,

$\displaystyle \theta =3\nu -2\mu ,}$

여기서 θ, ν, µ는 각각 분포의 모드, 중위수 및 평균이다. 두드슨의 근사치는 더 자세히 조사되어 홀데인에 의해 확인되었다.^[37] Haldane은 세 번째 응고제를 가진 동일하고 독립적인 변수의 표본들이 큰 표본 크기에 대해 Pearson의 관계를 따르는 표본 평균을 가지고 있다고 언급했다. Haldane은 엣지워스 팽창의 존재와 중위수와 모드의 고유성을 포함하여 이 관계를 유지하기 위해 여러 조건이 필요했다. 이러한 조건에서 그는 모드와 중위수가 각각 세 번째 모멘트의 1/2과 1/6로 수렴된다는 것을 발견했다. 이 결과는 홀이 특성 기능을 이용해 약한 조건에서 확인되었다.^[38]

두드슨의 관계는 Kendall과 Stuart에 의해 로그 정규 분포에서 연구되었고, 이 분포에서 그들은 그것에 가까운 정확한 관계를 발견했다.^[39]

또한 Hall은 꼬리와 지수 α가 규칙적으로 변화하는 분포에 대해 다음과^{[clarification needed][38]} 같은 것을 보여주었다.

$\displaystyle \mu -\theta =\mu(\mu -\nu )}$

단일 분포

가우스는 1823년에 단일한 분포를^[40] 위해 그것을 보여주었다.

$\displaystyle \lecma \leq \omega \leq 2\lecma }$

그리고

${\displaystyle \nu -\mu \leq {\sqrt {\frac {3}{4}}\omega ,}$

여기서 Ω은 모드의 루트 평균 제곱 편차다.

모드의 양방향으로 치우친 많은 종류의 단일 분포의 경우 중위수 및 평균은 그 순서로 된다.^[41] 반대로 부정적으로 치우친 많은 종류의 단변량 분포의 경우 평균은 중위수보다 작으며, 이는 다시 모드보다 작다. 이러한 양의 치우침 단변량 분포에 대한 기호

$\displaystyle \theta \leq \nu \leq \mu }$

그리고 이러한 부정적으로 치우친 단변 분포의 경우

$\displaystyle \mu \leq \nu \leq \theta }$

이 세분류는 중요한 F, 베타 및 감마 분포를 포함한다.

이 규칙은 단일한 Weibull 분포에는 적용되지 않는다.^[42]

단일 분포의 경우 다음과 같은 한계가 알려져 있으며 날카롭다.^[43]

${\displaystyle {\frac {\theta -\mu }{\\chma }}}\leq {\sqrt{3},}$

${\displaystyle {\frac {\nu -\mu }{\numa }}}\leq {\sqrt {0.6},}$

${\displaystyle {\frac {\theta -\nu }{\data }}}}\leq {\sqrt{3},}$

여기서 μ, μ, μ, μ는 각각 평균, 중위수 및 모드다.

중간 경계는 비모수 분포의 비모수 왜곡을 약 ±0.775로 제한한다.

판 즈웨트 조건

다음의 불평등은,

$\displaystyle \theta \leq \nu \leq \mu ,}$

여기서 where, ν, µ는 각각 분포의 모드, 중위수, 평균은 다음과 같이 유지된다.

${\displaystyle F(\nu -x)+F(\nu +x)\geq 1{\text{{{}모든 }$

여기서 F는 분포의 누적분포함수다.^[44] 이 조건들은 이후 일반화되었고^[33] 이산형 분포로 확장되었다.^[45] 이 분포가 갖는 모든 분포는 0 또는 양의 비모수 왜곡을 가진다.

메모들

왜도 순서

1964년 판 즈웨트는 왜도의 측정값을 주문하기 위한 일련의 공리를 제안했다.^[46] 비모수적 왜곡은 이러한 공리를 만족시키지 못한다.

벤포드의 법칙

벤포드의 법칙은 숫자 목록의 숫자 분포에 관한 경험적 법칙이다. 양의 비모수적 왜곡이 있는 분포에서 발생하는 랜덤 변동은 이 법을 준수할 것이라고 제안되었다.^[47]

보울리 계수와의 관계

이 통계량은 Bowley의 왜도^[48] 계수와 매우 유사하다.

${\displaystyle SK_{2}={\frac {Q_{3}+Q_{1}-2Q_{2}}:{Q_{3}-Q_{1}:{1}2}}:{Q_{3}-Q_{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 Q는_i 분포의 ith 사분위수다.

힝클리는 이것을^[49] 일반화했다.

${\displaystyle SK={\frac{F^{F^-1}(1-\alpha )+F^{1}(\alpha )-2Q_{2}}:{Q_{3}-Q_{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{-1}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$은(는) 0과 0.5 사이에 있다. 보울리의 계수는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 0.25와 같은 특수한$$ 경우다.

그로네벨드와 메덴은^[50] $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대한 의존성을 그 위에 통합함으로써$$ 제거했다.

${\displaystyle SK_{3}={\frac {\mu -Q_{2}}:{E y-Q_{2}}}}}$

분모는 산포의 척도다. 분모를 표준 편차로 대체하면 비모수 왜곡을 얻을 수 있다.

참조