번바움-선더스 분포

Birnbaum-Sunders 분포는 피로 수명 분포라고도 하며, 수명 모형화를 위해 신뢰성 적용에 광범위하게 사용되는 확률 분포다.문헌에는 이 분포에 대한 몇 가지 대안적 공식들이 있다.그것은 Z의 이름을 따서 명명되었다. W. Birnbaum과 S. C. Sunders.

이론

이 분포는 균열로 인한 고장을 모형화하기 위해 개발되었다.재료는 반복적인 응력 주기에 놓인다.j^th 사이클은 균열의 증가로 이어진다_j.X의_j 합계는 평균 nμ와 분산 nσ로² 정규 분포를 따르는 것으로 가정한다.균열이 임계 길이 Ω을 초과하지 않을 확률은

${\displaystyle P(X\leq \omega )=\Phi \왼쪽({\frac {\omega -n\mu }{\sigma {\sqrt{n}}}\오른쪽)}$

여기서 φ()는 정규 분포의 cdf이다.

T가 고장 주기 횟수라면 T의 누적분포함수(cdf)는 다음과 같다.

${\displaystyle P(T\leq t)=1-\Phi \좌({\frac {\omega -t\mu }{\sigma {\sqrt}}\오른쪽)=\\Phi \left({\frac {t\mu -\omega }{\sigma {\sqrt{t}}\오른쪽)=\Phi \left({\frac {\mu {\sqrt{t}}}{\\frac {}-{\frac {\omega}{\sigma {\sqrt}}\오른쪽)=\\\Phi \frac {\sqrt}}{\sigma }}}}{\sigma }}\왼쪽({\frac {t}{\omega /\mu }}\오른쪽)^{0.5}-\{0.5}-\{0.5}\오른쪽)$

이 분포의 더 일반적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\Phi \왼쪽({\frac {1}{\alpha }}}}\왼쪽({\frac {x}{}\beta }\오른쪽)^{0.5}-\pright}$

여기서 α는 형상 모수, β는 척도 모수다.

특성.

Birnbaum-Sunders 분포는 β의 중위수를 갖는 단일 모달이다.

평균(μ), 분산(μ²), 왜도(γ), 첨도( ()는 다음과 같다.

${\displaystyle \mu =\lift(1+{\frac {\recovery ^{2}}:\오른쪽)}$

${\displaystyle \chba ^{2}=(\flash \frac ^{5\frac ^{2}}:{4}\오른쪽)}$

${\displaystyle \cHB ={\frac {4\reason (11\reason ^{2}+6)}{{5\reason ^{2}+4)^{\frac {3}:{2}}:}$

${\displaystyle \kappa =3+{\frac {6\frac ^{2}(93\properties ^{2}+40)}{{(5\properties ^{2}+4)^{2}}}}$

Birnbaum-Sunders로 추정되는 데이터 집합에 따라 분포된 모수의 값은 최대 우도로 가장 잘 추정된다.

T가 변수 α와 β로 분포된 Birnbaum-Sunders라면 T 역시 변수⁻¹ α와 β로⁻¹ 분포된 Birnbaum-Sunders이다.

변환

T를 변수 α와 β로 분산된 변종(Virnbaum-Sunders는 변수 α와 β를 가지고 있다.T의 유용한 변환은

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {T}{\beta }}\right)^{0.5}-\left({\frac {T}{\beta }}\right)^{-0.5}\right]}$.

동등하게

$displaystyle T=\beta \left(1+2X^{2}+2X(1+X^{2})^{0}$$5}\오른쪽$

그런 다음 X는 평균이 0이고 분산이 α² / 4인 정규 분포를 따른다.

확률밀도함수

확률밀도함수의 일반 공식(pdf)은 다음과 같다.

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt{x-\mu}}}+{\sqrt{\frac{\mu}}}{x-\mu }}}}{2\mu \}}}{2\mu \refrit(오른쪽)}}}\phi \left \frac {{\sqrt {x-\mu }{\frac }}-{\frac }{x-\mu }}}}{x-\mu }}}}}}}}\mu ;\mu ;\mu >0}$

여기서 γ은 형상 모수, μ는 위치 모수, β는 척도 모수, $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$은 표준 정규 분포의 확률 밀도 함수다.

표준 피로수명분포

μ = 0, β = 1인 경우를 표준 피로수명분포라고 한다.표준 피로 수명 분포를 위한 pdf는 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle f(x)={\sqrt{x}+{\sqrt{1}{x}}{2\laim x}}}{{\sqrt {{x}-{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}}{\frqrc;\pa=0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\frapproxxxxxxxxxxxxxx$

확률함수의 일반적인 형태는 표준 분포의 관점에서 표현될 수 있기 때문에, 함수의 표준 형태에 대해서는 이후의 모든 공식들이 주어진다.

누적분포함수

누적분포함수의 공식은

${\displaystyle F(x)=\Phi \left({\frac {{\sqrt{x}-{\sqrt{1}{x}}}{\gamma }}}}\quad x >0;\gamma >0}$

여기서 φ은 표준 정규 분포의 누적 분포 함수다.

퀀텀 함수

정량함수의 공식은

${\displaystyle G(p)={\frac {1}{4}\왼쪽[\gamma \Phi ^{-1}(p)+{\sqrt{4+\왼쪽(\gamma \phi ^{-1})(p)\오른쪽)^{2}}:$

여기서 φ은 ⁻¹ 표준 정규 분포의 정량 함수다.

참조

• Birnbaum, Z. W.; Saunders, S. C. (1969), "A new family of life distributions", Journal of Applied Probability, 6 (2): 319–327, doi:10.2307/3212003, JSTOR 3212003
• Desmond, A.F. (1985), "Stochastic models of failure in random environments", Canadian Journal of Statistics, 13 (3): 171–183, doi:10.2307/3315148, JSTOR 3315148
• Johnson, N.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distributions, vol. 2 (2nd ed.), New York: Wiley
• Lemonte, A. J.; Cribari-Neto, F.; Vasconcellos, K. L. P. (2007), "Improved statistical inference for the two-parameter Birnbaum–Saunders distribution", Computational Statistics and Data Analysis, 51: 4656–4681, doi:10.1016/j.csda.2006.08.016
• Lemonte, A. J.; Simas, A. B.; Cribari-Neto, F. (2008), "Bootstrap-based improved estimators for the two-parameter Birnbaum–Saunders distribution", Journal of Statistical Computation and Simulation, 78: 37–49, doi:10.1080/10629360600903882
• Cordeiro, G. M.; Lemonte, A. J. (2011), "The β-Birnbaum–Saunders distribution: An improved distribution for fatigue life modeling", Computational Statistics and Data Analysis, 55 (3): 1445–1461, doi:10.1016/j.csda.2010.10.007
• Lemonte, A. J. (2013), "A new extension of the Birnbaum–Saunders distribution", Brazilian Journal of Probability and Statistics, 27 (2): 133–149, doi:10.1214/11-BJPS160

외부 링크

• 피로수명분포

이 글은 국립표준기술원 웹사이트 https://www.nist.gov의 공공 도메인 자료를 통합한 것이다.