퍼펙트 파워

수학에서 퍼펙트 파워는 자연적 요인이 같은 자연수, 즉 정사각형이나 1보다 큰 다른 정수의 높은 정수 파워로 표현할 수 있는 정수다. 보다 형식적으로, n은 자연수 m > 1이 있고, k > 1이^k m = n이 존재한다면 완벽한 힘이다. 이 경우 n은 완벽한 k번째 힘이라고 할 수도 있다. k = 2 또는 k = 3이면 n을 각각 완벽한 사각형 또는 완벽한 큐브라고 한다. 때로는 0과 1도 완전 전력으로 간주된다(어떤^k k > 0의 경우 0, 어떤^k k의 경우 1 = 1).

예시 및 합계

m과 k에 대해 가능한 값을 통해 반복함으로써 완벽한 힘의 시퀀스를 생성할 수 있다. 숫자 순서대로(중복된 힘을 나타냄) 처음 몇 개의 오름차순 퍼펙트 파워는 다음과 같다(OEIS에서 순서 A072103).

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$ ${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\n4}$

완벽한 힘의 왕복선(둘 다 81과 같은⁴ 3과² 9와 같은 중복을 포함)의 합은 1이다.

${\displaystyle \sum \{m=2}^{k=2}^{\flac{1}{m^{k}=1}=1.}$

다음과 같이 증명할 수 있는 사항:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

중복되지 않은 최초의 완벽한 힘은 다음과 같다.

(sometimes 0 and 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (sequence A001597 in the OEIS)

중복이 없는 완벽한 힘 p의 답례의 합은 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle \sum \{p}{p}{p}}=\sum _{k=2}^{\inflt }\mu(k)(1-\zeta(k)\약 0.874464368\caps }}}$

여기서 μ(k)는 뫼비우스 함수, μ(k)는 리만 제타 함수다.

오일러에 따르면 골드바흐는 (지금은 잃어버린 편지에서) 그 총액을 보여주었다. 1/p - 1의 완전 파워 p의 집합에 대해, 1의 중복 파워를 제외하고, 1이다.

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

이를 골드바흐-울러 정리(Goldbach-Uler 정리)라고도 한다.

완벽한 힘을 감지하는 중

주어진 자연수 n이 완벽한 힘인지 아닌지를 감지하는 것은 복잡성의 수준이 서로 다른 여러 가지 방법으로 이루어질 수 있다. One of the simplest such methods is to consider all possible values for k across each of the divisors of n, up to ${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$. So if the divisors of ${\displaystyle n}$ are ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$ then one of the values ${\displaystyle n_1^2,}$${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}{}_{}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $2$ 3${\displaystyle }$, … ${\displaystyle n_{1}^{2}^{2}^{$2}^{$2}^{$2},\$n_{j}^{$2}^{2}^{$3},n_{2}^{3},\i1}}$는 n과 같아야$$ 한다.

이 방법은 대신 k의 프라이머리 값만 고려함으로써 즉시 단순화할 수 있다. This is because if ${\displaystyle n=m^{k}}$ for a composite ${\displaystyle k=ap}$ where p is prime, then this can simply be rewritten as ${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$. Because of this result, the minimal value of k must necessarily be prime.

If the full factorization of n is known, say ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$ where the ${\displaystyle p_{i}}$ are distinct primes, then n is a perfect power if and only if $>$ $[\displaystyle \gcd(\displaystyle$ \gcd(\displaysty $\{1},\ldots,\$ldots,\$ldots$,\$red_{r})$1} $여기$서 gcd는 가장 큰 공통의 구분자를 나타낸다. 예를 들어, n = 2⁹⁶/3⁶⁰/7을²⁴ 고려한다. gcd(96, 60, 24) = 12이므로 n은 완벽한 12번째 전력(그리고 6, 4, 3, 2가 12를 나누기 때문에 완벽한 6번째 전력, 4번째 전력, 큐브 및 사각형)이다.

완벽한 힘 사이의 차이

2002년 루마니아 수학자 프레다 미힐레스쿠는 연속적인 완벽한 힘의 유일한 쌍이 2³ = 8, 3² = 9라는 것을 증명하여 카탈로니아의 추측을 증명하였다.

필라이의 추측은 어떤 주어진 양의 정수 k에 대해 차이가 k인 완벽한 힘의 쌍은 한정되어 있다고 말한다. 이것은 ^[2]미해결 문제다

참고 항목

• 프라임 파워

참조

• Daniel J. Bernstein (1998). "Detecting perfect powers in essentially linear time" (PDF). Mathematics of Computation. 67 (223): 1253–1283. doi:10.1090/S0025-5718-98-00952-1.

외부 링크

• 루이즈 비빌로니, 펠레그리 비아데르, 자우메 파라디스, On a Goldbach and Euler, 2004년 (pdf)