이동된 로그 로지스틱 분포

이동된 로그 로지스틱

확률밀도함수 ${\displaystyle \mu }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sigma }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle$ $\$$mu =0,\$$displayma$$=1,}$ 값$$ 범례와 같이$$$\mu {\displaystyle }$ = 0, \$ma$ =1,}개 값
누적분포함수 ${\displaystyle \mu }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sigma }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle$ $\$$mu =0,\$$displayma$$=1,}$ 값$$ 범례와 같이$$$\mu {\displaystyle }$ = 0, \$ma$ =1,}개 값
매개변수	${\displaystyle \mu \in }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$위치$$(실제) ${\displaystyle \sigma }$(${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$척도$$(실제) ${\displaystyle \xi }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$ 모양$$(실제)
지원	${\displaystyle x\geqslant \mu -\basma /\xi \,\(\xi >0)}$ ${\displaystyle x\leqslant \mu -\buffma /\xi \,\(\xi <0)}$ $(-\displaystyle x\in (-\in)\\\\,\(\xi =0)}$
PDF	${\displaystyle {\frac {(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}{\\chma \좌측(1+(1+\xi z)^{1/\xi }\오른쪽)^$ 여기서 $z{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x -${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \sigma }$ ${\$ z$=(x-\mu )/\ma \,}$
CDF	${\displaystyle \left(1+(1+\xi z)^{-1/\xi }\오른쪽)^{-1}\,}$ 여기서 $z{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x -${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \sigma }$ ${\$ z$=(x-\mu )/\ma \,}$
평균	${\displaystyle \mu +{\frac {\buffma }{\xi }}}(\buffer \csc(\buffer )-1)}$ 여기서 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\$
중앙값	$\displaystyle \mu \,}$
모드	${\displaystyle \mu +{\frac {\frac}{\xi }}}{1-\xi }}{1+\xi }\오른쪽)^{\xi }}$
분산	${\displaystyle {\frac{\frac {\pxi^{2}}[2\csc(\properties )-(\property \csc(\property )^{2}]}$ 여기서 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\$

이동된 로그 로지스틱 분포는 일반화된 로그 로지스틱 분포 또는 3-모수 로그 로지스틱 분포로도 알려진 확률 분포다.^[1][2]그것은 일반화된 로지스틱 분포라고도 불렸지만,^[3] 이것은 일반화된 로지스틱 분포를 보라라는 용어의 다른 용어와 상충된다.null

정의

이동된 로그 로지스틱 분포는 이동 매개 변수 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을 추가하여 로그 로지스틱 분포로부터 얻을 수 있다$.$ 따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로그 로지스틱 분포를 갖는$$ 경우 $X{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaysty X+\delta }$은 이동$$ 로그 로지스틱 분포를 가진다.따라서 Y ${\displaystyle Y}$은(는) 로그 ${\displaystyle (Y}$ -${\displaystyle \Delta }$) ${\displaystyle \log(Y-\delta )}$이(가) 로지스틱 분포를 갖는$$ 경우 이동된 로그 로지스틱 분포를 가진다$$.Shift 매개변수는 (변경되지 않은) 로그 로지스틱의 척도 및 형상 매개변수에 위치 매개변수를 추가한다.null

이 분포의 속성은 로그 로지스틱 분포의 속성에서 도출하기 쉽다.그러나 일반화된 Pareto 분포와 일반화된 극단값 분포에 사용되는 것과 유사한 대체 매개변수화는 더 해석 가능한 매개변수를 제공하고 이들의 추정에 도움이 된다.null

이 매개변수화에서 이동된 로그 로지스틱 분포의 누적 분포 함수(CDF)는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {1}{1+\왼쪽(1+{\frace{\xi(x-\mu )}{\sigma }}{\sigma }^{-1/\xi }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

for ${\displaystyle 1+\xi (x-\mu )/\sigma \geqslant 0}$, where ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ is the location parameter, ${\displaystyle \sigma >0\,}$ the scale parameter and ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ the shape parameter.일부 참조에서는 모양을 매개 변수화하기 위해${\displaystyle }\kappa$${\displaystyle }$= - $display$ {\$displaystyle \kappa$ =-\xi$$\,\!}을(를) 사용한다는 점에 유의하십시오.^[3][4]null

확률밀도함수(PDF)는

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma \left[1+\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }\right]^{2}}},}$

다시 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (x}$ -$$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \sigma }$0 ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$1+\$xi (x-$\mu $)/\ma \geqslant$ 0$.}$

형상 매개변수 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$은 확률밀도함수가 경계인 경우 [-1,1]에 위치하도록 제한되는 경우가$$ 많다.> ${\displaystyle \xi >1$}일때 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$ -${\displaystyle \mu }$ /${\displaystyle \xi }$에 점근증이 있다.$$$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x=\sigma /\$$xi }$의 기호를 반대로 하면 pdf와 cdf 약 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$. ${\displaysty x=\mu .}$이 반영된다$.$

관련 분포

• $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle \sigma }$ /${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mu =\sigma /\xi ,}$ 이동된$$ 로그 로지스틱 분포가 로그 로지스틱 분포로 감소한다.
• $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$}$$ → 0이 되면 이동된 로그 로지스틱 분포로 감소한다.
• 형상 모수 $\xi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \xi =$1}을$($를) 갖는 이동 로그 로지스틱은 형상 모수 $\xi {\displaystyle }$= 1${\displaystyle \xi =1$을(를) 가진 일반화된 파레토 분포와 동일하다$.$$}$

적용들

3-모수 로그 로지스틱 분포는 홍수 빈도를 모델링하기 위해 수문학에서 사용된다.^[3][4][5]null

대체 매개 변수화

PDF와 CDF에 대한 간단한 표현식을 가진 대체 매개변수는 다음과 같다.형상 매개변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\},$ 축척 매개변수$\beta {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$beta }$ $및{\displaystyle }$ 위치$$ 매개변수$display$ {\displaystyle \$gamma }$에 대해 PDF는 다음과 같이 제공된다$.$

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{\beta }}{\bigg (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\bigg )}^{\alpha -1}{\bigg (}1+{\bigg (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\bigg )}^{\alpha }{\bigg )}^{-2}}$

CDF는 다음에 의해 제공된다.

${\displaystyle F(x)={\bigg (}1+{\bigg)(}{\frac {\beta }{x-\gamma }}}}}^{\alpha }{\bigg )}^{-1}$

The mean is ${\displaystyle \beta \theta \csc(\theta )+\gamma }$ and the variance is ${\displaystyle \beta ^{2}\theta [2\csc(2\theta )-\theta \csc ^{2}(\theta )]}$, where ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{\alpha }}}$.^[7]

참조