칸토르 분포

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칸토어

누적분포함수
매개변수	없는
지원	캔터 세트
PMF	없는
CDF	칸토어 함수
평균	1/2
중앙값	[1/3, 2/3]의 어느 곳이나
모드	n/a
분산	1/8
왜도	0
엑스트라 쿠르토시스	−8/5
MGF	${\displaystyle e^{t/2}\prod _{k=1}^{\inflit }\cosh \left\frac {t}{3^{k}}}\오른쪽)}$
CF	${\displaystyle e^{it/2}\prod _{k=1}^{\nothy}\cos \left\frac{t}{3^{k}}}\오른쪽)}$

칸토어 분포는 누적 분포 함수가 칸토어 함수인 확률 분포다.

이 분포는 확률밀도함수도 확률질량함수도 없다. 누적분포함수가 연속함수임에도 불구하고, 르베그 측도와 관련하여 분포가 절대적으로 연속되지 않으며, 점-매스가 없기 때문이다. 따라서 이것은 이산형 확률 분포도 아니고 절대적으로 연속적인 확률 분포도 아니며, 이것들의 혼합도 아니다. 오히려 그것은 단수 분포의 한 예다.

그것의 누적분포함수는 거의 모든 곳에서 연속적이지만 거의 모든 곳에서 수평적이기 때문에, 비록 그 용어는 더 일반적인 의미를 가지고 있지만, 때때로 악마의 계단이라고 불린다.

특성화

칸토어 분포의 지원은 칸토어 집합이며, 그 자체가 (계속적으로 무한히 많은) 집합의 교차점이다.

${\displaystyle {\reasoned}C_{0}={}&[0,1]\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\컵 [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\컵 [2/9,1/3]\컵 [2/3,7/9]\컵 [8/9,1]\[8pt]C_{3}={}&,[0,1/27]\cup[2/27,1/9]\cup[2/9,7/27]\cup[8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&,[2/3,19/27]\cup[20/27,7/9]\cup[8/9,25/27]\cup[26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&,[0,1/81]\cup[2/81,1/27]\cup[2/27,7/81]\cup[8/81,1/9]\cup[2/9,19/81]\cup[20/81,7/27]\cup \\[4pt]&,[8/27,25/81]\cup[26/81,1/3]\cup[2/3,55/81]\cup[56/81,19/27]\cup[20/27,61/81]\cu.p\\[4pt]&, -LSB- 62/81,21/27]\컵 [8/9,73/81]\컵 [74/81,25/27]\컵 [26/27,79/81]\컵 [80/81,1]\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aigned}}}$

칸토어 분포는 C_t(t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... })에 대해, 칸토어 분포 랜덤 변수를 포함하는_t C의 특정 구간의 확률은^t 두 구간 각각에 동일한 2이다^−t.

순간

이 분포를 갖는 임의 변수 X의 경우 기대값 E(X) = 1/2이며 X의 모든 홀수 중심 모멘트가 0임을 대칭으로 쉽게 알 수 있다.

총 분산 법칙은 다음과 같이 분산 변수(X)를 찾는 데 사용할 수 있다. 위에 설정된₁ C의 경우, X가 [0,1/3]이면 Y = 0으로 하고, X가 [2/3,1]이면 1로 한다. 다음:

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{초본}(X)&,=\operatorname{E}(\operatorname{}(X\mid Y))+\operatorname{초본}(\operatorname{E}(X\mid Y))\\&, ={\frac{1}{9}}\operatorname{초본}(X)+\operatorname{초본}\left\{{\begin{행렬}1/6&,{확률{과 \mbox}}\ 1/2\\5/6&,{확률{과 \mbox}}\ 1{매트릭스}}\right\}\\&a.융점, ={\frac{1}{9}}\operatorname {var}(X)+{\frac {1}{9}\end{arged}}}$

이를 통해 얻을 수 있는 혜택:

${\displaystyle \operatorname {var}(X)={\frac {1}{8}.}$

짝수 중심 모멘트에 대한 폐쇄형 표현은 먼저 짝수 응고제를^[1] 얻음으로써 찾을 수 있다.

${\displaystyle \kappa _{2n}={\frac {2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n\}{n\,(3^{2n}-1)}{n\,\!}$

여기서 B는_2n 버누이 2번째 숫자로, 그리고 그 순간들을 적혈구의 함수로서 표현한다.

참조

추가 읽기

• Hewitt, E.; Stromberg, K. (1965). Real and Abstract Analysis. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 이것은 다른 표준 텍스트와 마찬가지로 칸토어 기능과 그것의 단측 파생물이 있다.
• Hu, Tian-You; Lau, Ka Sing (2002). "Fourier Asymptotics of Cantor Type Measures at Infinity". Proc. A.M.S. Vol. 130, no. 9. pp. 2711–2717. 이것은 이 참조 목록에 있는 다른 텍스트들보다 더 현대적이다.
• Knill, O. (2006). Probability Theory & Stochastic Processes. India: Overseas Press.
• Mattilla, P. (1995). Geometry of Sets in Euclidean Spaces. San Francisco: Cambridge University Press. 이것은 프랙탈에 대한 더 진보된 소재를 가지고 있다.