베타 직사각형 분포

베타 직사각형

확률밀도함수
누적분포함수
파라미터	α> { $displaystyle \alpha$> $0$} 도형(실제) β> { $displaystyle \ scape$ > $0$}형상(실제) < < \ $displaystyle$ 0 < \ $theta$<$1$}혼합 파라미터
지지하다	$(*displaystyle x\in (a,b)\!}$
PDF	${\displaystyle {\begin{case}{\frac \Gamma (\alpha +\beta )}{\frac {(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\alpha +\beta + 1}{\frac} {\frac}$
CDF	$(\displaystyle { begin { case }x\leq a\\\theta I_{z}(\alpha,\beta)+{\frac {(1-\theta)(x-a)}})&{\text {\in [a,b]\text {x})$ $여기$서 z $=$ (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$/ (${\displaystyle b}$ -${\displaystyle a}$) {$displaystyle$ z=($x-a)/(b-a)}$
의미하다	$({displaystyle a+(b-a)\leftfrac {\theta \alpha }{\theta +\flac }}+{\frac {1-\theta }{2}}\right})$
분산	${\displaystyle (}$ ${\displaystyle b}$-${\displaystyle {}^{}a}$ )${\displaystyle {}^{}\frac{}{}}$ ( ${\displaystyle \frac{\alpha \alpha }{}}$(${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha }}{}}$ +${\displaystyle \frac{}{}}$1)${\displaystyle \frac{}{}}$k (${\displaystyle \frac{k}{}}$ +${\displaystyle \frac{}{}\frac{1}{}}$ ) +${\displaystyle \frac{}{}1\frac{\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 3${\displaystyle }$-${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{k}{}}$ +$$ ${\displaystyle \frac{2^{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ )$$( $display$ style ( b - a )^{2$}$ \ $left$\ $frac$\ frac \ $theta$、 \ $alpha$( \$1$ ) } + {$k$ + $1$\ $ta$ }$}$ )$\alpha +\internal }$

확률 이론과 통계학에서, 베타 직사각형 분포는 베타 분포와 연속 균일한 분포의 유한 혼합물 분포인 확률 분포입니다.이 분포에 대한 지원은 파라미터 a와 파라미터 b로 나타나며 각각 최소값과 최대값입니다.분포는 베타 분포에 대한 대안을 제공하여 제한된 ^[1]지지 간격의 극단에서 더 많은 밀도를 배치할 수 있도록 합니다.따라서 특이치가 베타 분포보다 발생할 확률이 더 높은 유계 분포입니다.

정의.

확률밀도함수

베타 분포의 매개변수가 α 및 β이고 혼합물 매개변수가 θ이면 베타 직사각형 분포는 확률 밀도^{[citation needed]} 함수를 갖는다.

$(\displaystyle p(x \alpha , \theta , \theta )=case {\frac {\theta \Gamma (\alpha )\Gamma (\gamma )}{\frac {(x-a)^{\hta (b-x)^{\gampa +1})$

여기서 $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$($$ ) {$style \Gamma$( \$cdot$)}는$$ 감마 함수입니다.

누적분포함수

누적 분포 함수는^{[citation needed]} 다음과 같습니다.

$\displaystyle F(x \alpha , \theta )=\theta I_{z}(\theta )+{\frac {(1-\theta)(x-a)}\display \leq \mathrm {for}\leq,}$

$여기$서 z ${\displaystyle ={\displaystyle \frac{}{}}x{\displaystyle \frac{}{}}}$ - ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{}}}$ - ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{}}}$ \$displaystyle$ z = a$\$ {$b-a}}$ $및$ ${\displaystyle I_{}}$z (${\displaystyle \alpha ,}$β$)$ {$displaystyle I_{z}(\$alpha$,\display)$는 정규화된 불완전 베타 함수이다.

적용들

프로젝트 관리

베타 분포의 PERT 분포 변동은 활동의 완료 시간 분포를 특징짓기 위해 PERT, Critical Path Method(CPM) ^[2]및 기타 프로젝트 관리 방법론에서 자주 사용됩니다.

PERT에서 PERT 분포 모수에 대한 제한은 베타 분포의 평균 및 표준 편차에 대한 속기 계산으로 이어집니다.

${\displaystyle\begin{aligned}E(x)&{}=440 frac {a+4m+b}{6}}\\\operatorname {Var}(x)&{}=parcfrac {(b-a)^{2}}}{36}\end{aligned}}$

여기서 a는 최소값, b는 최대값, m은 모드 또는 가장 가능성이 높은 값입니다.단, 분산은 범위에 따라 일정한 조건으로 나타납니다.그 결과 프로젝트 관리자가 활동 시간에 대해 가질 수 있는 다양한 수준의 불확실성을 표현할 수 있는 범위가 없습니다.

베타 직사각형의 확실도 매개변수 θ를 도출함으로써 프로젝트 관리자는 직사각형 분포를 통합하고 θ를 1 미만으로 지정함으로써 불확실성을 높일 수 있다.위의 기대 공식은 다음과 같습니다.

$({displaystyle E(x)=snarfrac(a+4m+b)+3(1-\theta)(a+b)}{6}).}$

프로젝트 관리자가 표준 PERT 조건에서 베타 분포가 대칭이라고 가정할 경우 분산은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Var}(x)=parfrac {(b-a)^{2}(3-2\theta)}{36}}$

반면 비대칭의 경우는 그렇다.

${\displaystyle \operatorname {Var}(x)=frac {(b-a)^{2}(3-2\theta ^{2})}{36}.}$

이제 불확실성이 더 클 때 분산이 증가할 수 있습니다.그러나 프로젝트 관리자의 판단에 따라 베타 배포가 적용될 수 있습니다.

베타 직사각형은 프로젝트 관리 측면에서 균일한 양면 전력 분배 및 균일한 일반화 2파라볼릭 분포와 비교되어 왔습니다.베타 직사각형은 그에 ^[3]비해 분산이 더 크고 첨도가 더 작습니다.

소득분배

베타 직사각형 분포는 미국의 소득 데이터에 ^[4]적합할 때 높아진 양면 검정력 분포와 비교되었다.5-모수 상승된 양면 검정력 분포는 일부 하위 모집단에 더 적합하고, 3-모수 베타 직사각형은 다른 하위 모집단에 더 적합한 것으로 나타났다.

레퍼런스