루카스 유사프라이메

Lucas pseudoprimes 와 Fibonacci pseudoprimes 는 모든 소수 및 극소수의 합성번호에 합격한 합성정수입니다.이 경우 일부 Lucas 시퀀스에 대한 기준입니다.

배일리-바그스타프-루카스 유사소수

Baillie와 Wagstaff는 다음과 같이 ^[1]루카스 의사소수를 정의합니다.여기서 P > 0 및 $D=P^{2}-4Q$ $D=P^{2}-4Q$ $D=P^{2}-4Q$ 2 - $D=P^{2}-4Q$ (\ $displaystyle$ D $=P^{2}-4Q$ 는 U(P, Q)와_k V(P, Q)를 대응하는 루카스 시퀀스로 합니다_k.

n을 양의 정수, ( $)$ { $displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}$ 를 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ Jacobi 기호로 합니다 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ 델은

(\displaystyle \displaystyle (n)=n-\leftfrac {D}{n}\right).}

n이 Q를 나누지 않는 소수일 경우 다음 일치 조건이 유지됩니다.

U_{\delta (n)}\equiv 0{\pmod {n}}.

(1)

이 합치가 유지되지 않으면 n은 소수가 아닙니다.n이 합성일 경우 이 합치는 일반적으로 ^[1]유지되지 않습니다.이것들은 루카스 시퀀스를 원시성 테스트에서 유용하게 만드는 핵심 사실들이다.

일치(1)는 Frobenius 의사규칙을 정의하는 두 개의 일치 중 하나를 나타냅니다.따라서 모든 Frobenius pseudoprime도 Baillie-Wagstaff-Lucas pseudoprime이지만 그 반대가 항상 유지되는 것은 아닙니다.

좋은 참고 자료로는 브레수드와 왜건의 8장(매스매티카 ^[2]코드 포함), 크랜달과 포메랑스의 ^[3]142~152페이지, 리벤보임의 ^[4]53~74페이지가 있다.

루카스 확률 소수 및 의사 소수

소정의 (P, Q)쌍에 대한 루카스 확률 소수는 위의 식 (1)이 참인 임의의 양의 정수 n이다(1398페이지 참조).^[1]

소정의 (P, Q)쌍의 Lucas 의사 프리임은 식 (1)이 참인 양의 복합 정수n입니다(1391 페이지 참조).^[1]

Lucas prime test는 Jacobi 기호 $)\$ 가 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ -1이 되도록 D를 선택하는 경우에 가장 유용합니다(의 ^[1]1401~1409페이지, 의 1024페이지 또는 의 266~269 참조).이것은 특히 Baillie와 같은 강력한 의사 시간 테스트와 Lucas 테스트를 결합할 때 중요하다.PSW 프라이머리 테스트일반적으로 실장에서는 이 조건을 보증하는 파라미터 선택방법(예:에서 권장하는 방법 및 아래에서 설명하는 방법)을 사용합니다.

$\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1,$ $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1,$ ) $=$ - $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1,$ , {\ $displaystyle \tfrac {D}{n}\right$ }=-1 $,}$ 일 경우 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1,$ 등식 (1)은 다음과 같습니다.

U_{n+1}\equiv 0{\pmod {n}}.

(2)

일치(2)가 거짓일 경우, 이는 n이 합성이라는 증거가 된다.

일치(2)가 참이면 n은 루카스 확률 소수이다.이 경우 n은 소수이거나 Lucas pseudoprime 중 하나입니다.일치(2)가 참이면 n은 소수일 가능성이 높지만(이것은 개연성 소수를 정당화한다) 이것이 n이 소수라는 것을 증명하지는 않는다.다른 확률론적 프라이머리 테스트의 경우와 마찬가지로, 다른 D, P, Q로 추가 루카스 테스트를 수행할 경우 테스트 중 하나가 n이 합성임을 증명하지 않는 한, n이 프라임이라는 더 많은 신뢰를 얻을 수 있다.

예:P = 3, Q = -1, D = 13일 경우, U의 순서는 OEIS: A006190₀: U = 0₁₂, U = 1, U = 3, U = 10₃ 등입니다.

먼저, n = 19로 합니다.Jacobi $\left({\tfrac {13}{19}}\right)$ 기호( $)$ ({ $displaystyle\leftfrac{13}{19}\right})$ 는 $\left({\tfrac {13}{19}}\right)$ -1이므로 ,(n) = 20₂₀, U = 6616217487 = 19·348221973 입니다.

U_{20}=6616217487\equiv 04pmod {19}.

따라서 19는 이 (P, Q)쌍의 루카스의 소수가 될 수 있습니다.이 경우 19는 소수이므로 Lucas 유사프라이임이 아닙니다.

다음 예에서는 n = 119로 합니다.( $\left({\tfrac {13}{119}}\right)$ 119 $)$ ({ $displaystyle\leftfrac {13}{119}\$ right $\left({\tfrac {13}{119}}\right)$ = $\left({\tfrac {13}{119}}\right)$ -1 이므로 계산 가능합니다.

U_{120}\equiv 0{\pmod {119}}.

단, 119 = 7/17은 소수가 아니기 때문에 119는 이 (P, Q)쌍의 루카스 의사시간입니다.실제로 119는 P = 3, Q = -1의 가장 작은 의사 크기입니다.

아래에서는 주어진 n에 대한 방정식 (2)을 확인하기 위해 U 수열의 첫 번째 n + 1 항을 모두 계산할 필요가 없음을 알 수 있습니다.

Q = -1로 하자. P = 1, 2, 3, ...에 대한 가장 작은 루카스 의사규칙은 다음과 같다.

323, 35, 119, 9, 9, 143, 25, 33, 9, 15, 123, 35, 9, 9, 15, 129, 51, 9, 33, 15, 21, 9, 9, 49, 15, 39, 9, 35, 49, 15, 9, 9, 33, 51, 15, 9, 35, 85, 39, 9, 9, 21, 25, 51, 9, 143, 33, 119, 9, 9, 51, 33, 95, 9, 15, 301, 25, 9, 9, 15, 49, 155, 9, 399, 15, 33, 9, 9, 49, 15, 119, 9, ...

강한 루카스 의사 소수

$\delta (n)=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ 서 계수 $\delta (n)=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ ( $\delta (n)=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ ) $\delta (n)=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ - ( $\delta (n)=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ n $\delta (n)=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ ) \ $displaystyle \ display$ ( n ) = $n$ - \ $left frac$ { $D$ } { $n$ } $d\cdot 2^{s}$ $d\cdot 2^{s}$ $d\cdot 2^{s}$ ( $displaystyle$ $d\cdot 2^{s}$ d\ $cdot$ 2 ^ { $s$ } ) $。$ $d$ 서 $d\cdot 2^{s}$ $d$ 는 $d$ 홀수입니다.

소정의 (P, Q)쌍에 대한 강력한 루카스 의사프라이임은 GCD(n, D)= 1인 홀수 복합수 n이며, 다음 조건 중 하나를 만족한다.

U_{d}\equiv 0{\pmod {n}}

또는

V_{d\cdot 2^{r}}\equiv 0{\pmod {n}}

의 1396 페이지를 참조해 주세요.^[1]강력한 Lucas pseudoprime도 Lucas pseudoprime(동일(P, Q) 쌍)이지만 그 반대가 반드시 참인 것은 아닙니다.따라서 강도는 방정식 (1)보다 더 엄격한 원시성 검정입니다.

강력한 루카스 유사 소수가 무한히 많기 때문에 루카스 유사 소수가 무한히 많습니다.상태에서의 정리 7: $P^{2}-4Q$ $(\displaystyle$ P $)$ 와 $P$ Q $(\displaystyle$ Q $)$ 를 $Q$ P2 $P^{2}-4Q$ - $(\displaystyle$ P $^{2}-4Q)$ 가 $P^{2}-4Q$ 양수이지만 정사각형은 아닌 비교적 소수인 양의 정수라고 $P$ 합니다.다음으로 x $(\displaystyle$ x)를 $x$ $x$ 하지 않는 강력한 Lucas 의사소수의 수가x $displaystyle$ c $\cdot \log$ x $c\cdot \log x$ 보다 $x$ 크도록 (P $\displaystyle$ P $}$ $및$ Q(\displaystyle Q $Q$ 에 $따라$ 다름) 양의 상수 $(\$ $displaystyle$ c $)$ 가 있습니다.

Q = -1로 $U_{n}$ 하면 $U_{n}$ {\ $displaystyle U_{n}$ $V_{n}$ $V_{n}$ {\ $displaystyle V_{n}}$ 은 $V_{n}$ P-Fibonacci 시퀀스이고 P-Lucas 시퀀스이며, 예를 들어 p=3의 가장 강한 루카스 유사프라이임이라고 할 수 있다.

보다 강력한 Lucas 의사프라이임은 일련의 파라미터(P, Q)에 대한 강력한 Lucas 의사프라이임으로, Q = 1로, 다음 조건 중 하나를 충족합니다.

U_{d}\equiv 0{\pmod {n}}{\text{및}}}V_{d}\equiv \pmod {n}

또는

V_{d\cdot 2^{r}}\equiv 0{\pmod {n}}

$0\leq r<s-1$ < $0\leq r<s-1$ - $0\leq r<s-1$ \ $displaystyle$ 0 \ $leq$ r < s - 1 $0\leq r<s-1$ }.초강력 Lucas pseudoprime은 같은 $(P,Q)$ ( $)\displaystyle (P, Q)$ 쌍의 $(P,Q)$ 강력한 Lucas pseudoprime이기도 합니다.

루카스 예비 테스트 실시

가능한 소수점 테스트를 시작하기 전에 보통 소수점인 n이 홀수이고, 완전 제곱이 아니며, 편리한 한계보다 작은 소수점에서도 나누어지지 않음을 확인합니다.완벽한 제곱근은 제곱근에 대한 뉴턴의 방법을 사용하여 쉽게 발견할 수 있습니다.

자코비 기호 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ - 1 $(\displaystyle \leftfrac {D}{n}}\right$ )=- $1$ 이 θ(n) = n + 1이 되는 루카스 시퀀스를 선택합니다.

n을 지정하면 D를 선택하는 방법 중 하나는 시퀀스 5, -7, 9, -11, ...에서 시행착오를 사용하여 ( $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ - $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ (\ $displaystyle \tfrac {D}$ { $n$ $}\right$ ) $=$ - $1$ ( $\left({\tfrac {k}{n}}\right)\left({\tfrac {-k}{n}}\right)=-1$ n ) $\left({\tfrac {k}{n}}\right)\left({\tfrac {-k}{n}}\right)=-1$ 1 ( - $\left({\tfrac {k}{n}}\right)\left({\tfrac {-k}{n}}\right)=-1$ ) 、 \ tfright styleft $frac$ { display style } $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ = 1 .D와 n은 공통의 소인수를 가지고 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=0$ . $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=0$ ( $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=0$ ) $=$ $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=0$ $(\displaystyle \tfrac {D}$ { $n}}$ \ right ) = $0$ ） $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=0$ 。이 일련의 D 값에서 Jacobi 기호가 -1인 값과 마주치기 전에 시도해야 하는 D 값의 평균 수는 약 1.79입니다. 페이지 1416을 참조하십시오.^[1]D가 있으면 P $P=1$ { $displaystyle$ P $=1$ 및 $Q=(1-D)/4$ $Q=(1-D)/4$ ( $Q=(1-D)/4$ - $Q=(1-D)/4$ ) / $Q=(1-D)/4$ { $display$ Q= ( $1-D)/4$ 로 $P=1$ 합니다. n이 P 또는 Q와 공통되는 소인수가 없음을 확인하는 것이 좋습니다.D, P, Q를 선택하는 이 방법은 John Selfridge에 의해 제안되었습니다.

(이 검색은 n이 정사각형일 경우 성공하지 못하고, 반대로 성공했을 경우 n이 정사각형이 아니라는 증거입니다.따라서 처음 몇 개의 검색 단계가 모두 실패할 때까지 n의 정밀도 테스트를 지연시킴으로써 시간을 절약할 수 있습니다.)

D $U_{n+1}$ P 및 Q를 지정하면 $U_{n+1}$ n + $U_{n+1}$ 1 {display $style$ U_ ${n+1$ 및 $V_{n+1}$ n + $V_{n+1}$ { $displaystyle V_{n+1$ }을 $V_{n+1}$ O $log$ 2 $O(\log _{2}n)$ n $)$ 스텝(\ $displaystyle$ O $(\log$ _ ${2$ } $n)$ 에서 $O(\log _{2}n)$ $O(\log _{2}n)$ 하게 $U_{n+1}$ 할 수 있는 반복 관계가 있습니다.루카스 시퀀스 other 기타 관계를 참조하십시오.일단은

U_{1}=1

V_{1}=P=1

첫째, 반복 관계를 사용하여 첨자를 k $($ $2k$ 스타일 k $)$ 에서 $k$ 2k $(표시$ $스타일$ $2k)$ 로 $2k$ 한 번에 두 배로 늘릴 수 있습니다.

U_{2000}=U_{k}\cdot V_{k

V_{2k}=V_{k}^{2}-2Q^{k}={\frac {V_{k}^{2}+DU_{k}^{2}}{2}}

DU_{k}^{2}}:{2

다음으로 반복을 사용하여 첨자를 1씩 늘릴 수 있습니다.

U_{2k+1}=(P\cdot U_{2k}+V_{2k})/2

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

+

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

(

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

U

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

V

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

/

V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2

( \

display style

V _ {

2k

+ 1 ） = (

D

\

cdot U

_ {

2k

} +

P

\

cdot V

_ {

2k

} ) /

2

。

$P\cdot U_{2k}+V_{2k}$ $P\cdot U_{2k}+V_{2k}$ $P\cdot U_{2k}+V_{2k}$ k + $P\cdot U_{2k}+V_{2k}$ $P\cdot U_{2k}+V_{2k}$ k \ $displaystyle$ P \ $cdot U$ _ { 2 $k$ } + $V$ _ { $2$ k } is $P\cdot U_{2k}+V_{2k}$ P $P\cdot U_{2k}+V_{2k}+n$ U $P\cdot U_{2k}+V_{2k}+n$ + $V$ $P\cdot U_{2k}+V_{2k}+n$ k + $P\cdot U_{2k}+V_{2k}+n$ ( \ $displaystyle$ P \ $cdot U _$ { 2 k $P\cdot U_{2k}+V_{2k}+n$ + V $_$ 2 k + n $P\cdot U_{2k}+V_{2k}+n$ )로 치환하여도 2로 나눌 수 있습니다. $V_{2k+1}$ $V_{2k+1}$ $V_{2k+1}$ $({$ 의 $V_{2k+1}$ 분자도 동일하게 처리됩니다.(n을 더해도 결과 모듈 n은 변경되지 않습니다.)U 시퀀스에서 계산하는 각 항에 대해 V 시퀀스에서 해당하는 항을 계산합니다.진행하면서 동일한 Q의 거듭제곱도 계산합니다.

각 단계에서U\ $displaystyle$ U $U$ $\displaystyle$ V $V$ Q\ $displaystyle$ Q $Q$ mod n의 $Q$ 을 $줄입니다$ .

n의 이진수 확장 비트를 사용하여 U 시퀀스에서 계산할 항을 결정합니다.예를 들어, n+1 = 44(2진수에서는 101100)인 경우 왼쪽에서 오른쪽으로 한 번에 하나씩 비트를 취하면 계산할 인덱스 시퀀스를 얻을 수 있습니다₂. 1 = 1, 10₂ = 2, 100₂ = 4, 101₂ = 5, 1010₂ = 10, 1011₂ = 11, 10110₂ = 22, 1100₂ = 44따라서 U, U₂, U₄₅, U₁₀, U, U₁₁, U₂₂, U, U를₄₄ 계산합니다₁. 또한 V 시퀀스에서 Q²⁴, Q⁵¹⁰, Q, Q, Q¹¹, Q, Q, Q, Q 및 Q와⁴⁴ 함께²² 동일한¹ 번호의 항을 계산합니다.

계산이 끝나면 U, V_n+1, Qⁿ⁺¹(mod n)가 계산됩니다_n+1.그런 다음 알려진 U 값을_n+1 사용하여 (2) 일치 여부를 확인합니다.

위에서 설명한 바와 같이 D, P 및 Q를 선택한 경우 첫 번째 10개의 Lucas 의사소수는 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179 및 10877입니다(OEIS의 시퀀스 A217120).

Lucas 테스트의 강력한 버전은 유사한 방법으로 구현될 수 있습니다.

위에서 설명한 바와 같이 D, P 및 Q를 선택한 경우 첫 번째 10개의 강력한 Lucas 의사소수는 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309 및 58519(OEIS의 시퀀스 A217255)입니다).

매우 강력한 Lucas 유사 소수점 목록을 계산하려면 Q $Q=1$ $displaystyle$ Q $=1$ }로 $Q=1$ 합니다. 그런 다음 D $D=P^{2}-4Q$ $D=P^{2}-4Q$ - $D=P^{2}-4Q$ Q {\ $displaystyle$ D $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ $P$ ^ { $2}-4Q}$ $D=P^{2}-4Q$ 이 $D=P^{2}-4Q$ Jacobi $displaystyle$ 1 - $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ n $)$ 가 될 때까지 P = 3, 4, 5, 6, ...을 시도합니다.Q, 첫 번째 10개의 강력한 Lucas 유사 소수는 989, 3239, 5777, 10877, 27971, 29681, 30739, 31631, 39059 및 72389입니다(OEIS의 시퀀스 A217719).

추가 일치 조건 확인

일치(2)가 참인 것을 확인했을 경우, 추가 계산 비용이 거의 들지 않는 추가 일치 조건이 있습니다.n이 복합적일 경우 이러한 추가 조건을 통해 해당 사실을 발견하는 데 도움이 될 수 있습니다.

n이 홀수 소수이고 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ ( $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ $=$ - $\left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1$ (\ $displaystyle \leftfrac {D}{n}\right$ )=- $1$ 이면 다음과 같습니다(의 1392페이지의 등식 2 참조).

V_{n+1}\equiv 2Q{\pmod {n}}.

(3)

이 일치 조건은, 정의상, 루카스 확률 프라임 테스트의 일부가 아니지만, 위에서 언급한 바와 같이, V의_n+1 값이 U를 계산하는_n+1 과정에서 계산되었기 때문에, 이 조건을 확인하는 것은 거의 자유롭다.

일치(2) 또는 (3) 중 하나가 거짓이면 n이 소수가 아니라는 증거가 된다.만약 이 두 합치가 모두 참이라면, 우리가 합치만 확인했을 때보다 n이 소수일 가능성이 더 높습니다(2).

D, P 및 Q를 선택하는 Selfridge의 방법(위)이 Q = -1로 설정된 경우 D $\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ 및 ( $)$ (\ $displaystyle \tfrac {D}{n}}\right)$ 이 변경되지 $\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ 않고 P = Q = 5(루카스 시퀀스-게이직 참조)가 되도록 P와 Q를 조정할 수 있습니다.P와 Q를 선택하기 위해 이 향상된 방법을 사용할 경우, 913 = 11·83은 일치(3)가 참인 10 미만의⁸ 유일한 합성물이다(1409페이지 및 표 6 of;^[1] 참조).보다 광범위한 계산 결과, 이 D, P 및 Q를 선택하는 방법에서는 일치(3)^[7]가 참인¹⁵ 10보다 작은 홀수 복합수가 5개밖에 없다는 것을 알 수 있습니다.

Q ${\$ ± $Q\neq \pm 1$ { $display style$ Q \ $neq$ \ $pm$ 1 $Q\neq \pm 1$ }인 경우 추가 연산을 거의 수반하지 않는 추가 일치 조건을 구현할 수 있습니다.

$U_{n+1}$ $Q^{n+1}$ n + $Q^{n+1}$ ({ $display style$ Q $^{n+1})$ 은 $Q^{{n+1}}$ U $U_{n+1}$ n + $U_{n+1}$ ({ $displaystyle U_{n+1$ 의 계산 중에 계산되며, 이전에 계산한Q({ $displaystyle$ Q $Q$ 의 검정력 $Q^{(n+1)/2}$ $Q^{(n+1)/2}$ Q $Q^{(n+1)/2}$ + 1) / $Q^{(n+1)/2}$ 2({ $displaystyle$ Q $^(n+1$ )/2 $Q^{(n+1)/2}$ 의 $Q$ 을 쉽게 저장할 수 $Q^{n+1}$ .

만약 n이 소수라면, 오일러의 기준에 따르면,

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

(

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

-

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

) /

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

( (

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

(

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

n )

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

\

displaystyle

Q

^{

(

n-1

) /

2

\

equiv \ left

( { \

tfrac

{ Q

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

} { n } \

right

) { \

pmod

{

n }

}

Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}

。

( $\left({\tfrac {Q}{n}}\right)$ 서 $\left({\tfrac {Q}{n}}\right)$ ( $)$ $({style$ \left $({\tfrac {Q}{n}}\right$ )})는 $\left({\tfrac {Q}{n}}\right)$ Legendre 기호입니다.n이 소수이면 Jacobi 기호와 동일합니다.

따라서, n이 소수라면, 우리는 다음과 같이 해야 한다.

\displaystyle Q^{(n+1)/2}\equiv Q\cdot Q^{(n-1)/2}\equiv Q\cdot \left({\tfrac {Q}{n}}}\right) {\pmod {n}}}.}

(4)

오른쪽에 있는 야코비 기호는 계산하기 쉬우므로 이 합치도 쉽게 확인할 수 있습니다.이 합치가 유지되지 않으면 n은 소수가 될 수 없습니다.GCD(n, Q) = 1일 경우 일치성 테스트(4)는 "기본 Q" 솔로베이-스트래슨 프라이머리 테스트로 루카스 테스트를 증강하는 것과 같다.

n이 프라임일 경우 충족해야 하는 추가 일치 조건은 ^[1]의 섹션 6에 설명되어 있다.이러한 조건 중 하나가 유지되지 않으면 n이 소수가 아님을 증명합니다.

밀러-라빈 프라이머리티 테스트와의 비교

k 밀러-라빈 소수성 테스트의 적용은 복합 n이 아마도 최대 확률(1/4)^k과 함께 소수임을 선언한다.

강력한 루카스 확률 프라임 ^[8]테스트에 대한 유사한 확률 추정치가 있습니다.

두 가지 사소한 예외(아래 참조)를 제외하고, 복합 n이 소수임을 선언하는 (P,Q) 쌍(modulo n)의 분율은 최대 (4/15)이다.

따라서 강력한 Lucas 검정의 k개의 적용은 복합 n이 아마도 최대 확률(4/^k15)로 소수임을 선언할 것입니다.

두 가지 사소한 예외가 있습니다.1은 n = 9입니다.다른 하나는 n = p(p+2)가 두 쌍둥이 소수의 곱인 경우이다.이러한 n은 인수분해하기 쉬운데, 이 경우 n+1 = (p+1)²은 완벽한 제곱이기 때문입니다.제곱근에 대한 뉴턴의 방법을 사용하면 완벽한 제곱근을 빠르게 발견할 수 있다.

예를 들어 베이스 2에 대한 루카스 유사 프라이머리 테스트와 함께 루카스 유사 프라이머리 테스트를 결합하면 프라이머리 테스트에 대한 매우 강력한 확률론적 테스트를 얻을 수 있다.PSW 프라이머리 테스트

피보나치 의사 소수

P = 1 및 Q = -1일 때 U(P,Q) 시퀀스는_n 피보나치 수를 나타냅니다.

피보나치 의사프라이임은 흔히 일치 (1)이 P = 1 및 Q = -1(단, n은 )과 유지되는 5로 나누어지지 않는 합성수 n으로 정의됩니다^[2]^{: 264,}^[3]^{: 142,}^[4]^{: 127}.이 정의에 의해, 피보나치 의사 소수는 시퀀스를 형성합니다.

323, 377, 1891, 3827, 4181, 5777, 6601, 6721, 8149, 10877, ...(OEIS의 시퀀스 A081264).

아래 Anderson과 Jacobsen의 참조에서는 이 정의를 사용합니다.

n이 2 또는 3 모듈로 5와 일치할 경우 ^[2]^{: 272–273}브레수드, 크랜달 및^[3]^{: 143, 168} 포메랑스는 피보나치 의사 프리임이 페르마 의사 프리임 베이스 2이기도 한 것은 드물다고 지적한다.그러나 n이 1 또는 4 모듈로 5와 일치할 경우 10 미만의 피보나치¹¹ 의사소수의 12% 이상이 base-2 페르마 의사소수이다.

만약 n이 소수이고 GCD(n, Q) = 1이라면, 우리는 또한^[1]^{: 1392}

V_{n}(P,Q)\equiv P{\pmod {n}}.

(5)

이것에 의해, Fibonacci pseudoprime ^[9]^[10]의 대체 정의가 실현됩니다.

피보나치 의사 프리임은 일치(5)가 P = 1 및 Q = -1인 합성수 n이다.

이 정의에 의해 피보나치 의사 소수가 시퀀스를 형성합니다.

705, 2465, 2737, 3745, 4181, 5777, 6721, 10877, 13201, 15251, ...(OEIS의 시퀀스 A005845),

브루크만 루카스 의사소수라고도 ^[4]^{: 129}합니다.Hoggatt와 Bicknell은 ^[11]1974년에 이러한 유사소수의 특성을 연구했다.Singmaster는 이러한 의사 소수를 최대 100000까지 ^[12]계산했습니다.Jacobsen은 ^[13]10보다 작은¹³ 의사소수 111443을 모두 나열합니다.

식 (5)^[14]^[15]에서 정의된 바와 같이 짝수 피보나치 의사 소수는 존재하지 않는 것으로 나타났습니다.다만, 피보나치 의사 소수(OEIS 의 시퀀스 A141137)도, (1) 로부터 주어진 최초의 정의아래에 존재합니다.

강한 피보나치 의사 프리임은 일치(5)가 Q = -1 및 모든 ^[16]P에 대해 유지되는 합성수 n입니다.따라서^[16]^{: 460} 홀수 복합정수n은 다음과 같은 경우에만 강력한 피보나치 의사규칙이 됩니다.

n은 Carmichael 번호입니다.
n을 나누는 모든 소수 p에 대해 2(p + 1)(n - 1) 또는 2(p + 1)(n - p)입니다.

강력한 피보나치 의사 프레임의 가장 작은 예는 443372888629441 = 17·31·41·43·89·97·131 입니다.

Pell 의사 소수

Pell 의사프라이임은 위의 식 (1)이 P = 2 및 Q = -1에서 참인 복합수 n으로 정의할 수 있습니다.그 후 시퀀스_n U가 Pell 시퀀스입니다.첫 번째 의사소수는 35, 169, 385, 779, 861, 961, 1121, 1189, 2419, ...입니다.

이는 OEIS의 정의인 A099011과는 다릅니다.이 정의는 다음과 같습니다.

{\text{}}U_{n}\equiv \left({\tfrac {2}{n}}\오른쪽){\pmod {n}}

(P, Q) = (2, -1)로 U를 다시 Pell 시퀀스로 정의합니다_n.첫 번째 의사소수는 169, 385, 741, 961, 1121, 2001, 3827, 4879, 5719, 6215 입니다.

세 번째 정의에서는 (P, Q) = (2, -1)인 방정식 (5)을 사용하여 의사 소수 169, 385, 961, 1105, 1121, 3827, 4901, 6265, 641, 6601, 7107, 7801, 8119, ...를 도출합니다.

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