일반화된 가우스 역 분포

일반화 역가우스어

확률밀도함수
매개변수	a > 0, b > 0, p real
지원	x > 0
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}:{2K_{p}({\sqrt{ab}})}}}}}x^{(p-1)e^{-(ax+b/x)/2}}:$
평균	${\displaystyle \operatorname {E} [x]={\frac {{\sqrt{b}\K_{p+1}({\sqrt{ab}}){\sqrt{a}\ K_{p}({\sqrt {ab})}}}$ ${\displaystyle \operatorname{E}[x^{-1}]={\frac {{\sqrt{a}\K_{p+1}({\sqrt{ab}})}{\sqrt{b}}}}}}{\sqrac {2p}{b}}}}}}}}}}}}}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E}[\ln x]=\ln {\frac{b}{\sqrt{b}}+{\partial p}}{\partial p}\ln K_{\sqrt {ab}}}}}}}}$
모드	${\displaystyle {\frac {(p-1)+{\sqrt {(p-1)^{2}+ab}}{a}}}}}$
분산	${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)\left[{\frac {K_{p+2}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}-\left({\frac {K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}\right)^{2}\right]}$
MGF	${\displaystyle \left({\frac {a}{a-2t}\오른쪽)^{\frac {p}{2}}:{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2t)}}}}}}{\sqrt {ab})}}}$
CF	${\displaystyle \left({\frac {a}{a-2it}\오른쪽)^{\frac {p}{2}}:{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2it))}}}{K_{p}({\sqrt{ab}})}}}$

확률 이론과 통계에서 일반화된 가우스 분포(GIG)는 확률 밀도 함수를 갖는 연속 확률 분포의 3-모수 계열이다.

${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}:{2K_{p}({\sqrt{ab}})}}}}}}x^{(p-1)e^{-(ax+b/x)/2},\qquad x>0,}$

여기서 K는_p 두 번째 종류의 변형된 베셀 함수, a > 0, b > 0 및 p 실제 매개변수다.지리통계학, 통계언어학, 금융 등에 광범위하게 사용된다.이 배포는 에티엔 할펜에 의해 처음 제안되었다.^[1][2][3]그것은 올레 반도르프-닐센에 의해 재발견되고 대중화되었는데, 그는 그것을 일반화된 가우스 분포라고 불렀다.그 통계적 특성은 벤트 요르겐센의 강의 노트에서 논의된다.^[4]null

특성.

대체 파라메트리징

$\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{b}}$ ${\$ 및$$ $\eta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{b}}$ /${\displaystyle \sqrt{}}$a ${\$을$($를) 설정함으로써 GIG 분포를 대신 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\eta K_{p}(\theta )}}}}}}}왼쪽({\frac {x}{\eta }}}\오른쪽)^{p-1}e^{-\eta(x/\eta + /x)/2}$

여기서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$}은$$(는) 농도 매개 변수인 반면 {$${\$displaystyle \eta$}은(는$$) 스케일링 매개 변수인 것이다.null

합계

반도르프-닐슨과 할그린 교수는 GIG 분포가 무한히 분리되어 있다는 것을 증명했다.^[5]null

엔트로피

일반화된 가우스 역분포의 엔트로피는 다음과^{[citation needed]} 같이 주어진다.

${\displaystyle {\reasoned}H={\frac {1}{2}}\\log \left({\frac {b}{a}\오른쪽)&{}+\log \left(2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)-(p-1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\\&}{}+{\frac {\sqrt{ab}}{2K_{p}\왼쪽({\sqrt {ab}\오른쪽)}}}}}\왼쪽(K_{p+1}\sqrt {ab}\오른쪽)+K_{p-1}\왼쪽({\sqrt {ab}\오른쪽)\end{aigned}}}$

where ${\displaystyle \left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}$ is a derivative of the modified Bessel function of the second kind with respect to the order ${\displaystyle \nu }$ evaluated at ${\displaystyle \nu =p}$

관련 분포

특례

역 가우스 분포와 감마 분포는 각각 p = -1/2와 b = 0에 대한 일반화된 가우스 역 분포의 특별한 경우다.^[6]구체적으로는 형식의 가우스 역분포

${\displaystyle f(x;\mu ,\pida )=\왼쪽[{2\pi x^{3}}\right]^{1/2}\expens {\좌측\frac {-\fractda(x-\mu )^{2}}:{2\mu ^{2}x}\오른쪽)}}$

$a{\displaystyle }$ =${\displaystyle \lambda }$ /${\displaystyle {\mu 2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ a$=\lambda /\mu ^{2$ $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b=\lambda$ $\},$ $p{\displaystyle }$=${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle p=-1/2$ 형식의 감마 분포

${\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=\beta ^{\alpha }{\frac {1}{\frac {1}{\gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}}}$

$a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a=2\beta$ $\},$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$= 0 ${\displaystyle b=0$ $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle$ p$=\alpha }$을(를) 가진 GIG이다$.$

다른 특별한 경우로는 a = 0에 대한 역감마 분포를 들 수 있다.^[6]

가우스 전 합금

GIG 분포는 정규 분산-평균 혼합물에서 혼합 분포로 사용될 때 정규 분포에 결합된다.^[7][8]일부 숨겨진 변수의 이전 분포($:$ z {\$displaystyle$ z$\})$를 GIG:

${\displaystyle P(z\mid a,b,p)=\operatorname {GIG}(z\mid a,b,p)}$

$그리고{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$ 관측$$ 데이터 지점, $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$ X$=x_{1},\ldots,x_{{}$가 있게 하십시오.정상우도함수를 $사용$하는 T$\},$ $z{\displaystyle }$: ${\displaystyle$ z$:}$에 조건화됨

${\displaystyle P(X\mid z,\alpha ,\beta )=\prod _{i=1}^{T}N(x_{i}\mid \alpha +\beta z,z)}$

여기서 $N{\displaystyle (x}$μ${\displaystyle \mu }$ , v${\displaystyle }$) ${\displaystyle N(x\mid \mu ,v)$은 정규 분포로$$, 평균 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ 및$$ 분산 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) 있다$.$그런 다음 $데이터$가 GIG인 경우 z ${\displaystyle z}$의 후면$:$

${\displaystyle P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta )={\text{GIG}}\왼쪽(z\mid a+T\beta ^{2},b+S,p-{\frac {T}{2}}\오른쪽)}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{여기}}}$서 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}\underset{}{\overset{}{}}}$( x ${\displaystyle i_{}}$ -${\displaystyle {}_{}\alpha {}^{}}$) 2 ${\$ S$=\sum _{i=1}^{T}(x_{i}-\alpha )^{2$^{[note 1]}

시셸 분포

Poisson 매개변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 혼합 분포로 GIG가 사용될 때 Sichel 분포가^[9] 나타난다$.$

메모들

참조

참고 항목

• 역가우스 분포
• 감마 분포