저자극 분포

저자극성
매개변수	,… , k> 0 \ \율(실제)
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PDF	위상형 분포로 표현됨; ; 다른 간단한 양식이 없음. 자세한 내용은 문서를 참조하십시오.
CDF	위상형 분포로 표현됨;
평균
중앙값	일반 닫힘 양식이 존재하지 않음
모드	- )/ 만약 = {\ 모든 k에 대해 .
분산
왜도
엑스트라 쿠르토시스	단순 폐쇄형.
MGF
CF

확률론에서 저자극 분포 또는 일반화된 에를랑 분포는 연속적인 분포로, 대기열 이론, 텔레트라펙 엔지니어링 및 확률적 공정에서 보다 일반적으로 에를랑 분포와 같은 분야에서 사용한다는 것을 발견했다.변동계수가 1보다 큰 초우량 분포와 변동계수가 1인 지수 분포에 비해 변동계수가 1보다 작기 때문에 저하수 분포라고 한다.null

개요

Erlang 분포는 k 지수 분포의 시리즈로 모두 비율 $\lambda$ ${\displaystyle \lambda$ $\lambda$ 저자극 분포는 각각 고유한 비율 $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ ${\$ $_{i$ $\lambda _{i}$ i $i^{th}$ h ${\$ i $^{}}}$ 지수 $i^{th}$ 분포의 비율이다.k 독립적으로 분포된 지수 랜덤 변수 ${\boldsymbol {X}}_{i}$ i ${\$ 이 있는 경우 랜덤 변수는

{\boldsymbol{X}=\sum _{i=1}^{k}{\boldsymbol{X}_{i}}}

저분포성분포화성분포성분포성분포성분포함저자극은 최소 변동 계수가 $1/k$ / $1/k$ $1/k$ 이다 $1/k$

위상형 분포와의 관계

정의의 결과, 이 분포를 위상형 분포의 특별한 사례로 고려하는 것이 더 쉽다.위상형 분포는 유한 상태 마르코프 공정을 흡수하는 시간이다.첫 번째 k 상태가 과도하고 상태 k+1이 흡수 상태인 k+1 상태 프로세스가 있는 경우, 프로세스 시작부터 흡수 상태에 도달할 때까지의 시간의 분포는 위상 유형 분산이다.이것은 우리가 처음 1에서 시작하여 속도 $\lambda _{k}$ $\lambda _{i}$ ${\$ ${$ i $}$ 를 가진 상태 k가 $\lambda _{k}$ 상태 k+1로 $\lambda _{k}$ 전환될 때까지 $\lambda _{i}$ state i에서 i+1로 스킵프리(skip-free)를 이동하면 저자극이 된다.이것은 서브제너레이터 행렬의 형태로 쓰여질 수 있다.

\left는 경우에는{\begin{행렬}-\lambda _{1}&, \lambda _{1}&, 0&, \dots &, 0&, 0\\0&, -\lambda _{2}&, \lambda _{2}&, \ddots, 0&, 0\\\vdots &, \ddots &, \ddots &, \ddots &, \ddots &, \vdots \\0&, 0&, \ddots & &, -\lambda _{k-2}&, \lambda _{k-2}&, 0\\0&, 0&, \dots &, 0&, -\lambda _{k-1}&, \lambda._{k-1}\\0&, 0&, \dots &, 0&, 0&, -\lambda _{k}\end{매트릭스}}\right-RSB-\;.

단순성을 위해 위의 행렬 $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ ≡ ( ( $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ , $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ … , $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ ) ${\displaystyle \theta (\lambda$ _ ${1},\dots ,\lambda _{k})$ 을 나타낸다 $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ 만약 각 k 상태에서 출발할 확률은 다음과 같다면.

{\displaysymbol {\pair }=(1,0,\pair,0)

그러면 $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ ( $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ , $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ … , $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ k $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ ) $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ = $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ H $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ ( $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ , $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ ) $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$ . ${\displaystyle Hea(\lambda _{1}, dots$ ,\ $lambda$ _ ${k}=}$ $PH({\boldsymbol {\alpha }},\theta$ $}$

2개의 파라미터 케이스

$\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ 에 두 개의 매개변수( where $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ 2 {\ $displaystyle \lambda _{$ 1}\ $neq \lambda _$ 2}})가 있는 경우 확률함수의 명시적 형식과 관련 통계량은^[2] 다음과 같다.

CDF: $F(x)=1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{1}x}+{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{2}x}$

PDF: $f(x)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}(e^{-x\lambda _{2}}-e^{-x\lambda _{1}})$

평균: ${\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}$ ${\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}$ ${\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}$ + ${\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}$ ${\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}$ 2 ${\frac 스타일 {1}{\frac$ {1}{\ $lambda _{1}}+{\frac$ {1}{\lambda $_{2}}:}$

분산: ${\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}$ ${\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}$ 1 ${\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}$ + ${\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}$ ${\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}$ 2 ${\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}$ ${\frac {1}{\lambda _{1}^{1}}+{\frac {1}{$ 1}{1}^{1}}}{\ $lambda _{2}^{2}}:}$

변동 계수: ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ 2 ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ + ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ 2 ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ + ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ { 2 {\ $frac 스타일 {\$ frac {\ $sqrt {\\lambda _{1$ }^{2}+\ $lambda _{2}}{2}^{\lambda _{1$ }}}{1 $}+\lambda _{2}}:}$

변동 계수는 항상 < 1>이다.

표본 평균( ${\bar {x}}$ 의 ${\$ 과 표본 변동 계수( $c$ ${\displaystyle$ c})를 고려할 때, $c$ 파라미터 $\lambda _{1}$ $\lambda _{1}$ {\ $displaystyle \lambda _$ {1 $}$ 및 $\lambda _{2}$ 2 $\lambda _{2}$ {\ $displaystystyle$ \ $lambda _{2$ }}은 다음과 같이 추정할 $\lambda _{2}$ 수 있다.

$\proxda _{1}={\frac {2}{\bar {x}}\좌측[1+{1+{1+2(c^{2}-1)}\우측]^{-1$

$\proxda _{2}={\frac {2}{\bar {x}}\왼쪽[1-{\sqrt{1+2(c^{2}-1)}\오른쪽]^{-1$

$c^{2}\in [0.5,1]$ 파라미터 $\lambda _{1}$ $\lambda _{1}$ ${\$ 및 $\lambda _{1}$ $\lambda _{2}$ 2 ${\$ $c^{2}\in [0.5,1]$ c $\lambda _{2}$ $2$ 1 [0 $c^{2}\in [0.5,1]$ $c^{2}\in [0.5,1]$ {\ $displaystyle c^{2}\}\in$ [0.5 $,1$

특성화

랜덤 변수 ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ ~ ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ y ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ ( ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ , ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ … , ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ k ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ ) ${\displaystyle {\boldsymbol {X}\sim Heis(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ 에는 다음과 같은 누적 분포 함수가 있다 ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ .

F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}}e^{x\세타 }{\boldsymbol{1}

그리고 밀도함수,

f(x)=-{\displaysymbol {\note }e^{x\세타 }\세타 {\boldsymbol{1}\,,

여기서 ${\boldsymbol {1}}$ ${\$ 1}은 ${\boldsymbol {1}}$ $($ 는) k 크기 및 $e^{A}$ A $e^{A}$ 의 열 벡터 ${\$ e $^{$ $A}$ 은 $e^{{A}}$ A의 행렬 지수다. $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}$ $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}$ $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}$ $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}$ ${\$ _{ $j}$ 모든 $i\neq j$ $i\neq j$ $i\neq j$ $i\neq j$ 에 $\lambda _{{i}}\neq \lambda _{{j}}$ 대해 농도 함수를 다음과 같이 기록할 수 있다 $i\neq j$

f(x)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{k}\ell _{i}(0)\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}

여기서 $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ ( x $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ ) $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ , $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ … , $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ k $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ ( x $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ ) ${\displaystyle \ell _{1}(x),\lots,\ell$ _{k $}(x)$ 는 포인트 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ , $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ k {\ $displaystyle$ \ $lambda _$ {1 $},\dots$ \lambda $_{k}$ 과 연관된 라그랑주요 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$

분포는 Laplace 변환을 통해

{\mathcal{L}\{f(x)\}=-{\boldsymbol {\alpha }}}(sI-\Theta )^{-1}\세타{\boldsymbol{1

순간을 찾는 데 쓰일 수 있고

E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\\bmbol{\bmbol}\세타 ^{-n}{\boldsymbol{1}\;.

일반사례

In the general case where there are $a$ distinct sums of exponential distributions with rates $\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{a}$ and a number of terms in each sum equals to $r_{1},r_{2},\cdots ,r_{a}$ res속셈으로 $t\geq 0$ $t\geq 0$ $t\geq 0$ $t\geq 0$ 에 대한 누적 분포 함수는 다음과 같이 지정된다 $t\geq 0$ .

F(t)=1-\left(\prod _{j=1}^{a}\lambda _{j}^{r_{j}}\right)\sum _{k=1}^{a}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l}(-\lambda _{k})t^{r_{k}-l}\exp(-\lambda _{k}t)}{(r_{k}-l)!(l-1)!}},

와 함께

\Psi_{k,l}(x)=-{\frac {\partial^{l-1}}\{l-1}{l-1}}\좌(\j=0,j\neq k}^{a}\lambda _{j}+x\rig)^{-r_{j_{j\}}}\오른쪽.

추가 규약 $\lambda _{0}=0,r_{0}=1$ $\lambda _{0}=0,r_{0}=1$ = $\lambda _{0}=0,r_{0}=1$ $\lambda _{0}=0,r_{0}=1$ $\lambda _{0}=0,r_{0}=1$ = 1 ${\displaystyle \lambda _{0}=0,r_{0}=1$

사용하다

이 분포는 인구유전학,^[3] 세포생물학,^[4]^[5] 대기열 이론에^[6]^[7] 사용되어 왔다.

참고 항목

참조

^ "HypoexponentialDistribution—Wolfram Language Documentation".
^ Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor Shridharbhai (2006). "Chapter 1. Introduction". Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2nd ed.). Wiley-Blackwell. doi:10.1002/0471200581.ch1. ISBN 978-0-471-56525-3.
^ Strimmer K, Pybus OG(2001) "일반화된 스카이라인 플롯을 이용한 DNA 시퀀스의 인구통계학적 역사 탐구", Mol Biol Evol 18(12):2298-305
^ Yates, Christian A. (21 April 2017). "A Multi-stage Representation of Cell Proliferation as a Markov Process". Bulletin of Mathematical Biology. 79 (1): 2905–2928. doi:10.1007/s11538-017-0356-4. PMC 5709504. PMID 29030804.
^ Gavagnin, Enrico (14 October 2018). "The invasion speed of cell migration models with realistic cell cycle time distributions". Journal of Theoretical Biology. 79 (1): 91–99. arXiv:1806.03140. doi:10.1016/j.jtbi.2018.09.010. PMID 30219568. S2CID 47015362.
^ "Faculty of Science" (PDF).
^ 벡커 R, 쾰레만 PM(2011년) "입시 일정 조정 및 침대 수요 변동성 감소"건강 관리 과학, 14:237-249

추가 읽기

M. F. Neuts.(1981) 확률론적 모델의 매트릭스-지오메트릭스 솔루션: 조류학적 접근, 제2장: 위상 유형의 확률 분포; 도버 출판물 Inc.
G. 라투슈, V. 라마스와미.(1999) 확률적 모델링의 매트릭스 분석 방법 소개, 제1판제2장: PH 분포; ASA SIAM,
콜름 A. 오씨네이드(1999년).단계 유형 분포: 개방형 문제와 몇 가지 특성, 통계학 - 확률론적 모델의 통신, 15(4), 731–757.
L. Leemis와 J. McQueston(2008)이다.일변량 분포 관계, 미국 통계학자, 62(1), 45-53.
S. 로스.(2007) 확률모형 소개, 뉴욕 9판: 학술언론
S.V. 아마리와 R.B. Misra(1997) 지수 랜덤 변수의 합을 분포하기 위한 폐쇄형 표현식,IEEE 트랜스.리리캡.46, 519–522
레그로스와 오.Jouini (2015) Erlang 랜덤 변수의 합계 계산을 위한 선형 대수적 접근법, 적용 수학 모델링, 39(16), 4971–4977

[1] "HypoexponentialDistribution—Wolfram Language Documentation".

[2] Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor Shridharbhai (2006). "Chapter 1. Introduction". Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2nd ed.). Wiley-Blackwell. doi:10.1002/0471200581.ch1. ISBN 978-0-471-56525-3.

[Strimmer2001-3] Strimmer K, Pybus OG(2001) "일반화된 스카이라인 플롯을 이용한 DNA 시퀀스의 인구통계학적 역사 탐구", Mol Biol Evol 18(12):2298-305

[4] Yates, Christian A. (21 April 2017). "A Multi-stage Representation of Cell Proliferation as a Markov Process". Bulletin of Mathematical Biology. 79 (1): 2905–2928. doi:10.1007/s11538-017-0356-4. PMC 5709504. PMID 29030804.

[5] Gavagnin, Enrico (14 October 2018). "The invasion speed of cell migration models with realistic cell cycle time distributions". Journal of Theoretical Biology. 79 (1): 91–99. arXiv:1806.03140. doi:10.1016/j.jtbi.2018.09.010. PMID 30219568. S2CID 47015362.

[Calinescu2009-6] "Faculty of Science" (PDF).

[Bekker2011-7] 벡커 R, 쾰레만 PM(2011년) "입시 일정 조정 및 침대 수요 변동성 감소"건강 관리 과학, 14:237-249

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