래핑 비대칭 래플라스 분포

래핑 비대칭 래플라스 분포

확률밀도함수 m = 0으로 포장된 비대칭 랩레이스 PDF.κ = 2 및 1/2 곡선은 θ=π에 대한 미러 이미지라는 점에 유의하십시오.
매개변수	${\displaystyle m}$위치${\displaystyle(0\leq m<2\pi )}$ > ${\displaystyle \lambda >0}$척도(실제) > ${\displaystyle \kappa >0}$ 비대칭(실제)
지원	$\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$
PDF	(기사 참조)
평균	${\displaystyle m}$ ${\displaystyle$ m$}($필수)
분산	${\$$좌(\kappa ^{{{2$$}}}}($ $$()
CF	${\displaystyle {\frac {\\fractda ^{2}e^{imn}}{\좌측(n-i\\da /\kappa \우측)\좌측(n+i\lambda \kappa \우측)}}}$

확률 이론과 방향 통계에서 래핑된 비대칭 라플라스 분포는 단위 원을 둘러싼 비대칭 라플라스 분포의 "래핑"에서 비롯되는 래핑된 확률 분포다.대칭 케이스(대칭 변수 κ = 1)의 경우 분포는 래플라스 분포가 된다.서로 다른 두 개의 래핑된 지수 분포에서 두 개의 원형 변수(Z)의 비율 분포는 래핑된 비대칭 래플라스 분포를 가질 것이다.이러한 분포는 재무자료의 확률적 모델링에서 적용된다고 본다.null

정의

포장된 비대칭 래플라스 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle {\begin}f_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )&=\sum _{k=-\infit }^{\inft }{{}f_{}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}AL}(\theta +2\pi k,m,\lambda ,\kappa )\\[10pt]&&={\dfrac{\kappa \lambda}{\kappa ^{2}+1}}{\begin{경우}{\dfrac{e^{-(\theta -m)\lambda)}}{1-e^{-2\pi \lambda \kappa}}}-{\dfrac{e^{(\theta -m)\lambda)}}{1-e^{2\pi \lambda /\kappa}}}&{\text{만약}}\theta\geq m\\[12pt]{\dfrac{e^{-(\theta -m)\lambda)}}{e^{2\pi \lambda \kappa}-1}}-{\dfrac{e^{(\theta -m)\lambda)}}{.e^{-2\pi \lambda /\kappa }1}-1}{\text{{if}}\theta <m\end{case}}\ended}}}}$

$여기$서 f ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\$$AL}$은 비대칭 라플라스 분포다.각도 파라미터는 < 2 { \ > \ \$displaystyle 0\leq \theta <2\pi$$}.$ 스케일 파라미터는 > ${\displaystyle$ $\lambda$ $>$$0}$이며, κ> 은포장되지 않은 분포의 $비대칭$ 파라미터다.null

누적분포함수 F $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\$그러므로 $WAL}$은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle F_{WAL}(\theta, m,\lambda ,\kappa)={\dfrac{\kappa \lambda}{\kappa ^{2}+1}}{\begin{경우}(1-e^{-\theta \lambda \kappa})}{\lambda \kappa(e^{2\pi \lambda \kappa}))}}+ᆳ(1-e^{\theta \lambda /\kappa})}{\lambda(e^{-2\pi \lambda /\kappa}))}}&{\text{만약}}\theta\.leqm\\{\dfrac {1-e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{\lambda \kappa (1-e^{-2\pi \lambda \kappa })}}+{\dfrac {\kappa (1-e^{(\theta -m)\lambda /\kappa })}{\lambda (1-e^{2\pi \lambda /\kappa })}}+{\dfrac {e^{m\lambda \kappa }-1}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa (e^{-m\lambda /\kappa }-1)}{\lambda (e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if}}\theta >m\end{case}}$

특성함수

래핑된 비대칭 라플레이스의 특성 함수는 정수 인수로 평가된 비대칭 라플라스 함수의 특성 함수에 불과하다.

${\displaystyle \varphi _{n}(m,\basda ,\kappa )={\frac {\fraca ^{2}e^{imn}}}{\\n-i\bappa \right}}}}}{\flt(n+i\cappa \오른쪽)}}}$

모든 실제 θ과 m에 유효한 원형 변수 z=e의^i(θ-m) 관점에서 포장된 비대칭 라플라스 PDF에 대한 대체 식을 산출한다.

${\displaystyle {\begin}f_{WAL}(z;m,\lambda ,\kappa )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infit }^{n}(0,\lambda ,\appta )z{-n}\\t]={\frac {\lambda }{\pi (\kappa +1/\kappa )}}{\begin{cases}{\textrm {Im}}\left(\Phi (z,1,-i\lambda \kappa )-\Phi \left(z,1,i\lambda /\kappa \right)\right)-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]\coth(\pi \lambda \kappa )+\coth(\pi \lambda /\kappa )&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}$

여기서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Phi()}$은(는) Lerch 초월 함수, cot()는 쌍곡성 코탄젠트 함수다.null

순환모멘트

원형 변수 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$에 따라 포장된 비대칭 라플라스 분포의 원형$$ 모멘트는 정수 인수로 평가되는 비대칭 라플라스 분포의 특성 함수다.

${\displaystyle \langle z^{n}\angle =\varphi _{n}(m,\langleda ,\kappa )}$

첫 번째 순간은 평균 결과물 또는 평균 결과 벡터로 알려진 z의 평균 값이다.

${\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {\blangleda ^{2}e^{im}}}{\좌측(1-i\lambda /\kappa \우측)\좌측(1+i\\da \kappa \우측)}}}$

평균 각도는${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \le }$ ≤${\displaystyle }$≤ ) {\$displaystyle(-\pi \leq \langle \trangle \leq \pi$ )}이다$.$

${\displaystyle \langle \langle =\arg(\,\langle z\rangle \,)=\arg(e^{im}})}$

평균 결과물의 길이는

${\displaystyle R= \langle z\rangle ={\frac {\lambda ^{2}}:00}{\frac {1}{\kappa ^{2}}+\lambda ^{2}\right}}}}}{\kappa ^{2}+\lambda}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

그러면 원형 분산이 1 - R이 된다.

랜덤 변수의 생성

만약 X된 variate 비대칭 라플라스 분포(부신 백질 이영양증)에서 이용된 다음 Z)eiX{\displaystyle Z=e^{iX}}이 될 것이다 원형 variate 래핑 된 부신 백질 이영양증에서고, θ = arg ⁡(Z)+π{\displaystyle \theta =\arg(Z)+\pi}가 될 것이다 뼈가 앙상한 variate 래핑 된 부신 백질 이영양증 0km에서 개체로 그려진;θ ≤ 2π{\displaystyle. 0<^$\leq 2\pi } 세타$

두 variates이 기하 급수적으로 분포에서 뽑은 그 차이의 부신 백질 이영양증 분배를, 만약 Z1이 래핑 된 지수 분포에서 평균 m1과 비율 λ/κ과 Z2평균 m2비율 λκ과 래핑 된 지수 분포에서 시작된다 그린 다음 Z1/Z2가 될 것이다 원형 variate은 wrapp에서 꺼내어 따른다.부신 백질 이영양증 Iagowith parameters ( m₁ - m₂ , λ, κ) and ${\displaystyle \theta =\arg(Z_{1}/Z_{2})+\pi }$ will be an angular variate drawn from that wrapped ALD with ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$.

참고 항목

• 포장배포
• 방향통계

참조