상대론적 브레이트-비그너 분포

상대론적 브레이트-위그너 분포(1936년 그레고리 브레이트와 유진 위그너의 핵공명 공식^[1] 이후)는 다음과 같은 확률 밀도 함수를 갖는 연속 확률 분포입니다.^[2]

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,}$

여기서 k는 다음과 같은 비례 상수입니다.

${\displaystyle k}$ = ${\displaystyle 22}$ γ π M ${\displaystyle 2}$ + γ {\displaysty${\displaystyle l}$e k={\frac ${$2{\sqrt {2}}M\Gam${\displaystyle \mathrm{ma\; \backslash ga}}$mma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma}}}} {\displaystyl${\displaystyle \mathrm{e~~\backslash ga}}$m${\displaystyle m}$a ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}}~}

(이 식은 자연 단위 ħ = c = 1을 사용하여 작성됩니다.)

고에너지 물리학에서 공진(불안정한 입자)을 모델링하는 데 가장 많이 사용됩니다. 이 경우 E는 공명을 생성하는 질량 중심 에너지, M은 공명의 질량, γ은 공명 폭(또는 붕괴 폭)으로, τ = 1/γ에 따른 평균 수명과 관련이 있습니다. (단위를 포함하면 공식은 τ = ħ/γ입니다.)

사용.

주어진 에너지 E에서 공명을 생성할 확률은 f(E)에 비례하므로 에너지 함수로서 불안정한 입자의 생성 속도 도표는 상대론적 브레이트-위그너 분포의 모양을 추적합니다. E - M = M γ, (hence E - M = M ≫ /2의 경우 γ E - M γ/2)와 같은 M에서 E의 값이 최대값의 절반으로 감소하는 경우 분포 f는 최대치의 절반에서 γ의 이름인 너비를 정당화합니다.

사라지는 폭의 한계인 γ δ 0에서는 로렌쯔 분포 f가 2M ((E - M)로 무한히 날카로워지면서 입자가 안정됩니다.

일반적으로 γ는 E의 함수일 수도 있습니다. 이 의존성은 일반적으로 γ가 M에 비해 작지 않고 폭의 위상 공간 의존성을 고려해야 할 때만 중요합니다. (예를 들어, Rhomeson이 한 쌍의 파이온으로 붕괴될 때) γ을 곱하는 M의 인자도 공진이 넓을 때 E(또는 E/M 등)로 교체해야 합니다.

상대론적 브레이트-비그너 분포의 형태는 불안정한 입자의 전파자에서 비롯되며, 불안정한 입자는 p - M + iM γ 형태의 분모를 갖습니다. (여기서 p는 관련된 파인만 다이어그램에서 해당 입자가 운반하는 4모멘트의 제곱입니다.) 나머지 프레임의 전파기는 그 공명을 재구성하는 데 사용된 붕괴에 대한 양자역학적 진폭에 비례합니다.

${\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma}}~.}$

결과적인 확률 분포는 진폭의 절대 제곱에 비례하므로 확률 밀도 함수에 대한 위의 상대론적 브레이트-위그너 분포입니다.

이 분포의 형태는 정현파 외력에 의해 감쇠되고 구동되는 피동 고조파 발진기에 대한 고전적 운동 방정식에 대한 해의 진폭과 유사합니다. 로렌츠, 즉 코시 분포의 표준 공명 형태를 갖지만 상대론적 변수 s = p, 여기서 = E를 포함합니다. 분포는 그러한 고전적인 강제 발진기에서 에너지 에너지(주파수)의 진폭 제곱 w.r.t에 대한 미분 방정식의 해입니다.

${\displaystyle f'({\text{E}})\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}+M)=0,}$

와 함께

${\displaystyle f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}.~}$

가우스 광폭

실험에서 공진을 일으키는 입사빔은 항상 중심값을 중심으로 어느 정도 에너지가 퍼집니다. 일반적으로 이것은 가우스/정규 분포입니다. 이 경우 결과적인 공명 형상은 Breit-Wigner와 Gaussian 분포의 컨볼루션에 의해 주어집니다.

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.}$

이 기능은 새로운 변수를 도입하여 단순화할 수 있습니다.

${\displaystyle t={\frac {E-E'}{\sqrt {2}}\sigma },\quad u_{1}={\frac {E-M}{\sqrt {2}\quad},\sigma u_{2}={\frac {E+M}{\sqrt {2}}\quad},\sigma a={\frac {k\pi}{2\sigma ^{2}}}$

을 얻기 위하여

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},}$

상대론적 선폭 함수가 다음과 같은 정의를 갖는 경우,

${\displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}dt.}$

${\displaystyle {H2\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 분광학에서 사용되는 Voigt 프로파일에 대한 유사한 선폭 기능의 상대론적 대응물입니다(의 섹션 7.19 참조).

참고문헌