리 그룹

거짓말 그룹
고전파 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n)
단순 거짓말 그룹 고전적인 An. Bn. Cn. Dn. 특출한 G2 에프4 E6. E7. E8.
기타 Lie 그룹 원형 로렌츠 푸앵카레 등각군 미분 동형 고리 유클리드
리 대수 리 군-거짓 대수 대응 지수 지도 인접 표현 킬링 폼 색인 단순 리 대수
반단순 리 대수 다이킨 도표 카르타아게브라 루트 시스템 와일기 실제 형태 복잡화 분할 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 거짓말 그룹 표현 리 대수 표현 반단순 리 대수의 표현 이론 고전적 리 그룹의 표현 최대 무게 정리 보렐-바일-병 정리
물리학의 리 그룹 입자 물리 및 표현 이론 로렌츠 군 표현 Poincaré 그룹 표현 갈릴레이 군 표현
과학자 소퍼스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카르탕 헤르만 바일 클로드 셰발리 하리시찬드라 아르만드 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

대수구조 → 군론 군론
기본 개념 서브그룹 정규 부분군 몫군 (반쪽-)다이렉트 프로덕트 군 동형사상 커널 이미지 직접 합계 화환 제품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가물 순환의 아벨리안 이면체 무효 해결 가능한 액션. 군론 용어집 그룹 이론 토픽 목록
유한군 유한단순군분류 순환의 번갈아 거짓말형 산발적인 코시의 정리 라그랑주 정리 시로우 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스군 슈어 승수 대칭군n S 클라인 4족 V 이면체군n D 사분위수 Q 쌍환기n Dic
개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

수학에서, 리 군(Lie group, /li//LEE로 발음됨)은 또한 미분 가능한 다양체이다.다양체는 국소적으로 유클리드 공간을 닮은 공간인 반면, 그룹은 곱셈과 역수(분할)의 취합 또는 동등하게 덧셈과 역수의 취합(추상)의 개념과 같이 군이어야 하는 추가 특성과 함께 이항 연산의 추상 개념을 정의한다.이 두 가지 아이디어를 결합하면, 승점과 그 역이 연속하는 연속적인 그룹을 얻을 수 있다.역수 곱셈과 취입도 매끄럽고(미분 가능) 경우에는 Lie 그룹을 구한다.

라이 그룹은 연속 대칭 개념에 대한 자연스러운 모델을 제공하며, 그 유명한 예는 3차원 회전 대칭(특수 ${\displaystyle \text{직교}}$ 그룹 ${\displaystyle \mathrm{SO}}$ ${\displaystyle (}$ 3$)\displaystyle\text{$$SO}}(3)}.$거짓말 그룹은 현대 수학과 물리학의 많은 부분에서 널리 사용된다.

거짓말 그룹은 ${\displaystyle {}_{}}$ n$)$에 ${\displaystyle {\text{포함}}_{}}$된 매트릭스 하위 $그룹{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ $G)$를 연구하여 처음 발견되었다.$GL}_{n}(\mathbb {R})$ ${\displaystyle {\text{또는<img alt="{displaystyle {text{GL}}\_n(mathbb {R} )}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/097d8981d4fa62fb4f4d6353c450b5c844d89dc4" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.983ex; height:2.843ex;">}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}C\mathbb{}}$)(\$displaystyle {text})$GL$}}_{n}(\mathbb {C$은 R$(\$ $또는$ C(\$displaystyle \mathbb {C})$$위$의 n${\displaystyle }$× $(\displaystyle$ n$\times$n)의 반전$$ 행렬 그룹입니다.이 이러한 기원을 훨씬 넘어서는 개념으로 확장되었기 때문에 현재는 고전 그룹이라고 불립니다.리 군(Lie group)은 연속변환군 이론의 기초를 닦은 노르웨이 수학자 소푸스 리 (1842–1899)의 이름을 딴 것이다.리 군을 도입한 리의 원래 동기는 미분방정식의 연속대칭을 모델링하는 것이었는데, 이는 갈로아 이론에서 대수방정식의 이산대칭을 모델링하기 위해 유한군이 사용되는 것과 거의 같은 방식으로이다.

역사

리 그룹의 초기 역사에 대한 가장 권위 있는 자료(호킨스, 페이지 1)에 따르면, 소퍼스 리 자신은 1873-1874년의 겨울을 그의 연속 그룹 이론의 탄생일로 여겼다.그러나 호킨스는 1869년 가을부터 1873년 가을까지 4년 동안 거짓말의 엄청난 연구 활동에서 이론이 탄생했다고 주장한다.리의 초기 아이디어 중 일부는 펠릭스 클라인과 긴밀히 협력하여 개발되었습니다.리는 1869년 10월부터 1872년까지 매일 클라인을 만났다: 1869년 10월 말부터 1870년 2월 말까지 베를린에서, 그리고 그 후 2년 동안 파리에서는 괴팅겐과 에를랑겐에서.Lie는 1884년까지 모든 주요 결과를 얻었다고 말했다.그러나 1870년대 동안 그의 모든 논문(첫 번째 노트 제외)은 노르웨이 저널에 발표되었고, 이는 유럽의 나머지 지역 전체에 걸쳐 이 작품의 인정을 지연시켰다(ibid, 페이지 76).1884년 독일의 젊은 수학자 프리드리히 엥겔은 그의 연속군 이론을 드러내기 위해 체계적 논문을 작성하기 위해 라이와 함께 연구했습니다.이 노력으로부터 1888년, 1890년, 1893년에 출판된 세 권의 Theorie der Transformationsgruppen이 탄생했다.groupes de Lie라는 용어는 1893년 리의 제자 Arthur ^[1]Tresse의 논문에서 프랑스어로 처음 등장했습니다.

리의 생각은 수학의 나머지 부분과 분리되지 않았다.사실, 미분 방정식의 기하학에 대한 그의 관심은 칼 구스타프 야코비의 1차 편미분 방정식 이론과 고전 역학의 방정식에 대한 연구로 처음 동기를 부여받았다.자코비의 작품 대부분은 1860년대에 사후에 출판되어 프랑스와 독일에서 큰 관심을 불러일으켰다.리의 특이적 고정관념은 에바리스 갈로아가 대수 방정식에 대해 해왔던 것처럼 그들을 위해 군 이론으로 분류하는 미분 방정식의 대칭 이론을 개발하는 것이었다.Lie와 다른 수학자들은 특수함수와 직교 다항식의 가장 중요한 방정식이 군 이론적인 대칭에서 발생하는 경향이 있다는 것을 보여주었다.리의 초기 작품에서, 아이디어는 연속적인 군들의 이론을 구축하는 것이었고, 모듈러 형태의 이론으로 발전한 이산 군들의 이론을 보완하기 위해 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레의 손에 있었다.리는 처음에 미분방정식 이론에 적용하려고 했다.갈로아 이론과 다항식 모형에서, 구동 개념은 대칭의 연구에 의해, 상미분 방정식의 전체 영역을 통합할 수 있는 이론이었다.그러나 거짓말 이론이 상미분 방정식의 전체 분야를 통일할 것이라는 희망은 실현되지 않았다.ODE에 대한 대칭 방법은 계속 연구되고 있지만 주제를 지배하지는 않는다.미분 갈로아 이론이 있지만, 피카르나 베시오트 같은 사람들에 의해 개발되었고, 그것은 해를 표현하는데 필요한 무한 적분인 사분원 이론을 제공한다.

연속군을 고려하는 추가적인 자극은 기하학의 기초에 대한 베른하르트 리만의 아이디어와 클라인의 손에 의한 그들의 발전에서 비롯되었다.따라서 19세기 수학의 세 가지 주요 주제는 리에 의해 그의 새로운 이론을 창조함에 있어서 결합되었습니다: 그룹의 대수적 개념을 통해 갈로아에 의해 예시된 대칭의 개념; 기하학적 이론과 포아송과 자코비에 의해 만들어진 역학의 미분 방정식의 명시적 해법; 그리고 기하학의 새로운 이해.플뤼커, 뫼비우스, 그라스만 등의 작품에서 등장하여 이 주제에 대한 리만의 혁명적 비전으로 정점을 찍었다.

오늘날 소푸스 리는 연속군 이론의 창시자로 정당하게 인정받고 있지만, 구조 이론의 발전에 있어 큰 보폭은 수학의 후속 발전에 지대한 영향을 미치는 빌헬름 킬링에 의해 만들어졌고, 빌헬름 킬링은 1888년에 Die Zusamensetzun이라는 제목의 시리즈로 첫 번째 논문을 발표했다.g der stetigen endlicen Transformationsgruppen (연속 유한 변환 그룹의 구성) (Hawkins, 페이지 100).나중에 엘리 카르탕에 의해 다듬어지고 일반화 된 킬링의 작업은 반단순 리 대수, 카르탕의 대칭 공간 이론, 그리고 헤르만 바일의 가장 높은 가중치를 사용한 콤팩트하고 반단순 리 군 표현에 대한 설명으로 이어졌다.

1900년 데이비드 힐베르트는 파리에서 열린 국제 수학자 회의에서 그의 다섯 번째 문제로 거짓말 이론가들에게 도전장을 내밀었다.

바일은 반단순 거짓말 그룹의 축소 불가능한 표현을 분류하고 그룹의 이론을 양자 역학과 연결했을 뿐만 아니라, 그는 또한 리의 극소수 사이의 차이를 명확하게 설명함으로써 리의 이론 자체를 더욱 확고히 했다.그룹(즉, 리 대수)과 리 그룹(Lie groups)을 적절히 설정하고 리 ^[2]그룹의 위상을 조사하기 시작했다.리 군 이론은 클로드 셰발리에 의해 현대 수리 언어로 체계적으로 수정되었다.

개요

리 그룹은 매끄러운 미분 가능한 다양체이며, 따라서 보다 일반적인 위상 그룹의 경우와는 대조적으로 미분학을 사용하여 연구할 수 있다.Lie 그룹의 이론에서 중요한 생각 중 하나는 글로벌 객체인 그룹을 로컬 또는 선형화된 버전으로 대체하는 것입니다. Lie는 그 자신이 "최초 그룹"이라고 불렀고 그 이후로 Lie 대수학으로 알려지게 되었습니다.

거짓말 그룹은 몇 가지 다른 수준에서 현대 기하학에서 엄청난 역할을 합니다.펠릭스 클라인은 그의 에를랑겐 프로그램에서 특정 기하학적 특성을 불변하게 하는 적절한 변환군을 지정함으로써 다양한 "기하학"을 고려할 수 있다고 주장했다.따라서 유클리드 기하학은 유클리드 공간³ R의 거리 보존 변환의 그룹 E(3)의 선택에 해당하며, 등각 기하학은 등각 군으로 군을 확대하는 것에 해당하는 반면, 투영 기하학에서는 투영 군에서 불변하는 성질에 관심이 있다.이 아이디어는 나중에 G 구조의 개념으로 이어졌는데, 여기서 G는 다양체의 "국소" 대칭의 Lie 그룹이다.

라이 그룹(및 그와 관련된 라이 대수학)은 현대 물리학에서 주요한 역할을 하며, 라이 그룹은 전형적으로 물리적 시스템의 대칭의 역할을 한다.여기서, Lie 그룹(또는 그 Lie 대수)의 표현은 특히 중요하다.표현 이론은 입자 물리학에서 광범위하게 사용된다.표현이 특히 중요한 그룹에는 회전 그룹 SO(3)(또는 이중 커버 SU(2)), 특수 단일 그룹 SU(3) 및 푸앵카레 그룹이 포함된다.

"글로벌" 수준에서, 리 군(Lie group)이 리만이나 심플렉틱 다양체와 같은 기하학적 객체에 작용하면, 이 작용은 강성의 척도를 제공하고 풍부한 대수 구조를 산출합니다.다지관 상에서 Lie 그룹 동작을 통해 표현되는 연속 대칭이 존재하면 다지관 형상에 강한 제약이 가해지며 다지관에 대한 분석이 용이해집니다.Lie 그룹의 선형 작용은 특히 중요하며, 표현 이론에서 연구된다.

1940~1950년대에 엘리스 콜친, 아르망 보렐, 클로드 체발리는 리 군과 관련된 많은 기초적인 결과들이 완전히 대수적으로 개발될 수 있다는 것을 깨달았고, 이는 임의의 분야에 걸쳐 정의된 대수군 이론을 낳았다.이 통찰력은 대수기하학뿐만 아니라 대부분의 유한한 단순군에 균일한 구조를 제공함으로써 순수 대수학의 새로운 가능성을 열었다.현대 수론의 중요한 한 분야인 자기 형태 이론은 아델 고리에 대한 리 군의 유추들을 광범위하게 다룬다; p-adic 리 군들은 수 이론에서 갈로아 표현과의 연결을 통해 중요한 역할을 한다.

정의와 예시

실수 리 군이란 곱셈과 반전의 군 연산이 매끄러운 지도인 유한 차원 실수 평활 다양체이기도 한 군이다.그룹 곱셈의 부드러움

$\displaystyle \mu : G\times G\quad \mu (x,y)=xy}$

μ는 제품 다양체 G × G를 G로 매끄럽게 매핑하는 것을 의미한다.2가지 요건을 조합하여 매핑을 실시하기 위한1가지 요건과 조합할 수 있습니다.

${\displaystyle(x,y)\mapsto x^{-1}y}$

제품 매니폴드를 G로 매끄럽게 매핑합니다.

첫 번째 예

• 2×2 실역 행렬은 곱셈 아래의 군을 형성하며, GL(2, R) 또는 GL(R)로₂ 나타낸다.

$\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbf {R})=\left\{A=begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}:,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

이것은 4차원 비콤팩트 실거이 그룹입니다.${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 4$(\$^{$4$의 오픈 서브셋입니다.이 그룹은 절단되어 있습니다.이 그룹은 행렬식의 양수 값과 음수 값에 대응하는 2개의 연결된 성분이 있습니다.

• 회전 행렬은 SO(2, R)로 표시되는 GL(2, R)의 부분군을 형성합니다.그 자체로 Lie 그룹입니다.구체적으로는 원에 미동형인 1차원 콤팩트 커넥티드 Lie 그룹입니다.$(\displaystyle \varphi)$를 파라미터로 사용하여 다음과 같이 이 그룹을 파라미터화할 수 있습니다.

$\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R})=\left\{\cos \varphi &-\sin \varphi &\cos \varphi \end {pmatrix}:\varphi \in \mathbf {R} / 2 \pi {\pi}}$

각도의 덧셈은 SO(2, R)의 원소의 곱셈에 대응하고, 반대 각도를 취하는 것은 반전에 대응한다.따라서 곱셈과 반전 모두 미분 가능한 맵입니다.

• 1차원의 아핀 그룹은 2차원 매트릭스 Lie 그룹으로, 2 ${\displaystyle \times }$ (\$displaystyle$ 2$\times$2)실제$$ 삼각행렬로 $구성$됩니다.첫 번째 대각엔트리는 양의 대각엔트리, 두 번째 대각엔트리는 1입니다.따라서, 그룹은 형태의 행렬로 구성됩니다.

$\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&1\end{array}}\right),\quad a>0,b\in \mathbb {R} .}$

비예시

여기서 특정 토폴로지 하의 Lie 그룹이 아닌 셀 수 없는 수의 요소를 가진 그룹의 예를 제시하겠습니다.에 의해 주어진 그룹

$\displaystyle H=\left\{\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\e^{2\pi ia\theta}\end{theta}\right}\theta \in \mathbb {R}\light\mathbb {T}\twright}:,\twright}\twhetft {\t},\twh}\twright},\twhetft},\twhetpa\twea$

고정 무리수 R${\displaystyle q\mathbb{}}$Q {\$displaystyle$$$a$\in \mathbb {R}$ \$setminus$\$mathbb {Q}인$$$는 부분 공간 ^[3]토폴로지가 주어진 경우 Lie 그룹이 아닌 $Torus{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$의 $부분군$입니다.예를 들어 H$(디스플레이 스타일$ H$)$의$$점 H($디스플레이$ 스타일 U$)$의 작은 인근 U($디스플레이 스타일$ U)를$$ 예로 들면 U$(디스플레이 스타일$ U$)$의 H$(디스플레이 스타일$ H$)$ $부분$이 끊어집니다.$그룹{\displaystyle }$ H$(\displaystyle$ H$)$는 나선형의 이전 지점에 도달하지 않고 원환 주위를 반복적으로 돌며$,$ 따라서 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $2(\$displaystyle $\mathbb$ {$T}$$2$}})의 조밀한 하위 그룹을 형성합니다.

$단{\displaystyle }$, $그룹$H(\$displaystyle$ H$)$에는 다른 토폴로지를 지정할 수 있습니다.여기서 H(\$displaystyle$ $h_{1}, h_{2}\in$ H$)$의 2개 포인트h 1,${\displaystyle {}_{}{h2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle$ h_{1}, h_{2}\in H) 사이의 거리는 ${\displaystyle {그룹\mathrm{}}_{}}$$$H(\$displaystyle$ H$)$에서$$$\$style h_1})로$연결$되는 최단 경로의 길이로 정의됩니다.$le$ h_${2$ 이 토폴로지에서는 H$(\$$displaystyle H$$)$는 H$(\displaystyle$ H$)$의 정의에서$$각 요소를 $식별함$으로써 실선과 동형적으로 식별됩니다.이 토폴로지에서는$$H(\$displaystyle$H)는 단순히 추가되는 실수의 그룹입니다.리 그룹

$그룹{\displaystyle }$ H$(\displaystyle$ H$)$는 닫히지 않은 Lie 그룹의 "거짓말 하위 그룹"의 예입니다.기본 개념에 대한 섹션의 Lie 하위 그룹에 대한 아래 설명을 참조하십시오.

행렬 Lie 그룹

GL⁡(n, C){\displaystyle \operatorname{GL}(n,\mathbb{C})}를 의미한다 n×n{\displaystyle n\times의 스녀}C{\displaystyle \mathbb{C}에 참가 신청}과 가역 매트릭스. 방금 ⁡(n, C){\displaystyle \operatorname{GL}(n,\mathbb{C})의 모든 닫힌 서브 그룹}은 '리 그룹의 그룹인 것은[4] 그룹 o.자ft그의 부류는 매트릭스 리 그룹이라고 불립니다.리 그룹의 흥미로운 예들은 대부분 매트릭스 리 그룹으로 실현될 수 있기 때문에, 홀,^[5] 로스만,^[6] 스틸웰을 ^[7]포함한 일부 교과서는 이 수업에 대한 관심을 제한한다.행렬 Lie 그룹으로 주의를 제한하면 Lie 대수와 지수 맵의 정의를 단순화할 수 있습니다.다음은 행렬 Lie 그룹의 표준 예입니다.

• R$(\$$})$ $및{\displaystyle \mathbb{}}$ C$(\$ $(n,\mathbb {$$R})$$$및$$ $(n$ $위의 특수$ 선형 그룹.minant 1 및 R$${\$displaystyle \mathbb {R}$ $또는$ C {\$displaystyle \mathbb {C}$의 $엔트리{\displaystyle \mathbb{}}$
• $유니터리$ 그룹과 특수 유니터리 그룹${\displaystyle ,}$ $U{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$ $)\displaystyle\$text${$$U}}(n$$)$ 및 $)\displaystyle\text{$$SU}}(n$는 U${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ $=$ ${\displaystyle {\mathrm{U}}^{}}$ -$$1 { $displaystyle$ U^ { * * } = U$^$ { -$1$$$} (${\displaystyle SU}$$)$의 ${\displaystyle \text{경우}}$ det${\displaystyle (U)}$ $=$1 { $displaystyle \det(U$)=1}을 $만족$하는${\displaystyle }$n ×$$ { $displaystyle$n$\$$times$n }의$$복소 행렬로 $구성$됩니다.$SU}}(n$
• 직교 그룹과 특수 직교 그룹 $)$ {$displaystyle {O}}(n$$)$ 및 $)$ {$displaystyle {text}$$SO{\displaystyle {}^{}}$$}}(n$는 ${\displaystyle {\mathrm{R}}^{}}$ T ${\displaystyle {=}^{}}$ $-$1({\$mathrm$ {$T})을$만족하는 $$n ×$$$displaystyle$ n$\$$times$$$n})의 ${\displaystyle \text{실제}}$ 행렬로 $구성$됩니다(${\displaystyle \mathrm{표시}}$n의${\displaystyle }$경우 det${\displaystyle (R)}$ ${\displaystyle =}$ $1(표시$ $style \$$det(R$) $=$1$).$$SO}}(n$

위의 예들은 모두 고전파의 제목에 속한다.

관련 개념

복소 Lie 그룹은 실체가 아닌 복소 다지관(예: ${\displaystyle \mathrm{SL}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$) { $displaystyle \operatorname {SL}$ ($2,\mathbb {C})}$ ) 및 홀로모픽 맵을 사용하여 동일하게 정의됩니다.마찬가지로 Q$(\displaystyle \mathbb${Q$\})$의 대체 메트릭 완료를 사용하여 p-adic Lie 군을 p-adic 수치 위에 정의할 수 있으며, p-adic 다지관도 분석 p-adic 다지관이기 때문에 군 연산이 분석 가능하다.특히 각 점에는 p-adic 근방이 있습니다.

힐베르트의 다섯 번째 문제는 미분 가능한 다양체를 위상 또는 분석적인 다양체로 대체하면 새로운 예를 제시할 수 있는지 물었다.1952년 글리슨, 몽고메리, 지핀은 G가 연속적인 군 연산을 갖는 위상 다양체라면 G에 정확히 하나의 분석 구조가 존재하여 Lie 그룹으로 변한다는 것을 보여주었다(힐버트-스미스 추측 참조).기본 다양체가 무한 차원(예를 들어 힐버트 다양체)이 되도록 허용되면 무한 차원 거짓말 그룹의 개념에 도달합니다.유한한 필드에 걸쳐 많은 Lie 그룹의 유추들을 정의할 수 있으며, 이것들은 유한한 단순 그룹의 예를 대부분 제공한다.

범주 이론의 언어는 Lie 그룹에 대한 간결한 정의를 제공합니다: Lie 그룹은 매끄러운 다양체의 범주에서 그룹 객체입니다.이는 Lie 그룹의 개념을 Lie 슈퍼그룹으로 일반화할 수 있기 때문에 중요합니다.이러한 범주적 관점은 또한 추가적인 요구사항이 있는 매끄러운 다양체의 범주에서 군 모양의 개체인 Lie 그룹, 즉 Lie groupoids의 다른 일반화로 이어진다.

토폴로지 정의

Lie 그룹은 (하우스도르프) 토폴로지 그룹으로 정의할 수 있으며, 항등 요소 근처에서 미분 가능한 ^[8]다양체를 참조하지 않고 변환 그룹처럼 보입니다.먼저 몰입 선형 Lie ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$을 일반 선형 그룹 GL${\displaystyle \delta }$ (${\displaystyle }$n ,${\displaystyle }$C )$${$displaystyle \operatorname {GL}(n,\mathbb {C}$ )의 하위 그룹 G로 정의한다.

1. G에 있는 ID 요소 e의 일부 근린 V의 경우 V의 토폴로지는 GL ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle n\mathbb{}}$ ,$$C ) { $displaystyle \operatorname {GL$} ($n$ , \$mathbb$$${$C}$ )의 서브스페이스 토폴로지이며 V는 GL ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle n}$ ,${\displaystyle C\mathbb{}}$) {$GL$} ( n , C ) { $displaystyle \operatorname${GL } ( \operatorname {GL $}$ )에서 닫힙니다.
2. G는 많아야 다수의 접속 컴포넌트를 가지고 있다.

(예를 들어 GL${\displaystyle \delta \mathbb{}}$ (${\displaystyle }$n${\displaystyle }$, C$$){$displaystyle$ \$operatorname${GL$}(n,\mathbb${C$\})\}$의 ${\displaystyle \mathrm{닫힌}}$ 서브그룹, 즉 매트릭스 Lie군이 위의 조건을 만족한다.)

그런 다음, Lie 그룹은 (1) 몰입형 선형 Lie 그룹에 대한 동일성 근처에서 국소적으로 동형이고 (2) 최대 셀 수 있을 정도로 많은 연결 구성요소를 갖는 위상 그룹으로 정의된다.토폴로지 정의 표시는 일반적인 정의와 동등하지만(초급 독자는 다음 내용을 생략해야 함) 대략 다음과 같이 이루어집니다.

1. 일반적인 다양체적 의미에서 Lie 군 G가 주어졌을 때, Lie 군-Lie 대수 대응(또는 Lie의 세 번째 정리의 버전)은 다음과 $같이{\displaystyle }$ 함몰된 Lie $부분군{\displaystyle {}^{}}$ G ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle \mathrm{GL}}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle n\mathbb{}}$,$$C ) \$display style$ G$'\subset$ \$operatorname {GL}$ ( n , \$mathbb {C$${\displaystyle {}^{}}$}) ${\displaystyle {}^{}}$를 구성한다$.$국소적으로 동형입니다.따라서 G는 위의 위상 정의를 만족한다.
2. 반대로 G를 상기 토폴로지적 의미의 Lie 군으로 하고, G와 국소적으로 동형인 몰입 선형 $Lie{\displaystyle {}^{}}$ 군 G$$δ(\$displaystyle$ G$')$를 선택한다.다음으로 닫힌 부분군 정리의 버전에 의해 G$$δ {$displaystyle$ G$'}$는 실해석 다양체이며, 국소적 동형성을 통해 G는 항등원소 근처의 다양체의 구조를 얻는다.하나는 G에 대한 군법칙이 공식 ^[9]멱급수에 의해 주어질 수 있다는 것을 보여준다. 따라서 군 연산은 실해석적이고 G 자체는 실해석적 다양체이다.

위상 정의는 두 개의 Lie 그룹이 위상 그룹으로 동형이면 Lie 그룹과 동형이라는 진술을 의미합니다.사실, 그것은 대체로 Lie 그룹의 위상이 군 법칙과 함께 군의 형상을 결정한다는 일반적인 원리를 기술하고 있다.

Lie 그룹의 다른 예

거짓말 그룹은 수학과 물리학 전반에 걸쳐 많이 발생한다.행렬 그룹 또는 대수 그룹은 (대략적으로) 행렬 그룹(예: 직교 및 심플렉틱 그룹)이며, 이러한 그룹은 Lie 그룹의 일반적인 예를 대부분 제공합니다.

치수 1과 치수 2

차원 1을 가진 연결된 Lie 그룹은 $실선{\displaystyle \mathbb{}}$ R$($$그룹$ 연산이 가산됨$)$과 절대값 1(그룹 연산이 곱셈임)의 복소수 원 $그룹{\displaystyle {}^{}}$ $({$$$S$^1})$뿐입니다$$.$(\$ S$^{1})$ $그룹$은 종종 U${\displaystyle (1})$ {$displaystyle$U(1)로 표기되며${\displaystyle ,}$ 1$$× ${\displaystyle 1}$(\$displaystyle$ 1$\times$1) 유니터리$$ $행렬$의 그룹입니다.

2차원에서는 단순히 연결된 그룹으로만 주의를 제한하면그것들은 리 대수에 의해 분류됩니다(동형사상까지) 2차원의 두 개의 리 대수가 있다.단순 연결된 관련 Lie 그룹은 R $(\$R$} ^{2})$이며($$그룹 연산은 벡터 덧셈), 차원 1의 아핀 그룹은 "$첫{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 번째 예"에서 설명하였다.

기타 예

• 그룹 SU(2)는 $1$을 갖는 2$$× ${\displaystyle 2(}$$디스플레이$ 스타일 2$\backslash$$times$2) 유니터리$$ $행렬$의 군입니다. 위상적으로 ${\displaystyle \text{SU}(}$2$)$는 \$displaystyle\text{$$SU}}(2)$는 3$({디스플레이 스타일$3)-$sphere$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$3({$디스플레이 스타일$ S$^{3$로, 그룹으로서 단위 4원소 그룹으로 식별될 수 있습니다.
• 하이젠베르크 그룹은 양자역학에서 중요한 역할을 하는 차원$3{\displaystyle \mathrm{}}$($디스플레이 스타일$3)의 연결된 무능력 라이 그룹입니다.
• 로렌츠 그룹은 민코프스키 공간의 선형 등각체의 6차원 Lie 군이다.
• 푸앵카레 그룹은 민코프스키 공간의 아핀 등각체의 10차원 리 군이다.
• G₂, F₄, E₆, E₇, E의₈ 예외적인 Lie 그룹은 14, 52, 78, 133, 248의 치수를 가집니다.A-B-C-D 시리즈의 단순 Lie 그룹과 함께 예외 그룹은 단순 Lie 그룹의 목록을 완성합니다.
• 심플렉틱 ${\displaystyle \text{그룹}}$Sp(${\displaystyle \mathrm{2n},}$ $)$ ${{displaystyle {Sp}(2n,\mathbb$${R})}$는 $(\displaystyle$ $2n\times$ 2n$\})$ $위$에 심플렉틱 형식을 유지하는 $모든{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle \times }$ $(\displaystyle$ 2n\$times$ 2n$)$ 행렬로 구성됩니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $그룹{\displaystyle \mathrm{}}$ 2n에 연결된 Lie ${\displaystyle n}$이 됩니다.

구성

기존 Lie 그룹에서 새로운 Lie 그룹을 형성하는 표준 방법은 다음과 같습니다.

• 두 개의 Lie 그룹의 산물은 Lie 그룹입니다.
• Lie 그룹의 위상적으로 닫힌 부분군은 Lie 그룹입니다.이것은 닫힌 부분군 정리 또는 카르탄의 정리라고 알려져 있다.
• 닫힌 정규 부분군의 Lie 그룹의 몫은 Lie 그룹입니다.
• 연결된 Lie 그룹의 범용 커버는 Lie 그룹입니다.예를 들어 $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$ R$(\$은 원 $그룹{\displaystyle {}^{}}$ $(\$ S$^{1$의 유니버설 커버입니다.실제로 미분 가능한 매니폴드의 커버도 다지관이지만 유니버설 커버를 지정함으로써 그룹(다른 구조와 호환됨)을 보증합니다.

관련 개념

Lie 그룹이 아닌 그룹의 예는 다음과 같습니다(단, 셀 수 있을 정도로 많은 요소를 가진 그룹은 이산 토폴로지를 가진 0차원 Lie 그룹으로 간주할 수 있다는 사소한 의미에서는 제외).

• 무한차원 실벡터 공간의 덧셈군이나 $다지관{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$에서 Lie$$군 G(\$displaystyle$$$G$},$ $(X,$ G$)$까지의 부드러운 함수 공간 등의 무한차원군은 유한차원 그룹이 아니다.ds.
• 필드의 무한 확장의 갈루아 그룹이나 p-adic 숫자의 가법 그룹과 같이 완전히 연결되지 않은 그룹도 있습니다.기본 공간이 실제 다양체가 아니기 때문에 Lie 그룹이 아닙니다.(이들 그룹 중 일부는 "p-adic Lie 그룹"입니다.)일반적으로 일부 양의 정수 n에 대해 R과 유사한ⁿ 국소 특성을 가진 토폴로지 그룹만 Lie 그룹이 될 수 있습니다(물론 이들은 미분 가능한 구조를 가져야 합니다).

기본 개념

Lie 그룹과 관련된 Lie 대수

모든 Lie 그룹에 대해 우리는 기본 벡터 공간이 항등 요소에서 Lie 그룹의 접선 공간이고 그룹의 국소 구조를 완전히 포착하는 Lie 대수를 연관시킬 수 있다.비공식적으로 우리는 리 대수의 요소들을 항등식에 "최종적으로" 가까운 그룹의 요소들로 생각할 수 있고, 리 대수의 리 괄호는 그러한 두 개의 극소수 원소의 정류자와 관련이 있다.추상적인 정의를 제시하기 전에 몇 가지 예를 제시하겠습니다.

• 벡터 공간ⁿ R의 Lie 대수는 다음과 같이 주어진 Lie 괄호와 함께 R이다ⁿ.
  [A, B] = 0 。
  (일반적으로 연결된 Lie 그룹의 Lie 브래킷은 Lie 그룹이 아벨리안인 경우에만 항상 0입니다.)
• 가역 행렬의 일반 선형군 GL(n, C)의 Lie 대수는 다음과 같이 주어진 Lie 괄호와 함께 정사각형 행렬의 벡터 공간 M(n, C)이다.
  [A, B] = AB - BA
• 만약 G가 GL(n, C)의 닫힌 부분군이라면, G의 Lie 대수는 비공식적으로 M(n, C)의 행렬 m으로 생각할 수 있다. 여기서 θ는 θ² = 0인 극소수이다(물론 그러한 실수 θ는 존재하지 않는다).예를 들어, 직교군 O(n, R)는 AA = 1인^T 행렬 A로 구성되므로, Lie 대수는 (1 + µm)(1 + µm)^T = 1인 행렬 m으로 구성되며, 이는 θ² = 0이기 때문에 m + m^T = 0에 해당한다.
• 위의 설명은 다음과 같이 보다 엄격하게 할 수 있습니다.GL(n, C)의 닫힌 부분군 G의 Lie 대수는 다음과 같이 계산될 수 있다.

${\displaystyle R}$의${\displaystyle }$모든 ${\displaystyle \text{t}}$에 ${\displaystyle \text{대해}}$ Lie ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle G}$ )${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle M}$( ${\displaystyle n\mathbb{}}$ ; C ) ${\displaystyle \exp }$（ ${\displaystyle t}$ X${\displaystyle }$）${\displaystyle \text{for}}$ G $、$ \$displaystyle$ \$operatorname${ $Lie$} ( G ) $=$ \ { X \$in$M ( n ; \$mathbb${ C } \ $text G }$ \$operatorname${$exp$}${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ G의 Lie 대수가 괄호${\displaystyle \mathrm{연산}}$[X$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$]$$ ${\displaystyle X}$Y - Y X {$displaystyle$ [X,Y$] =$ XY-YX$\}$^[11]에서 닫힌 실제 벡터 공간임을 알 수 있다.

위에 제시된 행렬 그룹에 대한 구체적인 정의는 작업하기 쉽지만 몇 가지 사소한 문제가 있습니다. 이를 사용하려면 먼저 행렬 그룹으로 Lie 그룹을 나타낼 필요가 있지만, 모든 Lie 그룹을 이러한 방식으로 나타낼 수 있는 것은 아니며,^[12] 심지어 Lie 대수가 우리가 사용하는 표현과 독립적이라는 것도 분명하지 않습니다.이러한 문제를 회피하기 위해 우리는 Lie 그룹의 Lie 대수의 일반적인 정의를 제공한다(4단계).

1. 매끄러운 매니폴드 M 위의 벡터장은 매니폴드 상의 매끄러운 함수의 고리의 유도 X로 생각할 수 있으며, 따라서 두 유도체의 Lie 괄호[X, Y] = XY - YX 아래에 Lie 대수를 형성할 수 있다.
2. G가 다지관 M에 매끄럽게 작용하는 군이면 벡터장에 작용하고, 이 군에서 고정된 벡터장의 벡터공간이 리 괄호 아래에 닫히므로 리 대수도 형성한다.
3. 우리는 매니폴드 M이 Lie 군 G의 기저 공간이고, G가 왼쪽 변환 L_g(h) = gh에 의해 G = M에 작용하는 경우에 이 구조를 적용한다.이것은 Lie 군에서 왼쪽 불변 벡터장(G의 모든 h에 대해 LX_g*h = X를_gh 만족하는 Li 필드, 여기서_g* L은 L의 미분_g)의 공간이 벡터장의 Lie 괄호 아래의 Lie 대수임을 보여준다.
4. Lie 그룹의 동일성에 있는 탄젠트 벡터는 다지관의 다른 점으로 좌변환함으로써 왼쪽 불변 벡터장으로 확장할 수 있다.구체적으로는 항등식에서 탄젠트 공간의 요소 v의 왼쪽 불변 확장이 v^_g = Lv로_g* 정의되는 벡터장이다.이는 왼쪽 불변 벡터 필드의 공간인 항등식에서의 탄젠트 공간_e TG를 식별하기 때문에 항등식에서의 탄젠트 공간을 G의 Lie 대수(일반적으로 $Fraktur{\displaystyle \mathfrak{}}$g로 표시됨)로 불리는 Lie 대수로 만듭니다$.{$ $display$$$style { $mathfrak {g}$ } $}$ 에서는 Lie 괄호를 사용합니다.$$ [v, w] = [v^, w^]_e에 의해 명시적으로 주어진다.

이 리 $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$(\$는 유한 차원이며 매니폴드 G와 같은 차원을 가진다.G의 Lie 대수는 G에서 "국소 동형"까지를 결정하며, 여기서 두 개의 Lie 그룹은 항등원소 근처에서 같으면 국소 동형이라고 한다.Lie 그룹에 대한 문제는 먼저 Lie 대수에 대한 해당 문제를 풀면 해결되며, 그 후 그룹에 대한 결과는 대개 쉽게 따라옵니다.예를 들어 단순 Lie 그룹은 일반적으로 해당 Lie 대수를 먼저 분류하여 분류한다.

우리는 또한 왼쪽 불변 벡터 필드 대신 오른쪽 불변 벡터 필드를 사용하여 T 위에_e Lie 대수 구조를 정의할 수 있다.G의 역맵은 오른쪽 불변 벡터장과 왼쪽 불변 벡터장을 식별하기 위해 사용될 수 있고, 접선_e 공간 T에서 -1로 작용하기 때문에 이것은 같은 Lie 대수로 이어진다.

T 위의_e Lie 대수 구조는 또한 다음과 같이 설명될 수 있다: 정류자 연산

(x, y) → xyxy⁻¹⁻¹

G × G는 (e, e)를 e로 보내므로, 그 도함수는 TG에서_e 쌍선형 연산을 산출한다.이 쌍선형 연산은 실제로는 제로 맵이지만, 2차 도함수는 탄젠트 공간의 적절한 식별 하에 Lie 괄호의 공리를 만족시키는 연산을 산출하며, 왼쪽 불변 벡터 필드를 통해 정의된 연산의 2배와 같습니다.

동형사상과 동형사상

G와 H가 Lie 군이면 Lie 군 동형 f : G → H는 매끄러운 군 동형이다.복소 Lie군의 경우, 이러한 동형사상은 홀모픽 맵이 되기 위해 필요하다.그러나 이러한 요구사항은 다소 엄격합니다. 실제 Lie 그룹 간의 모든 연속적인 동형사상은 (실제) ^[13]분석적인 것으로 판명되었습니다.

두 개의 Lie 동형사상의 구성은 다시 동형사상이며, 이러한 형태와 함께 모든 Lie 그룹의 클래스가 범주를 형성합니다.게다가, 모든 리 군 동형사상은 대응하는 리 대수 사이에 동형사상을 유도한다.${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \to }$ (\$displaystyle \phi \to$H )를$$ Lie 군 동형사상, $\varphi {\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle \phi$ _${*})$을 항등식에서 파생물로 한다.G와 H의 Li algebra를 항등 요소에서 접선 공간과 함께 식별하면, ${\$ _${*}}$는 대응하는 Li algebra 사이의 맵이다.

$(\displaystyle\phi_{*}\mathfrak {g}\to\mathfrak {h})$

이것은 Lie 대수의 동형사상(Lie 괄호를 보존하는 선형 맵)으로 판명되었습니다.범주 이론의 언어에서, 우리는 Lie 그룹의 범주에서 Lie 대수에 Lie 그룹을 보내고 Lie 그룹의 동형성을 항등식에서 그 도함수에 보내는 Lie 대수의 범주까지 공변 함수자를 가지고 있다.

만약 두 개의 Lie 군 사이에 반대가 Lie 군 동형사상인 생물적 동형사상이 존재한다면, 두 개의 Lie 군을 동형사상이라고 부른다.마찬가지로, 이것은 군 동형사상이기도 한 미분동형사상입니다.이상에 따르면 Lie $그룹{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ G$)$에서 Lie $그룹{\displaystyle }$H(\$displaystyle$ H$)$로의 연속 동형성은 Lie 그룹의 동형성이며, 이는 Lie 그룹 G(\$displaystyle$ H)가 비주사적인 경우에만 해당된다.

리 군 대 리 대수 동형

동형 라이 그룹은 필연적으로 동형 라이 대수를 가지고 있다; 그렇다면 리 그룹의 동형 클래스들이 리 대수의 동형 클래스들과 어떻게 관련이 있는지 물어보는 것이 타당하다.

이 방향의 첫 번째 결과는 리의 세 번째 정리이며, 모든 유한 차원, 실제 리 대수는 어떤 (선형) 리 군의 리 대수라는 것입니다.리의 세 번째 정리를 증명하는 한 가지 방법은 모든 유한 차원 실수 리 대수가 행렬 리 대수와 동형이라는 아도의 정리를 사용하는 것이다.한편, 모든 유한 차원 행렬 Lie 대수에 대해, 이 대수를 Lie ^[14]대수로 하는 선형 군( 행렬 Lie 군)이 있다.

반면, 동형 리 대수를 갖는 리 군들은 동형일 필요가 없다.게다가 이 결과는, 그룹이 접속되어 있다고 가정해도, 그대로입니다.달리 말하면, Lie 그룹의 전역 구조는 Lie 대수에 의해 결정되지 않습니다. 예를 들어 Z가 G의 중심에서 분리된 부분군이라면 G와 G/Z는 같은 Lie 대수를 가집니다(예: Lie 그룹의 표 참조).물리학에서 중요한 예로는 그룹 SU(2)와 SO(3)가 있다.이 두 그룹은 동형 라이 ^[15]대수를 가지지만 SU(2)는 단순히 연결되지만 SO(3)^[16]는 연결되지 않기 때문에 그룹 자체는 동형이 아니다.

한편, Lie 그룹을 단순하게 연결할 필요가 있는 경우, 글로벌 구조는 Lie 대수에 의해 결정됩니다.즉, 동형인 Lie 대수를 가진 단순하게 연결된 2개의 Lie 그룹은 ^[17]동형입니다(단순하게 연결된 Lie 그룹에 대한 자세한 내용은 다음 항 참조).그러므로 리의 세 번째 정리에 비추어, 우리는 유한 차원 실제 리 대수의 동형 클래스와 단순하게 연결된 리 군의 동형 클래스 사이에 일대일 대응이 있다고 말할 수 있다.

단순 연결된 Lie 그룹

Lie $그룹 G$는$G$의 $모든$ 루프를$G$의$$한 점까지 연속적으로 축소할 수 있는 경우 단순하게 연결된다고 하는데, 이 개념은 다음과 같은 결과를 가정하여 단순하게 연결되기 때문에 중요합니다.

정리:^[18]G$(\displaystyle$ G$)$와$$H(\$displaystyle$$$H$)$가 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$g(\$displaystyle$ {$mathfrak$${$$g$$})$와$$h$(\displaystyle$ f$:{\mathfrak${h$})$인 Lie 군이며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f\mathfrak{}}$: ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ $→$ h(\$displaystyle$ f:{\mathfrak {g$})\$rak {h})\h}\rak {h}\h}\$rightarrow}$가 Li$대수$의 동형이라고 $가정$합니다.G$(\displaystyle$ G$)$가 단순히 연결되어 있는 $경우{\displaystyle }$, ${\displaystyle {=}_{}}$ $(\displaystyle\phi:G\rightarrow$ H$)$라는 고유한 Li 그룹 동형성이 존재하며, $여기$서 $=$ $(\$$displaystyle\phi_{*}=$$f$$$$)$는 \$displaystyle의 차동형$입니다.

리의 세 번째 정리는 모든 유한 차원 실재 리 대수는 리 군의 리 대수라고 말한다.리의 세 번째 정리 및 이전 결과에 따르면 모든 유한 차원 실 리 대수는 단순히 연결된 유일한 리 군의 리 대수이다.

단순하게 연결된 그룹의 예로는 특수 유니터리 그룹 SU(2)가 있으며, 다지관으로서 3구체이다.반면, 회전 그룹 SO(3)는 단순하게 연결되어 있지 않습니다.(「SO(3)의 토폴로지」를 참조해 주세요).SO(3)가 단순하게 연결되어 있지 않은 것은 양자역학에서 정수 스핀과 반정수 스핀의 구별과 밀접하게 관련되어 있다.단순하게 연결된 다른 Lie 그룹의 예로는 특수 유니터리 그룹 SU(n), n$3 3$의 $스핀{\displaystyle }$ 그룹(회전 $그룹$의 이중 커버) Spin$($n$),$ 콤팩트 $심플렉틱$ 그룹 Sp(n)^[19] 등이 있다.

Lie 그룹이 단순히 연결되어 있는지 여부를 판단하는 방법은 Lie 그룹의 기본 그룹에 대한 기사에서 논의됩니다.

지수 지도

일반 $선형군{\displaystyle \mathrm{}}$ G ${\displaystyle \mathrm{L}}$(${\displaystyle }$n ;${\displaystyle C\mathbb{}}$)의 Lie $대수{\displaystyle \mathrm{}}$M ( ${\displaystyle n}$; ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ( \ $displaystyle$\ $mathrm$$$${ M$} ($n$ ; \ $mathbb${ $C }$ )에서 G ${\displaystyle \mathrm{L}}$(${\displaystyle }$\ $mathbb {$$C$$}$ ) ( $n$$$; \ $mathbb$ {$$GL$}$( n ; ${\displaystyle C\mathbb{}}$ )로의 지수 맵이력:

$\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}+{\frac {X^{3}}}{3!}}+\cdots }$

$행렬{\displaystyle }$ X$({displaystyle$X$\}).$ G$({displaystyle$G})가 ${\displaystyle \mathrm{G}}$ L$($ $)$의 닫힌 부분군({displaystyle \$mathrm {GL}(n;\mathbb {C$인$경우$, 지수 맵은 G({displaystyle$$G})의 Lie 대수를$$G$({$displaystyle$$G$\})$로 가져옴)의 모든 지수 그룹을 갖습니다.동일성에 $충분히$ 가까운$G의$모든 요소는 리 ^[20]대수의 행렬의 지수이다.

위의 정의는 사용하기 쉽지만 매트릭스 그룹이 아닌 Lie 그룹에 대해서는 정의되지 않으며 Lie 그룹의 지수 맵이 매트릭스 그룹으로서의 표현에 의존하지 않는지도 명확하지 않습니다.다음과 같이 모든 Lie 그룹에 적용되는 지수 맵의 보다 추상적인 정의를 사용하여 두 문제를 해결할 수 있습니다.

$G의$Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$($$즉,$ G에 대한 접선 공간)의 $벡터{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$ $X)(\$$displaystyle$G에$$ $대한{\displaystyle }$ 항등식)마다$$, ${\displaystyle R\mathbb{}}$ $(\displaystyle$ c$:\mathbbr) G$의 고유한 단일 파라미터 $부분군$이 있음을 증명한다.${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ ($0$ ) ${\displaystyle =}$ { $display style$ c ' ( 0 ) $= X$。c$${ $style$ c$$}가 1 파라미터$$ 서브그룹이라고 하는 것은 단순히$$c { $style$ c$}$가$$G { $displaystyle$ G$$}로의$$ $부드러운{\displaystyle }$ 맵임을 $의미$합니다.

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\}$

$모든{\displaystyle }$\$displaystyle$s $및$ t\displaystyle t에 적용됩니다.오른쪽에 있는 연산은$G$의 군 $곱셈$입니다$.$ 이 공식은 지수 함수에 유효한 공식과 형식적으로 유사하므로 정의가 정당화됩니다.

$\displaystyle \exp(X)=c(1)\ }$

이것을 지수 맵이라고 하며, Lie $g$를 Lie $그룹 G$에 매핑합니다$.$ $g의$$$0 $근방$과$G의$의$$근방 사이의 차이 동형을 제공합니다$.$지수맵은 실수(R$\$은 곱셈을 가진 양의 실수군의 Lie 대수이기 $때문$에)에 대한 지수함수의 일반화이다$($displaystyle$\mathbb$ {C$}$는 0이 아닌 복소수 w의 Lie 그룹의 Lie 대수이기 $때문$에).ih 곱셈) 및 ($M{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$,${\displaystyle R\mathbb{}}$) {$displaystyle$M ($n$ , \$mathbb {R}$ } } } 에는 정규 정류자가 있습니다) {displaystyle $\mathbb$ {$GL}$ (n$$, \$mathb${R$}$ )$$} 에는$$$$ 모든 가역 행렬의 Lie ${\displaystyle \mathrm{군}}$ G${\displaystyle }$L ( ${\displaystyle n\mathbb{}}$, R )의 Li (${\displaystyle }$n , R )의 L ( n , R )의 L) {${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ( n , R ) \$display$ 대수가 됩니다.

지수맵은$e$의 $일부{\displaystyle }$ $근방{\displaystyle }$N({$displaystyle$N$\})$에서 투영적이므로 그룹$G{\displaystyle }$({$displaystyle$G$\})$의 Lie 대수 무한소 생성 요소를 호출하는 것이 일반적입니다. N$({displaystyle$ N$})$에 $의해{\displaystyle }$ 생성된$G$({$displaystyle$ G$})$의 서브그룹은 항등식 구성요소이다.$(\displaystyle$ G$)$를 선택합니다.

지수 맵과 Lie 대수는 연결된 모든 Lie 그룹의 로컬 그룹 구조를 결정합니다.Baker-Campbell-Hausdorff 공식에 의해 다음과 같습니다$.$g\$displaystyle$ {$g}$의$$0 요소의 근방 U$\$$displaystyle$ U$\displaystyle$ U$\$$in$에는 $, Y$ U$\displaystyle XY$와 같이 존재합니다.

$\displaystyle \exp(X),\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}[,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}[,X,X,X]$

생략된 항이 알려져 있고 4개 이상의 원소로 이루어진 리 괄호가 포함되어 있습니다.X$(\displaystyle$ X$)$와 Y$(\displaystyle$ Y$)$가 통근하는 $경우{\displaystyle }$ 이 공식은 익숙한 지수 ${\displaystyle \mathrm{법칙}}$ exp ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle X}$) exp$$ (${\displaystyle Y}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \exp }$ $X$+$Y ）$ = \ $exp$ ($X$ + Y )로 감소합니다.

지수 지도는 리 군 동형사상과 관련이 있다.즉,${\displaystyle }$$\theta {\displaystyle {}_{}}$ : G ${\displaystyle \to }$ (\$displaystyle$$$\$phi : G$ \$to$H )가 Lie 군 동형사상이고${\displaystyle {}_{}\theta \mathfrak{}}$ : g$$ h (\$displaystyle$ \$phi$ _${*}:\mathfrak$ {$g})$에서 대응하는 Lie algegals의 유도맵인 경우, $모든{\displaystyle }$ $xdisplaystyle$ g$\$mathfrak {$h}$에 대하여

$\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).,}$

즉, 다음 도표가 ^{[Note 1]}일치합니다.

(요컨대 exp는 Lie 그룹의 카테고리에서 펑터 Lie에서 아이덴티티 펑터로 자연스럽게 변환된 것입니다.)

그룹이 연결되어 있는 경우에도 Lie 대수에서 Lie 그룹으로의 지수 맵이 항상 위에 있는 것은 아닙니다(단, 콤팩트 또는 제로 포텐트의 연결된 그룹에 대해서는 Lie 그룹에 매핑됩니다).예를 들어 SL(2, R)의 지수 맵은 투영적이지 않습니다.또한 지수 맵은 C Fréchet 공간에 모델링된^∞ 무한 차원(아래 참조) Lie 그룹에 대해 주관적이지도 않고, 심지어 0의 임의의 작은 근방에서 1의 해당 근방에 이르기까지 주관적이지도 않다.

거짓말 부분군

Lie $G$의 Lie $서브그룹{\displaystyle }$ H$($$Displaystyle$ H$)$는$$G($Displaystyle$ G$)$의 서브셋인 Lie 그룹이며 H($Displaystyle$ H$$$)$에서$G(Displaystyle$ G$)$까지의 포함 맵은 주입 몰입 및 그룹 동형이다.Cartan의 정리에 따르면$G의$ 부분군은 $G$의$$삽입된 Lie 부분군 즉, 포함 맵이 매끄러운 삽입이 되도록 G의 $삽입$된 Lie 부분군이 되는 독특한 매끄러운 구조를 허용한다.

비닫힘 부분군의 예는 많다. 예를 들어$G{\displaystyle }$(\$displaystyle$ G$)$를 치수 2 이상의 토러스라고 하고$$H(\$displaystyle$H)를 비이성 기울기의 단일 파라미터 부분군, 즉 G로 감기는 부분군으로 한다.${\displaystyle \mathrm{다음}}$으로${\displaystyle }$im(display) ${\displaystyle \to }$$$H(\$displaystyle$$\mathrm {im}(\varphi)=H$와 $함께{\displaystyle \mathrm{}}$ R ${\displaystyle \to }$G {\$mathbb {R}$ \$to$ G$}$가 있습니다. H$${$displaystyle$ H$}$의 닫힘은$G$에서 서브토르가 됩니다$.$

지수맵은 연결된 Lie $그룹 G$의 연결된 Lie 서브그룹과$G$의$$^[21]Lie 대수의 하위대수 사이에 일대일 대응관계를 나타내며, 일반적으로 하위대수에 대응하는 서브대수는 닫힌 서브대수가 아닙니다.닫힌 하위 그룹에 해당하는 하위 대수를 결정하는 G$(\displaystyle$ G$)$ $구조$에만 기초한 기준은 없다.

표현

리 그룹 연구의 중요한 측면 중 하나는 표현, 즉 벡터 공간에서 (선형적으로) 작용할 수 있는 방법이다.물리학에서 리 그룹은 종종 물리적 시스템의 대칭을 부호화합니다.이 대칭을 이용하여 시스템을 분석하는 방법은 종종 표현 이론을 통해 이루어집니다.$예$를 들어 양자역학에서 시간 독립형 슈뢰딩거 $방정식{\displaystyle \stackrel{}{}}$ H${\displaystyle \stackrel{}{}}$^ ^ ^ ^ ^ $E$ = $E （$ \ $displaystyle$$${ H } ） 。해밀턴 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ H$^\style$ {H$}$ = E\psi $\}$가 대칭으로 작용한다고 가정합니다.$e파{\displaystyle }$ 함수$${\(\$displaystyle \psi$ (이러한 시스템의 중요한 예로는 단일 구형 오비탈을 가진 수소 원자가 있습니다.이 가정은 솔루션 ${\(\displaystyle$ \psi$)$이 반드시 회전 불변 함수임을 의미하는 것은 아닙니다.오히려${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ ${\displaystyle H}$ ^ ^ ^ = ${\displaystyle E}$^ = E （ \ $displaystyle$\$hat$ { $H}$ \ $psi =$E \ psi$$）에$$ $대한{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 용액의 공간은 회전하에서는 불변함을 의미합니다(각 $고정값$의 E ^ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle E}$$$^ $displaystyle$ E$$）$$ 。따라서 이 공간은 SO(3)의 표현을 구성한다.이러한 표현은 분류되었고 분류는 문제의 상당한 단순화로 이어지며, 기본적으로 3차원 편미분 방정식을 1차원 상미분 방정식으로 변환한다.

연결된 콤팩트 Lie 그룹 K의 경우(방금 언급한 SO(3)의 경우를 포함)는 특히 ^[22]다루기 쉽다.이 경우, K의 모든 유한 차원 표현은 축소할 수 없는 표현의 직접 합으로 분해된다.축소할 수 없는 표현은 헤르만 바일(Hermann Weyl)에 의해 분류되었다.이 분류는 표현의 "가장 높은 가중치"를 기준으로 한다.이 분류는 반단순 리 대수의 표현 분류와 밀접한 관련이 있다.

또한 임의의 Lie 그룹의 단일 표현(일반적으로 무한 차원)을 연구할 수 있다(반드시 콤팩트할 필요는 없다).예를 들어, 그룹 SL(2,R) 및 그룹 Poincaré의 표현에 대해 비교적 간단한 명시적 설명을 제공할 수 있다.

분류

거짓말 그룹은 부드럽게 변화하는 대칭 패밀리로 생각될 수 있습니다.대칭의 예로는 축을 중심으로 한 회전이 있습니다.이해해야 할 것은 인근 변환을 연결하는 작은 각도의 회전과 같은 '작은' 변환의 특성입니다.이 구조를 포착하는 수학적 물체는 리 대수라고 불린다.Lie 그룹은 매끄러운 다양체이므로 정의할 수 있으며, 각 점의 접선 공간도 마찬가지입니다.

어떤 콤팩트 리 군(대략적으로 대칭이 유계 집합을 이루는 군)의 리 대수는 아벨리안 리 대수와 몇 가지 단순한 수의 리 대수의 직합으로 분해될 수 있다.아벨리안 리 대수의 구조는 수학적으로 흥미롭지 않다(Lie 괄호는 같은 0이기 때문에). 즉, 관심은 단순한 덧셈에 있다.그래서 질문이 생긴다: 콤팩트 그룹의 단순한 리 대수는 무엇인가?이들은 대부분 유클리드 공간의 대칭에 관한 간단한 설명이 있는 "고전적 리 대수_n"인_nnn 네 개의 무한족으로 분류된다.하지만 이들 가족 중 어느 쪽에도 속하지 않는 "예외적인 리 대수"도 5개뿐입니다.E는₈ 이것들 중 가장 크다.

리 그룹은 대수적 특성(단순, 반단순, 해결 가능, nilpotent, abelian), 연결성(연결 또는 단순 연결) 및 압축성에 따라 분류됩니다.

첫 번째 주요 결과는 Lewi 분해로, 간단히 연결된 모든 Lie 그룹은 해결 가능한 정규 부분군과 반단순 부분군의 반직접 곱이라는 것입니다.

• 연결된 콤팩트 라이 그룹은 모두 알려져 있다.원 그룹¹ S와 단순 콤팩트 라이 그룹(연결된 Dynkin 다이어그램에 해당)의 복사본 곱의 유한 중심 지수이다.
• 단순접속가능한 임의의 Li군은 어떤 등급의 가역상삼각행렬군의 닫힌 서브그룹과 동형상이며, 이러한 그룹의 유한차원 불가역표현은 모두 1차원이다.해결 가능한 그룹은 몇 가지 작은 차원을 제외하고는 분류하기 너무 복잡합니다.
• 단순접속된 임의의 nilpotent Lie군은 어떤 등급의 대각선상에 1을 갖는 가역상삼각행렬군의 닫힌 서브그룹과 동형상이며, 이러한 그룹의 유한차원 불가역표현은 모두 1차원이다.해결 가능한 그룹과 마찬가지로, 0가수 그룹은 너무 복잡해서 몇 가지 작은 차원을 제외하고는 분류할 수 없습니다.
• 단순 거짓말 그룹은 추상적인 그룹으로 단순하게 정의되기도 하고, 때로는 단순 거짓말 대수와 연결된 거짓말 그룹으로 정의되기도 합니다.예를 들어 SL(2, R)은 제2의 정의에서는 단순하지만 제1의 정의에서는 단순하지 않다.모두 분류되어 있습니다(어느 정의든 상관없습니다.
• 반단순 리 군은 리 대수가 단순한 ^[23]리 대수의 산물인 리 군이다.단순한 Lie 그룹 제품의 중심 확장입니다.

모든 Lie 그룹의 항등성분은 열린 정규 부분군이고, 몫 그룹은 이산형 그룹입니다.연결된 모든 Lie 그룹의 범용 커버는 단순 연결된 Lie 그룹이고, 반대로 연결된 모든 Lie 그룹은 단순 연결된 Lie 그룹의 몫입니다. 중앙의 이산 정규 부분군에 의한 단순 연결된 Lie 그룹의 몫입니다.모든 Lie 군 G는 다음과 같이 표준적인 방법으로 이산, 단순, 아벨 군으로 분해될 수 있다.기입하다

ID의_con 연결된 컴포넌트의 G

가장_sol 큰 연결된 정규 분해능 부분군에 대한 G

가장_nil 큰 연결 정규 영위 부분군에 대한 G

그래서 우리는 일련의 정상적인 부분군을 가지고 있다.

1 g_nil G g_sol G g_con G g G

그리고나서

G/G는_con 이산

G_con/G는_sol 단순 연결된 Lie 그룹의 제품의 중앙 확장입니다.

G_sol/G는_nil 아벨리안이다.연결된 아벨리안 리군은 R과 원군¹ S의 복사곱과 동형이다.

G_nil/1은 0이므로 상승 중심 급수는 모든 몫 아벨리안을 가집니다.

이를 통해 Lie 그룹에 대한 일부 문제(유니터리 표현 찾기 등)를 연결된 단순 그룹 및 더 작은 차원의 0% 및 해결 가능한 하위 그룹에 대해 동일한 문제로 줄일 수 있습니다.

• Lie 그룹의 미분형성 그룹은 Lie 그룹에 대해 횡단적으로 작용합니다.
• 모든 Lie 그룹은 병렬화 가능하며, 따라서 지향성 다양체(항등식에서의 탄젠트 공간과 함께 탄젠트 다발과 그 자신의 곱 사이에 다발 동형이 존재한다)

무한 차원 거짓말 그룹

리 그룹은 종종 유한 차원이라고 정의되지만, 무한 차원이라는 점을 제외하면 리 그룹과 닮은 그룹이 많습니다.무한 차원 거짓말 군을 정의하는 가장 간단한 방법은 바나흐 공간에서 그것들을 국소적으로 모델링하는 것이고, 이 경우 기본 이론의 대부분은 유한 차원 거짓말 군과 유사하다.그러나 무한 차원 거짓말 그룹의 많은 자연적인 예가 바나흐 다양체가 아니기 때문에 이것은 많은 응용 분야에 적합하지 않다.대신 보다 일반적인 로컬 볼록 위상 벡터 공간에 모델링된 Lie 그룹을 정의해야 합니다.이 경우, 리 대수와 리 군 사이의 관계는 다소 미묘해지고, 유한 차원 리 군들에 대한 몇 가지 결과는 더 이상 유지되지 않는다.

이 문헌은 어떤 무한 차원 그룹의 속성이 그룹에 Lie in Lie 그룹의 접두사를 붙이는지에 대해 완전히 통일된 용어는 아니다.리 대수의 측면에서 보면, 리 인 리 대수의 접두사 자격 기준은 순수하게 대수적이기 때문에 상황은 더 간단하다.예를 들어 무한 차원 Lie 대수는 대응하는 Lie 그룹을 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있습니다.즉, Lie 대수에 대응하는 그룹이 있을 수 있지만 Lie 그룹이라고 부르기에는 충분하지 않거나 그룹과 Lie 대수의 연결이 충분하지 않을 수 있습니다(예를 들어 지수 맵이 정체성의 근방에 있는 경우).그것은 보편적으로 정의되지 않은 "충분히 좋은" 것이다.

연구한 예는 다음과 같습니다.

• 다지관의 미분 동형의 그룹입니다.원의 미분형상 그룹에 대해 꽤 많은 것이 알려져 있다.그것의 리 대수는 위트 대수이며, 그의 중심 확장인 비라소로 대수는 2차원 등각장 이론의 대칭 대수이다.더 큰 치수의 콤팩트 다양체의 미분동형성 그룹은 정규 프레셰 리 군이다. 그 구조에 대해서는 거의 알려져 있지 않다.
• 시공간의 미분동형성군은 중력을 양자화하려는 시도로 나타나기도 한다.
• 다양체에서 유한 차원 Lie 군으로의 매끄러운 지도의 그룹은 게이지 군의 한 예이며(점 단위 곱셈의 연산을 포함), 양자장 이론과 도널드슨 이론에 사용된다.다양체가 원이라면 이들은 루프군이라고 불리며, 중심 확장은 리 대수가 Kac-Moody 대수가 된다.
• 일반 선형 그룹, 직교 그룹 ^[24]등의 무한 차원 유사물이 있습니다.한 가지 중요한 측면은 이것들이 단순한 위상 특성을 가질 수 있다는 것입니다. 예를 들어 카이퍼의 정리를 참조하십시오.예를 들어 M이론에서는 N이 무한이 되면 10차원 SU(N) 게이지 이론이 11차원 이론이 된다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

설명 메모

인용문

레퍼런스

외부 링크

• Wikimedia Commons의 Lie 그룹 관련 미디어