켄트 분포

방향 통계에서 로널드 피셔, 크리스토퍼 빙엄, 존 T. 켄트의 이름을 딴 5-모수 피셔-빙엄 분포 또는 켄트 분포는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 스타일 \mathb ${R}{3$$}}$의 2차원 단위 구 S ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle$ S$^{2$$}\}\}\$에 대한 확률 분포.$$ tw의 아날로그이다.제한되지 않은 공분산 행렬이 있는 이변산 정규 분포의 o차원 단위 구.켄트 분포는 1982년 존 T. 켄트에 의해 제안되었으며, 생물정보학뿐만 아니라 지질학에도 사용된다.null

켄트 분포의$$ 확률밀도함수 ${\displaystyle f\mathbf{}}$( x${\displaystyle }$) ${\$ f$(\mathbf {x} )\,}$은(는) 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\cdot \mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\cdot \mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\cdot \mathbf {x} )^{2}]\}}$

여기서 x $displaystyle \mathbf {x} \,}$은(는) ${\displaystyle {3차원}^{}}$ 단위 벡터,${\displaystyle {}^{}}$ T ${\$$T}}$은(${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (\cdot$ $)\}$의 전치(轉治)를 나타내며$$, 정상화된 상수 c${\displaystyle (\kappa }$,${\displaystyle \beta }$) ${\$,\$beta )\,}$는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa \right)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{1}:{2}}(\kappa )}$

$여기$서 I ${\displaystyle v_{}}$ (${\displaystyle \kappa }$ ) ${\displaystyle I_{v}(\kappa )}$은(는) 수정된 Besel $함수$이고 ${\displaystyle (}$( ))$${\$displaystyle \Gamma$ (\$cdot )}$은 감마 함수다.Note that ${\displaystyle c(0,0)=4\pi }$ and ${\displaystyle c(\kappa ,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa )}$, the normalizing constant of the Von Mises–Fisher distribution.null

매개변수 $\kappa {\displaystyle }$ ${\$$\,}($는 분포의 농도나 확산을 결정하고, β ${\displaystyle$$\beta$ \beta $\,}($0${\displaystyle }$ $<\leq 2\beta })$는 등고선의 타원성을 결정한다.κ ${\$ 및$$ β ${\$ 매개변수가$$ 높을수록 분포는 각각 더 집중되고 타원이 된다.벡터 γ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle \gamma _{1}\,}$은(는) 평균 방향이고, 벡터 ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle \gamma _{2},\gamma$ _${3}\},}$은(는) 주축과 부축이다$$.후자의 두 벡터는 구의 등고선 방향을 결정하는 반면, 첫 번째 벡터는 등고선의 공통 중심을 결정한다.3×${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ 행렬$({\displaystyle }$ matrix1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\$은(는) 직교해야 한다$$.null

상위 차원으로 일반화

켄트 분포는 더 높은 차원의 구에 쉽게 일반화될 수 있다.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) ${\displaystyle {}^{}}$ p ${\$의 단위 구 $S{\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle p^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$에 있는 점이라면 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyp}$ -densit$$ 분포의 밀도 함수는 다음과 비례한다.

${\displaystyle \exp\{\cappa {\boldsymbol {}_{1}^{T}\cdot \mathbf {x} +\\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}({\boldsymboll {}}}}}}}{\cdmobmbmbma}}}}}}}}}}}})T}\cdot \mathbf {x}^{2}\}\,}$

where ${\displaystyle \sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0}$ and ${\displaystyle 0\leq 2 \beta _{j} <\kappa }$ and the vectors ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1\ldots p\}}$ are orthonormal.그러나 > ${\displaystyle p>3}$에 대해서는 표준화 상수가 작업하기가 매우 어려워진다

참고 항목

• 방향통계
• 폰 미제스-피셔 분포
• 바이바리테 폰 미제스 분포
• 폰 미제스 분포
• 빙엄 분포

참조

• Boomsma, W, Kent, J.T, Mardia, K.V, Taylor, C.C. & Hamelryck, T.(2006) 그래픽 모델과 방향 통계는 단백질 구조를 포착한다.S. Barber, P.D. Baxter, K.V.Mardia, & R.E. Walls (Eds.), 학제간 통계학 및 생물정보학, 페이지 91~94.리즈, 리즈 대학 출판부
• Hamelryck T, Kent JT, Krogh A(2006) Sampling Realistic Protectivity Using Local Structural Biases(로컬 구조 바이어스^{[permanent dead link]} 사용)PLoS 연산 Biol 2(9): e131
• 켄트, J. T. (1982) 피셔-빙햄의 구 분포, J. 로얄. 통계청, 44분 71–80초
• 켄트, J. T., 하멜리크, T. (2005)단백질 구조의 확률적 모델에서 Fisher-Bingham 분포를 사용한다.S. Barber, P.D. Baxter, K.V.Mardia, & R.E. Walls(에드), 정량적 생물학, 형상 분석 및 Wavelets, 페이지 57–60.리즈, 리즈 대학 출판부
• 마르디아, K. V. M., 쥬프, P. E. (2000년) 방향 통계(2판), 존 와일리 앤 선즈 주식회사.null ISBN0-471-95333-4
• Pell, D, Whiten, WJ, McLachlan, GJ.(2001) Kent 분포의 혼합물 결합을 통해 접합 세트 식별에 도움을 준다.J. Am. Stat. 어스, 96:56–63