음의 다항 분포

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표기법	${\displaystyle {\textrm {NM}(x_{0},\,p)}$
매개변수	> ${\displaystyle x_{0}>0}$ — 실험이 중지되기 전의 고장 횟수, p ∈ Rm — "성공" 확률의 m-벡터, p0 = 1 - (p1+……+pm) — "고장"의 확률.
지원	${\displaystyle x_{i}\in \{0,1,2,\ldots \},1\leq i\leq m}$
PDF	${\displaystyle \Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {p_{0}^{x_{0}}}{\Gamma (x_{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}},}$ 여기서 γ(x)는 감마함수다.
평균	${\displaystyle {\tfrac {x_{0}{p_{0}}\\\p}$
분산	${\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}\,pp'+{\tfrac {x_{0}}}\\p_{0}}}\pmname {p}(p)}$
MGF	${\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{j}p_{j}e^{t_}}}{j}}}}{\bigg )^{\!x_{0}}}}}}}}}}}}$
CF	${\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{j}p_{j}e^{j}}}}{j}}}}{j}}}}}{\bigg )^{\!x_{0}}}}}}}}}}}}}$

확률 이론과 통계에서 음의 다항 분포는 음의 이항 분포(NB(x₀, p)를 세 개 이상의 결과로 일반화하는 것이다.^[1]null

일변량 음이항 분포와 마찬가지로 모수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 양의$$ 정수인 경우 음의 다항 분포는 urn 모델 해석을 가진다.각각 음이 아닌 확률 {p₀, ..., p_m}을(를) 사용하여 발생 가능한 결과인 {X₀,...,X_m}을(를) 생성하는 실험이 있다고 가정합시다.만약 샘플링이 n개의 관측치가 만들어질 때까지 진행되었다면, {X₀,...,X_m}은(는) 다항 분포되었을 것이다.그러나 X가₀ 미리 결정된 값 x₀(x를₀ 양의 정수라고 가정)에 도달하면, m-tuple {X₁,...,X_m}의 분포는 음의 다항식이 된다.이₁ 변수들의 합 X+는 다항 분포가 아니다.+X는_m 고정되지 않고 음의 이항 분포에서 추첨된 것이다.null

특성.

한계분포

m-차원 x가 다음과 같이 분할된 경우

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {X}^{(1)\\\\mathbf {X}^{(2)\end{bmatrix}}}{\text}}}}}{}}}}}}}{{\gin{bmatrix}n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}" 사이즈가 1회\text}인 경우$

이에 따라 p ${\$

${\displaystyle{\m-symbol{p}={\bmatrix}{p}^{p}}\\\nd{bmatrix}{bmatrix}}}{\text{{}}}}}}}{\m-n}}}크기 크기: 1\end\bmatrix}}}}}$

그리고 내버려두다

${\displaystyle q=1-\sum _{i}p_{i}^{(2)=p_{0}+\sum _{i}p_{i}^{(1)}$

The marginal distribution of ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}^{(1)}}$ is ${\displaystyle \mathrm {NM} (x_{0},p_{0}/q,{\boldsymbol {p}}^{(1)}/q)}$. That is the marginal distribution is also negative multinomial with the ${\displaystyle {\boldsymbol$${{p}^{{(2)$2}}개를 제거하고$$ 나머지 p는 1에 추가할 수 있도록 적절하게 크기가 조정된다.null

일변량 한계 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=1}$은 음의 이항 분포다.null

독립합계

If ${\displaystyle \mathbf {X} _{1}\sim \mathrm {NM} (r_{1},\mathbf {p} )}$ and If ${\displaystyle \mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{2},\mathbf {p} )}$ are independent, then ${\displaystyle \mathbf {$$X} _{1}+\mathbf {X} _{2}\sim \mathrmat {NM}(r_{1}+r_{2},\mathbf {p$ 마찬가지로, 반대로 음의 다항체가 무한히 분리되어 있다는 것을 특성함수에서 쉽게 알 수 있다.null

집계

만약

${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM}(x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{m})}}}}$

그런 다음, 첨자 i와 j를 가진 랜덤 변수가 벡터에서 떨어져 그 합으로 대체되는 경우,

${\displaystyle \mathbf {X} '=(X_{1},\ldots,X_{i}+X_{j},\ldots,X_{m},\sim \operatorname {NM}(x_{0},(p_{1},\ldots,p_{i},{j},\ldots,p_},p_},p_{j},p_},p_}).}$

이 집계 속성은 위에서 언급한$$ {\$displaystyle$X_{i}의 한계 분포를 도출하는 데 사용할 수 있다.null

상관 행렬

상관 행렬의 항목은

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{i}=1)}$

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(p_{0}+p_{i})(p_{0}+p_{j})}}}.}$

모수 추정

모멘트의 방법

음의 다항체의 평균 벡터를 그대로 두면

${\displaystyle {\mu }}={\frac {x_{0}{p_{0}}\mathbf {p}}}}$

및 공분산 행렬

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {p} \mathbf {p} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} )}$,

${\displaystyle 그렇다면\mathbf{}}$ ants =${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}\underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\${1$}{$p_{$0}}}}\prod _{i=1}^{m}{\mu _{i$ 결정요인의 속성을 통해 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle x_{0}={\frac {\sum {\mu_{i}\prod {\mu_{i}}{\\boldsymbol {\\Sigmbol}{\prod {\mu _{i}}}}}}}}}}{\prod}}}}}$

그리고

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\boldsymbol {\sigma}-\prod {\mu _{i}}}{\boldsymbol {\}}{\mu }}}{\boldsymbol}}.}$

샘플 모멘트를 대체하면 모멘트 추정 방법이 산출된다.

${\displaystyle {\hat {x}}_{0}={\frac {(\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x_{i}}})}\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}{ \mathbf {S} -\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}}}$

그리고

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\left({\frac { {\boldsymbol {S}} -\prod _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}{ {\boldsymbol {S}} \sum _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}}\right){\boldsymbol {\bar {x}}}}$

관련 분포

• 음이항 분포
• 다항 분포
• 반전된 디리클레 분포, 음의 다항식 이전의 결합
• 디리클레 음 다항 분포

참조

월러 LA와 젤터만 D. (1997년).음의 다중 명명 분포를 사용한 로그 선형 모델링.생체 측정학 53: 971–82.null

추가 읽기

Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1997). "Chapter 36: Negative Multinomial and Other Multinomial-Related Distributions". Discrete Multivariate Distributions. Wiley. ISBN 978-0-471-12844-1.