q-가우스 분포

q-가우스어

확률밀도함수
매개변수	< ${\displaystyle q<3}$ 모양(실제) > ${\displaystyle \property >0}($실제)
지원	${\displaystyle }$${\displaystyle }$∈${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$;${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$(-\inflt$;+\inflt )\!}$ 1< ${\displaystyle 1\leq<3}$ ${\displaystyle q}$<${\displaystyle }$ $displaystyle q$}의$$경우$$ \displaystyle x\$in \left[\pm {1\sq)}}\right]}($으)로${\displaystyle }$ <1 ${\displaysty q<1$}
PDF	${\displaystyle {{\sqrt{\beta }} \over C_{q}e_{q}({-\beta x^{2}})}$
평균	<의 {\$displaystyle 0{\text{ for }}q<2$}의 경우 그렇지 않으면 정의되지 않음
중앙값	${\displaystyle 0}$
모드	${\displaystyle 0}$
분산	${\displaystyle{1\over{\cHB (5-3q)}}}{\text{{}}{}q<{5\over3}}}}}}$ ${\displaystyle \inflt{\text{{}}{5 \over 3}\leq q<2}$ ${\displaystyle {\text{{{{{2}\leq q<3}에 대해 정의되지 않음$
왜도	${\displaystyle 0{\text{} for }q<{3 \{{3 \over2}}:$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle 6{q-1 \over 7-5q}{\text{{}}{}}}}}{}q<{7 \over 5.}}}의 경우$

q-Gaussian은 적절한 제약조건 하에서 Tsallis 엔트로피의 최대화에 의해 발생하는 확률분포다.그것은 찰리스 분포의 한 예다.q-Gaussian은 샬리스 엔트로피가 표준 볼츠만-기브스 엔트로피 또는 샤논 엔트로피와 같은 방식으로 가우스 엔트로피를 일반화한 것이다.^[1]정상 분포는 q → 1로 회복된다.

q-Gaussian은 통계역학, 지질학, 해부학, 천문학, 경제학, 금융, 기계학습 분야의 문제에 적용되어 왔다.분포는 종종 1 < q < 3의 가우스인에 비해 무거운 꼬리로 선호된다.< ${\displaystyle q<1$}의경우, q-Gaussian 분포는 경계 랜덤 변수의 PDF이다.이는 생물학 및 기타 영역에서^[2] 외부 확률성의 영향을 모델링하기 위해 가우스 분포보다 q-가우스 분포를 더 적합하게 만든다.q 매개변수에 의해 정의된 범위까지 I.i.d 변수에 대한 독립성 제약이 완화되고 독립성이 q → 1로 회복되는 고전적 중심 한계^[3] 정리의 일반화된 q-아날로그가 2008년에 제안되었다.그러나 그런 정리에 대한 증거는 아직 부족하다.^[4]null

무거운 꼬리 부위에서 분포는 q와 자유도 사이의 직접적인 매핑을 갖는 학생의 t 분포와 동등하다.따라서 이러한 분포 중 하나를 사용하는 실무자는 두 가지 다른 방법으로 동일한 분포를 모수화할 수 있다.q-Gaussian 형식의 선택은 시스템이 비확장성이거나 작은 표본 크기에 대한 연결이 부족한 경우에 발생할 수 있다.null

특성화

확률밀도함수

q-Gaussian은 확률밀도함수를 가진다.

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }}}C_{q}e_{q}(-\beta x^{2})}}$

어디에

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \1 \over 1-q}}}$

q-exponential이며 정규화 요인 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$은(는)

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\감마 \왼쪽({1\1\cover 1-q}\오른쪽) \{3-qrt{1-qrt{1-qrt}}\감마 \왼쪽({3-qover 2-q)\오른쪽)}}{{\text{{}-\ft <q<1}$

${\displaystyle C_{q}={\\sqrt{\pi}}{{}{}}{{\text{{}}}{}}}}$

${\displaystyle C_{q}={{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} {\sq-1}이상 \감마 \좌({1 \cover q-1}\오른쪽)}}{\text{{}}}}}{{1}[3].}$

< ${\displaystyle q<1$}의경우 q-Gaussian 분포는 경계 랜덤 변수의 PDF라는 점에 유의하십시오.null

엔트로피

Just as the normal distribution is the maximum information entropy distribution for fixed values of the first moment ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ and second moment ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$ (with the fixed zeroth moment ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{$정규화 조건에 해당하는$$ $0}=1}),$ q-가우스 분포는 이 세 모멘트의 고정 값에 대한 Tsallis 엔트로피 분포의 최대값이다.null

관련 분포

학생의 t-분포

엔트로피의 흥미로운 대안적 형태에 의해 정당화될 수 있지만, 통계적으로 그것은 1908년 W. 고셋이 작은 표본 통계를 설명하기 위해 도입한 학생의 t-분포를 재평가한 것이다.고셋의 원래 발표에서 자유도 매개변수 ν은 표본 크기와 관련된 양의 정수일 수 밖에 없었지만, 고셋의 밀도 함수가 all의 모든 실제 값에 유효하다는 것은 쉽게 관찰된다.^{[citation needed]}스케일 조정된 리파라메트리제이션은 ν과 관련된 대체 파라미터 q와 β를 도입한다.

자유도가 istribution인 학생의 t-분포를 고려할 때, 동등한 q-Gaussian은

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}{\nu +1}{\text{{}}}}}$

역행하여

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1},{\text{{}만 해당.}$

$\beta {\displaystyle }$ β 1${\displaystyle \frac{3\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$을$($를) 초과할 때마다 함수는 단순히 학생 t-분포의 축소판일 뿐이다.null

때때로 분포는 학생의 t-분포를 음의 자유도와 비정수의 자유도로 일반화하는 것이라고 주장한다.그러나 학생의 t-분포 이론은 real < 0의 경우, 현재 분포의 지지가 무한하지 않고 압축되어 있는 모든 실제 자유도로 사소한 것 없이 확장된다.^{[citation needed]}

3-모수 버전

0을 중심으로 한 많은 분포와 마찬가지로, q-Gaussian은 위치 파라미터 μ를 포함하도록 사소한 방식으로 확장할 수 있다.밀도는 다음으로 정의된다.

${\displaystyle {{\sqrt{\beta }} \over C_{q}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

랜덤 편차 생성

박스-뮬러 변환은 q-Gaussians에서 무작위 샘플링을 허용하도록 일반화되었다.^[5]표준 Box-Muller 기법은 다음 형식의 방정식에서 독립 정규 분포 변수 쌍을 생성한다.null

${\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}$

일반화된 Box-Muller 기법은 독립적이지 않은 q-Gaussian 편차를 생성할 수 있다.실제로는 균일하게 분포된 변수 쌍에서 단 한 번의 편차만 생성된다.다음 공식은 지정된 매개 변수 q와 $\beta {\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{3\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$을(를) 갖는 q-Gaussian으로부터의 이탈을 생성한다.

${\displaystyle Z={\sqrt{-2}\text{ln}_{q'}(U_{1}})}{\text}{cos}}{cos}(2\pi U_{2}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {\text{ln}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) q-logarithm이고 ${\displaystyle q\frac{\mathrm{}}{}}$= 1${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ -$$ {\$displaystyle q'={1+q}{3-q}}}} 이상임$

이러한 편차는 다음과 같은 방법으로 임의의 q-Gaussian으로부터의 편차를 생성하도록 변환할 수 있다.

${\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta(3-q)}}}}}$

적용들

물리학

소멸 광학 격자에서 차가운 원자의 운동량 분포가 q-가우스인 것으로 나타났다.^[6]null

The q-Gaussian distribution is also obtained as the asymptotic probability density function of the position of the unidimensional motion of a mass subject to two forces: a deterministic force of the type ${\displaystyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$ (determining an infinite potential well) and a stochastic화이트 노이즈 $힘{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t}$) =${\displaystyle \sqrt{}2\sqrt{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle \sqrt{1}}$ -${\displaystyle \sqrt{}}$q ) ${\displaystyle \xi }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle F_{2}(t)={\sqrt{2(1-q)}}}\xi($${\displaystyle t}$$)\},$ 여기서 $\xi {\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaysty \xi(t)}$은 화이트 노이즈다.과대/소량 질량 근사치에서 위에 언급한 수렴이 최근에 표시된 것처럼 < ${\displaystyle q<0$에 대해 실패한다는 점에 유의하십시오.^[7]null

금융

뉴욕증권거래소와 나스닥 등지의 금융수익 분배는 q-Gaussians로 해석됐다.^[8][9]null

참고 항목

• 콘스탄티노 찰리스
• 탈리스 통계
• 찰리스 엔트로피
• 찰리스 분포
• q-배포
• Q-가우스 공정

메모들

추가 읽기

• Juniper, J. (2007) : CS1 maint: url-status (링크), Centre of Full Employment and Equity, The University of Newcastle, Australia.

외부 링크

• Tsalis 통계, 비폭력 시스템 및 장거리 상호작용에 대한 통계역학