다변량안정분포

다변량 안정제

확률밀도함수 α = 1.1인 다변량(이변량) 안정적인 분포를 보여주는 열 지도
매개변수	${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \in }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,2])$ —$$ 지수 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\$$d}}$ - shift/위치 벡터 ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \Lambda (s)}$ $$- 구체의 스펙트럼 유한 측정
지원	$\mathb {R} ^{d}}}$
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분산	< ${\displaystyle \alpha <2}$일 때 무한대
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다변량 안정 분포는 일변량 안정 분포의 다변량 일반화인 다변량 확률 분포다.다변량 안정적인 분포는 안정적인 분포 여유 사이의 선형 관계를 정의한다.^{[clarification needed]}일변량 사례와 같은 방식으로 분포는 특성 함수에 따라 정의된다.null

다변량 안정 분포는 다변량 정규 분포의 확장이라고도 생각할 수 있다.매개변수 α를 가지고 있는데, 이는 0 < α α α 2 범위에 걸쳐 정의되며, 여기서 사례 α = 2는 다변량 정규 분포와 동등하다.다변량 정규 분포가 대칭인 비대칭 분포를 허용하는 추가 스큐 모수를 가지고 있다.null

정의

Let ${\displaystyle \mathbb {S} }$ be the unit sphere in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\colon \mathbb {S} =\{u\in \mathbb {R} ^{d}\colon u =1\}}$. A random vector, ${\displaystyle X}$, has a multivariate stable distribution - denoted as ${\displa$$ystyle X\sim S(\alpha ,\Lambda ,\delta )}$ $$- $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 공동 특성 함수가 다음과$$^[1] 같은 경우

${\displaystyle \operatorname {E} \exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\int \limits _{s\in \mathbb {S} }\left\{ u^{T}s ^{\alpha }+i\nu (u^{T}s,\alpha )\right\}\,\Lambda (ds)+iu^{T}\delta \right\}}$

여기서 0 < α < 2 ${\displaystyle 그리고\mathbb{}}$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$에 대해.

${\displaystyle \nu(y,\pi )={\mathbf {sign}-\mathbf {sign}(y)\tan(\pi \alpha /2) y ^{\neq 1,\(2/\pi )y &\nns=1.\end{case}}}$

이는 본질적으로 펠드하임의 결과로서,^[2] 모든 안정적 무작위 벡터는 스펙트럼 측정 ${\displaystyle \Lambda }($$S{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 유한 측정값$)$과 시프트 벡터 $\Delta {\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$data \in \r}{d$

투영을 이용한 파라메트리징

안정적인 무작위 벡터를 설명하는 또 다른 방법은 투영에 있다.벡터 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 대해$$투영 ${\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle u^{$$T}X}$은(는) 일변량 $\alpha {\displaystyle }$- ${\displaystyle \alpha -}$ 안정적이며$$ 일부 왜도 $\beta {\displaystyle }$(u ${\displaystyle \beta(u)},$척도 $scale{\displaystyle (u)}$ ${\$$displaysty \gamma(u$$)},$ 일부$$ 시프트 $\Delta {\displaystyle (u})$가 있다$.$The notation ${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$ is used if X is stable with ${\displaystyle u^{$$모든$ ${\displaystyle {}^{}}$에${\displaystyle {}^{}}$ T$}X\sim s(\alpha ,\cdot$ $),\$$gamma(\cdot$ $),\delta(\cdot$ $)\}.$이것을 투영 파라미터화라고 한다.null

스펙트럼 측정은 투영 파라미터 기능을 다음과 같이 결정한다.

${\displaystyle \gamma (u)={\bigl (}\int _{s\in \mathb {S} u^{{\alpha }s ^{\lambda (ds){\Bigr )}^{1/\alpha }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \beta(u)=\int _{s\in \mathb {S} u^{T}s ^{\mathbf {sign}(u^{T}s)\lambda(ds)/\gamma(u)^{\alpha }}}}}}}}}$

${\displaystyle \property(u)={\display{case}u^{presT}\delta &\alpha \neq 1\\u^{T}\delta -\int _{s\in \mathb {S}{{\tfrac {\pi}{2}}u^{{}}T}s\ln u^{T}s \Lambda(ds)&\알파 =1\end{case}}$

특례

다변량 특성 함수가 보다 단순한 형태를 취하는 특별한 경우가 있다.안정적 주변부의 특성 함수를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \omega (y \alpha ,\beta )={\begin{cases} y ^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}})\mathbf {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\ y \left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\mathbf {sign} (y)\ln y \right]&\alpha =1\end{cases}}}$

등방성 다변량 안정적인 분포

특성 함수는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {iu}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= exp${\displaystyle \exp }$ {${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \alpha {}_{}^{}{}^{}}$ + ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{})\}}$ ${\displaystyle$ E$\exp(iu^{T}X)=\exp\{-\$gamma$_{0$}^{0}^{\alpha $} ^{{{}}}}$ u u u^{{}}}}}}}} u^\$alpha$ }i^{ni$^{}{}{{}}}}}{{{{}}}}$$T$$}\delta )\}$ 스펙트럼 측정은 연속적이고 균일하며 방사상/등방성 대칭으로 이어진다.^[3]다항 사례 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \alpha =2}$의 경우$,$ 이것은 독립 구성 요소에 해당하지만, < ${\displaystyle \alpha <2}.$Equotropy는 타원성의 특별한 경우(다음 단락 참조) - – ${\displaystyle \Sigma }$을 ID 매트릭스의 $배수로{\displaystyle \mathrm{}}$ 선택한다$$.null

타원곡선 다변량 안정적인 분포

타원곡선 다변량 안정 분포는 다변량 안정 분포의 특수한 대칭 사례다.If X is α-stable and elliptically contoured, then it has joint characteristic function ${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)^{\alpha /2}+iu^{$$T$}\delta ${\displaystyle )\backslash \}}$일부 시프트 벡터 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ d$${\d$}{\d$ 스타일 $\dd}($존재할 때의 $평균$과 동일)$$$$및 일부 양수 행렬 $matrix{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\display$ style $\Sigma}($상호관계의 일반적인 정의가 의미 있는 것은 아니지만 상관 행렬에 해당)에$$ 대한 것이다$.$$$다변량 정규 분포의 특성 함수와의 관계를 $참고$하십시오. ${\displaystyle E}$ e exp ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$X${\displaystyle }$) = ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }${ ${\displaystyle -}$ (${\displaystyle u^{}}$ T ${\displaystyle u}$u${\displaystyle }$) + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle )}$} ${\displaystyle E\exp(iu^{T$}X$)=\ expxp\{-(u^{T$}\$Sigma u$)+i$^{$i^{i^.α = 2일 때$$ 얻은 T$}\delta )\}$

독립 구성 요소

$여백$은 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$~$S$(${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $Δ$ $)$와$독립적이며, 그 다음 특징적$인 함수는 $다음$과 같다$.$

${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega(u_{j} \alpha,\beta _{j}\j}\gamma _{j}}^{j}}}}}\alpha }+iu^{}T}\delta )\오른쪽\}$

α = 2가 다변량 정상으로 다시 감소하는 것을 관찰한다. α < 2가 되면 iid 케이스와 등방성 케이스가 일치하지 않는다는 점에 유의한다.독립형 구성 요소는 표준 단위 벡터에 의해 지원되는 스펙트럼 측정으로 이산 스펙트럼 측정의 특별한 경우(다음 단락 참조)이다.null

α = 1로 다변량(이변량) 독립적 안정 분포를 보여주는 열 지도

α = 2로 다변량(이변량) 독립 안정 분포를 보여주는 열 지도

이산형

$s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S\mathbb{}}$, ${\displaystyle j}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$m ${\$$displaystyle$$s_{j}\in \mathb {S} ,j=1,\ldots}$에서 스펙트럼$$ 측정이 질량 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ j ${\$$displaystyle$ s_${$$j$}와 이산인 경우, 특성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega(u^{^}T}s_{j} \알파 ,1)\lambda _{j}^{\j}^{\알파 }+iu^{T}\delta )\오른쪽\}$

선형 특성

If ${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$ is d-dimensional, A is an m x d matrix, and ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m},}$ then AX + b is m-dimensional ${\displaystyle \alpha }$-stable with scale function ${\displaystyle \gamma (A^T\cdot )}$${\displaystyle \gamma (A^{T}\cdot ),}$ skewness function ${\displaystyle \beta (A^{T}\cdot ),}$ and location function ${\displaystyle \delta (A^{T}\cdot )+b^{T}.$$}$

독립 구성요소 모델의 추론

최근^[4] 독립적 요소 모델을 포함하는 선형 모형(또는 동등하게 요인 분석 모델)에서 폐쇄형 형태의 추론을 계산하는 방법을 보여 주었다.null

More specifically, let ${\displaystyle X_{i}\sim S(\alpha ,\beta _{x_{i}},\gamma _{x_{i}},\delta _{x_{i}}),i=1,\ldots ,n}$ be a set of i.i.d. unobserved univariate drawn from a stable distribution.$크기{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$× ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$ n$\}$의 알려진 선형 관계 매트릭스 A에 따라 ${\displaystyle {관측치}_{}\underset{}{\overset{}{\mathrm{Yi}}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$A_{ij}X_{j}}$ are assumed to be distributed as a convolution of the hidden factors ${\displaystyle X_{i}}$. ${\displaystyle Y_{i}=S(\alpha ,\beta _{y_{i}},\gamma _{y_{i}},\delta _{y_{i}})}$.추론 작업은 선형 관계 행렬 A와 관측치 ${\displaystyle Y_{}}$ i ${\$에 따라 가장 가능성이 높은 X ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 계산하는 것이다$.$이 작업은 O(n³)의 폐쇄형 형태로 계산할 수 있다.null

이 구조의 적용은 안정적인 가우스 노이즈가 없는 다중 사용자 검출이다.null

참고 항목

• 다변량 코치 분포
• 다변량 정규 분포

자원.

• 마크 베일렛의 안정적인 유통매트랩 패키지 http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
• 이 페이지에 있는 플롯은 Danny Bickson의 선입견 모델 Matlab 패키지에 대한 추론을 사용하여 플롯: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/properties

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