로그 코치 분포

로그코치

확률밀도함수
누적분포함수
파라미터	${\displaystyle \mu }${\$displaystyle \mu$}($$실제) $>$ $0$ \$displaystyle$\ $displaystyle$ \ $displaystyle >$ 0 \ ! } ()
지지하다	$\displaystyle x\in (0,+\infty)\!}$
PDF	${\displaystyle {1 \over x\pi } \left[{\display \over (\ln x-\mu )^{2}+\display ^{2}}\right], \x>0}$
CDF	${\displaystyle {1}{\pi }}\arctan \leftfrac {\flac }{\flac }}\right}+{\frac {1}{2},\x>0}$
의미하다	인피니트
중앙값	${\displaystyle e^{\mu },}$
분산	인피니트
왜도	존재하지 않는다
예: 첨도	존재하지 않는다
MGF	존재하지 않는다

확률론에서 로그-코시 분포는 코시 분포에 따라 로그가 분포되는 랜덤 변수의 확률 분포입니다.X가 코시 분포를 갖는 변량 변수이면 Y = exp(X)는 로그 코시 분포를 가지며, 마찬가지로 Y가 로그 코시 분포를 가지면 X = 로그(Y)는 코시 ^[1]분포를 갖습니다.

특성화

로그-코치 분포는 자유도 모수가 ^[2]1인 로그-t 분포의 특수한 경우입니다.

확률밀도함수

로그-코치 분포에는 확률 밀도 함수가 있습니다.

${\displaystyle {displaystyle {x;\mu,\display}f(x;\mu})&={1\over x\pi }{\displaystyle \x\pi \left\frac {\ln x-\flac },\x>0\&={1 \over x\mu }\right}, \ln$

어디μ{\displaystyle \mu}은 진짜 번호와σ>0{\displaystyle \sigma>0}.[1][3]만약 σ{\displaystyle \sigma} 알려져 있으므로, 척도 모수는 e({\displaystyle e^{\mu}}μ{\displaystyle \mu}과 위치는 매개 변수와 규모 paramet에σ{\displaystyle \sigma}해당한다 .[1].그 assoc의 어이전 코치 배포.^[1][4]일부 저자는 로그 코치 ^[4]분포의 위치 및 척도 매개변수로$$μ(\$displaystyle\sigma)$와$\mu {\displaystyle }$(\$displaystyle\sigma)$를 각각 $정의$합니다.

표준 코시 ${\displaystyle \mathrm{분포}}$에 해당하는 μ ${\displaystyle =}$0 {\$displaystyle \mu$=$0}$$$및$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle \display =1}$의 경우 확률 밀도 함수는 다음과 같이 ^[5]감소합니다.

${\displaystyle f(x;0,1)=snfrac {1}{x\pi(1+(\ln x)^{2}}},\\x>0}$

누적분포함수

μ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$\$mu$=$0$} 및$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ \ $displaystyle = 1$)일 때의 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.^[5]

${\displaystyle F(x;0,1)=frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\x>0}$

서바이벌

μ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle \mu$=$0}$ 및$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ \$displaystyle = 1$)일 때의 생존 함수는 다음과 같습니다.^[5]

${\displaystyle S(x;0,1)=blac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\x>0}$

위험률

μ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle \mu$=$0}$ 및$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ \$displaystyle = 1$)일 $때$의 위험률은 다음과 같습니다.^[5]

$\displaystyle \arctan(x;0,1)=\left\frac {1}{x\pi \left(1+\left(\ln x\right)^2}\right}}\frac {1}-{\arctan(\ln x)\right},\frac {1},\frac {{1},\right}, \frac {1}, {1}, {{0}, {\}, 0}, {\pi}, {\pi}, {\pi}, \pi}, \pi}, \pi,$

위험률은 분포의 시작과 끝에서 감소하지만, 위험률이 ^[5]증가하는 간격이 있을 수 있다.

특성.

로그-코치 분포는 두꺼운 꼬리 ^[6]분포의 한 예입니다.일부 저자들은 이것이 파레토 분포형 무거운 꼬리보다 무거운 꼬리를 가지고 있기 때문에 "초중량 꼬리"^[6][7] 분포로 간주한다. 즉, 로그적으로 부패하는 꼬리를 가지고 있다.코시 분포와 마찬가지로 로그 코시 분포의 사소한 모멘트는 ^[5]유한하지 않습니다.평균은 모멘트이므로 로그-코치 분포에는 정의된 평균 또는 표준 ^[8][9]편차가 없습니다.

로그-코치 분포는 일부 모수에 대해서는 무한히 분할할 수 있지만 다른 ^[10]모수에 대해서는 분할할 수 없습니다.로그 정규 분포, 로그-t 또는 로그-학생 분포 및 Weibull 분포와 마찬가지로 로그-코치 분포는 두 번째 ^[11][12]종류의 일반화 베타 분포의 특수한 경우입니다.로그-코치는 실제로 로그-t 분포의 특수한 경우이며, 코치 분포가 1 ^[13][14]자유도를 갖는 학생의 t 분포의 특수한 경우인 것과 유사합니다.

코치 분포는 안정적인 분포이므로 로그 코치 분포는 로그 안정 분포입니다.^[15]로그 안정 분포의 극은 x=0입니다.^[14]

모수 추정

표본의 자연대수의 중앙값은$$μ(\$displaystyle \mu$^[1]의 로버스트 추정치이며 표본의 자연대수의 중앙값 절대편차는$\mu {\displaystyle }$(\$displaystyle \sigma$^[1]의 로버스트 추정치이다.

사용하다

베이지안 통계에서 로그-코치 분포를 사용하여 부적절한 제프리스-홀단 밀도 1/k를 근사할 수 있으며, k는 추정되는 양의 ^[16][17]모수인 k에 대한 사전 분포로 제시되기도 한다.로그-코치 분포를 사용하여 유의한 특이치 또는 극단적 결과가 ^[3][4][18]발생할 수 있는 특정 생존 공정을 모형화할 수 있습니다.로그 코치 분포가 적절한 모델일 수 있는 과정의 예로는 누군가가 HIV에 감염되고 나서 그 질병의 증상을 보이는 시간이 있는데,^[4] 이것은 어떤 사람들에게는 매우 긴 것일 수 있다.그것은 또한 종의 풍부함 ^[19]패턴의 모델로 제안되었다.

레퍼런스