포장정규 분포

래핑 노멀

확률밀도함수 지지대는 μ=0으로 [-190,190]으로 선택된다.
누적분포함수 지지대는 μ=0으로 [-190,190]으로 선택된다.
매개변수	$[\displaystyle\mu }$ real$$. $\displaystyle \sigma >0}$
지원	${\displaystyle \theta }$길이 2π의 간격$$ ${\displaystyle \theta \in$}
PDF	${\displaystyle {1}{2\pi }\vartheta \lefts\fract\fract\pi {\\theta -}{2\pi }},{\frac {i\pi ^{2}}:{2\pi }\오른쪽)}}}$
평균	${\displaystyle }$지원이 간격 $\mu {\displaystyle }$ ±${\displaystyle \mu }$ ± μs${\displaystyle \mu \pm \pi }$인 경우$$$μsyle \mu$ \pi $}$
중앙값	${\displaystyle }$지원이 간격 $\mu {\displaystyle }$ ±${\displaystyle \mu }$ ± μs${\displaystyle \mu \pm \pi }$인 경우$$$μsyle \mu$ \pi $}$
모드	$\displaystyle \mu }$
분산	${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$e - ${\displaystyle {{\sigma \mathrm{}}^{}}^{}}$ 2${\displaystyle {{}^{}}^{}}$/ 2 ${\$실제)
엔트로피	(텍스트 참조)
CF	${\displaystyle e^{-\ma^{2}n^{2}/2+in\mu }}}}$

확률 이론과 방향 통계에서 포장된 정규 분포는 단위 원을 둘러싼 정규 분포의 "포장"에서 비롯되는 래핑된 확률 분포다.브라운 운동 이론에서 응용을 찾으며 주기적인 경계 조건에 대한 열 방정식의 해결책이다.그것은 수학적 단순성과 트랙터성 때문에 방향 통계에서 가장 일반적으로 사용되는 분포인 폰 미제스 분포에 의해 근사하게 추정된다.^[1]null

정의

포장된 정규 분포의 확률 밀도 함수는^[2]

$f_{\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu +2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right],}$

여기서 μ와 μ는 각각 포장되지 않은 분포의 평균 및 표준 편차다.위의 농도 함수를 정규 분포 수율의 특성 함수로 표현:^[2]

$f_{\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\sigma ^{2}n^{2}/2+in(\theta -\mu )}={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right),}$

여기서 $\vartheta {\displaystyle }$ (${\displaystyle \theta }$ ,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle \vartheta (\tau ,\tau )}$는 Jacobi theta 함수로서 다음과 같다.

${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}{\text{ where }}w\equiv e^{i\pi \theta }}$ and ${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

포장된 정규 분포는 Jacobi 3중 제품으로도 표현할 수 있다.^[3]

$f_{\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\prod _{n=1}^{n1}(1-q^{n-1/2}z)(1+q^{n-1/2}/z)(1+q^{n-1/2}/z).}$

여기서 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$ i (${\displaystyle {\mu }^{}}$ -${\displaystyle {\mu }^{}}$) $displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}\,$ ${\displaystyle {}^{}}$ = e -${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$. ${\displaystyle q=e^{-\ma ^{2}}.$$}$

순간

원형 변수 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$의 관점에서$$, 래핑된 정규 분포의 원형 모멘트는 정수 인수로 평가된 정규 분포의 특성 함수다.

$\displaystyle \langle z^{n}\angle =\int_{\\\\\\\\\\\\\\n_{\\\\\\\\\\\\\\\\}\\\\\{\\\\\\WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,d\\theta =e^{in\n^{n^{2}\sigma ^{2}.}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$은(는) 길이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ $[\displaystyle 2\pi }$의 일부 구간이다$.$ 첫 번째 순간은 평균 결과물 또는 평균 결과 벡터라고도 알려진 z의 평균 값이다.

${\displaystyle \langle z\angle =e^{i\mu -\ma ^{2}/2}}$

평균각은

$\displaystyle \theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\angle =\mu }$

평균 결과물의 길이는

${\displaystyle R= \langle z\rangle =e^{-\sigma ^{2}/2}}$

원형 표준 편차는 포장된 정규 분포와 그 가까운 친척인 폰 미제스 분포에 대한 분산에 유용한 척도로서 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle s=\ln(R^{-2})^{1/2}=\sigma }$

모수 추정

일련의 N 측정 z = e를 분포의 포장된_n 정규 분포에서 ^iθ_n 추출하여 분포의 특정 모수를 추정할 수 있다.시리즈 z의 평균은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\overline{z}={\frac {1}{{N}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}}}$

그리고 그 기대 가치는 단지 첫 순간일 것이다.

${\displaystyle \langle {\langle {z}\angle =e^{i\mu -\bma ^{2}/2}.\,}$

즉, z는 첫 순간의 편견 없는 추정자 이다.만일 평균 μ가 구간[-π, π]에 있다고 가정한다면, Arg z는 평균 μ의 (편향된) 추정기가 될 것이다.

복합_n 평면에서 z를 벡터 집합으로 보는 R² 통계량은 평균 벡터 길이의 제곱이다.

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}\,}$

기대값은 다음과 같다.

${\displaystyle \left\langle{R}^{2}\right\angle ={\frac {1}{{N}+{\frac {1}{N:1}}\, e^{-\sigma ^{2}}\,}$

즉, 통계는

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{{N:1}}\좌측({\overline{R}}^{{\frac {1}{N}\우측)}}$

e의^−σ2 편향되지 않은 추정기가 되고, ln(1/R_e²)은 σ의² (편향된) 추정기가 될 것이다.

엔트로피

포장된 정규 분포의 정보 엔트로피는 다음과 같이 정의된다.^[2]

${\displaystyle H=--\int _{\Gamma }f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,\ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,d\theta }$

where ${\displaystyle \Gamma }$ is any interval of length ${\displaystyle 2\pi }$. Defining ${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}}$ and ${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}}$, the Jacobi triple product representation for the wrapped normal is:

$f_{\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {\pi (q)}{2\pi }}\prod _{m=1}^{{m-1/2}z(1+q^{-1}}}}}}}}}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ ) ${\$은(는) 오일러 함수다.포장된 정규 분포 밀도의 로그는 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle \ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{-1})}$

로그에 대해 영상 시리즈 확장 사용:

${\displaystyle \ln(1+x)=-\sum _{k=1}^{{k=1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}}}{k}\,x^{k}}}}$

로그 합계는 다음과 같이 기재할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{\pm 1})=-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,q^{mk-k/2}z^{\pm k}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,z^{\pm k}}$

포장된 정규 분포의 밀도 로그는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,(z^{k}+z^{-k})}$

본질적으로 $\theta {\displaystyle }$ ${\$의 푸리에 시리즈$.$ 적분 왼쪽의 래핑된 정규 분포에 특성 함수 표현 사용:

$f_{\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infit }^{n^{n^{2}/2}\,z^{n}}}}}}}$

엔트로피는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{(n^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}\left(z^{n+k}+z^{n-k}\right)\right)\,d\theta }$

다음을 산출하기 위해 통합될 수 있다.

${\displaystyle H=-\ln \left(q){2\pi }}}}}{{k=1}^{k=1}{k=1}^{k}}}{\frac{{{q^}}{{{1-}}}}}}{1-q^{1}:{1-q^{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

참고 항목

• 포장배포
• 디락 빗
• 래핑 코치 분포
• 폰 미제스 분포

참조

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2014년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• Borradaile, Graham (2003). Statistics of Earth Science Data. Springer. ISBN 978-3-540-43603-4. Retrieved 31 Dec 2009.
• Fisher, N. I. (1996). Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56890-6. Retrieved 2010-02-09.
• Breitenberger, Ernst (1963). "Analogues of the normal distribution on the circle and the sphere". Biometrika. 50 (1/2): 81–88. doi:10.2307/2333749. JSTOR 2333749.

외부 링크

• C++11, C++11 기반수학 및 통계수학을 이용한 순환값 수학 및 통계