이산 위상형 분포

이산 위상 유형 분포는 하나 이상의 상호 관련 기하 분포의 시스템에서 발생하는 확률 분포로, 순차 또는 위상에서 발생한다.각각의 단계가 일어나는 순서는 그 자체가 확률적인 과정일 수 있다.분포는 하나의 흡수 상태를 가진 흡수 마코프 체인이 흡수될 때까지의 시간을 설명하는 랜덤 변수로 나타낼 수 있다.마르코프 체인의 각 상태는 단계 중 하나를 나타낸다.null

위상형 분포에서 연속 시간 등가성이 있다.null

정의

종단 마코프 사슬은 흡수되는 한 주를 제외한 모든 상태가 일시적인 마코프 사슬이다.상태를 다시 정렬하면 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 과도$$ 상태를 가진 종료 Markov 체인의 전환 확률 매트릭스가

${\displaystyle {P}=\왼쪽[{\begin{matrix}{T}&\mathbf {T} ^{0}\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}&1\end{matrix}\오른쪽,}$

where ${\displaystyle {T}}$ is a ${\displaystyle m\times m}$ matrix, ${\displaystyle \mathbf {T} ^{0}}$ and ${\displaystyle \mathbf {0} }$ are column vectors with ${\displaystyle m}$ entries, and ${\displaystyle \mathbf {T} ^{0}+{$$T}\mathbf {1} =\mathbf {1}{$1$\}.$ 전환 매트릭스는 전적으로 왼쪽 상단 $블록{\displaystyle }$ T ${\$가 특징이다$.$

정의.$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$. ${\displaystyle .\}}$ ${\displaystyle \{0,1,2,...$에 대한 분포.$\}}}}$은(는) 미세하게 많은 상태를 가진 종료 마르코프 체인의 흡수 상태에 대한 첫 번째 통과 시간의 분포인 경우 이산 위상형 분포다$$.null

특성화

종단 마코프 체인을 고정하십시오.$T{\displaystyle }$ ${\$ 변환 매트릭스의 왼쪽$$ 상단 블록과 초기$$ 배포 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$을(를) 나타낸다.The distribution of the first time to the absorbing state is denoted ${\displaystyle \mathrm {PH} _{d}({\boldsymbol {\tau }},{T})}$ or ${\displaystyle \mathrm {DPH} ({\boldsymbol {\tau }},{T})}$.

누적분포함수는

${\displaystyle F(k)=1-{\boldsymbol{\tau}}}{{T}^{k}\mathbf {1},}$

$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle k=1,2,...}$에 대해$,$ 그 밀도 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(k)={\\displaysymbol {\\tau}}}{T}^{k-1}\mathbf {T^{0}},}$

$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle k=1,2,...}$에 대하여. 흡수 상태에서 공정이 시작될 확률은 0이라고 가정한다$.$분포 함수의 요인 모멘트는 다음과 같다.

$(\displaystyle E[K(K-1)]...(K-n+1)=n!{\boldsymbol {\tau }}(I-{T})^{-n}{T}^{n-1}\mathbf {1},}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 적절한 치수 ID 행렬이다.null

특례

연속 시간 분포가 지수 분포의 일반화인 것처럼 이산 시간 분포는 기하 분포의 일반화(예:

• 퇴행 분포, 점 질량이 0이거나 빈 위상 유형 분포 – 0 위상
• 기하 분포 – 1상.
• 음의 이항 분포 – 순서에 따라 2개 이상의 동일 위상
• 혼합 기하 분포 – 각각이 상호 배타적 또는 병렬 방식으로 발생할 확률을 갖는 2개 이상의 비식별적 단계이것은 Hyperexponential 분포의 이산 아날로그지만, 그 이름이 완전히 다른 유형의 이산 분포에 사용되고 있기 때문에 초기하 분포라고 불리지 않는다.

참고 항목

• 위상형 분포
• 대기열 모델
• 큐잉 이론

참조

• M. F. Neuts.확률론적 모델의 매트릭스-지오메트릭스 솔루션: 알고리즘 접근법, 2장: 위상 유형의 확률 분포; 도버 출판물 Inc., 1981.
• G. 라투슈, V. 라마스와미.Stochastic Modeling의 Matrix Analytic Methods 소개, 제1판제2장: PH 분포; ASA SIAM, 1999.