정규 역 위샤트 분포

노멀 역위샤트

표기법	$({\boldsymbol{mu},{\boldsymbol{Sigma}})\sim{mathrm{NIW}}({\boldsymbol{mu}_{0}},\lambda,{\boldsymbol{Psi},\nu)$
매개변수	${}_{\mathrm{}}$ 0${}_{}{\mathbb{}}^{}$ $boldsimbol {mu}}_{0}\in$ {$mathbb${$R}^{D}\,$ 위치$$(실제 벡터) ◦> \$lambda$ > $0\,$ (실제) $\mathbf{\psi }{RD}^{}$× D$($ 기호 {$Psi})\in$ {$mathbb {R}^{D\times$ D$}$ 역척 행렬(pos. def.) ◦> - \$nu$>$D-1\,$ (실제)
지지하다	$\mathit{\mu }$ $\in$ ${RD}^{}$; ${\mathbb{}}^{}$ ${RD}^{}$ ${\times }^{}$ ({$boldsymbol {mu})\in {\mathbb {R}$^{$D};{\boldsymbol {Sigma}}\in${\$mathbb {R}$^{$D\times$D} 공분산 행렬(pos.def).
PDF	$f\boldsymbol({mu}),{\boldsymbol({Sigma})},{\boldsymbol({\mu}),{\boldsymbol({Psi}),\nu}={{\boldsymbol({N})},{\boldsymboldsymbol({\ma})}}{{{\boldsymbol}}{{{{\ma}}}}}}{\bol}{\bol$

확률 이론 및 통계학에서, 정규 역 위샤트 분포(또는 가우스 역 위샤트 분포)는 연속 확률 분포의 다변량 4-모수군입니다.이것은 알 수 없는 평균 및 공분산 행렬(정밀 ^[1]행렬의 역행렬)을 갖는 다변량 정규 분포 이전의 공액입니다.

정의.

가정하다

${\boldsymbol}{mu}{0}}\lambda, {\boldsymbol{\mathcal{N}}\left({\boldsymbol{\mu}{\boldsymbol{\mu}{\boldsymbol{\mu}{\lambda}}{\boldsigmbolda}}{\bolda}}{\bolmbolda}{\bolda}}}{\bolda}{\$

$평균{\mathit{}}_{}$ $({\boldsymbol{mu}$_$${$0})$ 및 공분산 $행렬\frac{\mathrm{}}{}$ 1 $({tfrac{1}{\lambda}}{\boldsymbol{Sigma$을 갖는 다변량 정규 분포를 갖습니다.

$굵은 기호({\Sigma}),\nu \sim({\mathcal {W}}^-1}({\boldsymbol {\Sigma}}),\nu({\boldsymbol {\Psi})$

는 역 Wishart 분포를 가지고 있습니다.$(\mu \mathit{},$ $\Omega \mathbf{})$ $({\boldsymbol {mu},$ {\$boldsymbol${\$Sigma}})$는 다음과 같은 정규-역-위샤트 분포를 갖습니다.

$({\boldsymbol{mu},{\boldsymbol{Sigma}})\sim{mathrm{NIW}}({\boldsymbol{mu}_{0},\lambda,{\boldsymbol{Psi},\nu).$

특성화

확률밀도함수

$f\boldsymbol({mu}),{\boldsymbol({Sigma})},{\boldsymbol({\psi}},\nu)={{{\boldsymbol({\boldsymbol}){N}\left({\mu}})}{\boldsymathcal}{\bol}{\bol}{\bol}{\bol}{\bol}{\bol}{\bol}{\bol}{\$

PDF의 전체 버전은 ^[2]다음과 같습니다.

$디스플레이 스타일 f\boldsymbol({mu}),{\boldsymbol({Sigma})},{\boldsymbol({\boldsymbol)},{\boldsymbol({Psi}),{\alpha}=boldfrac{D/2}({\boldsigma}) ^{\alpha/2}{-{\frac{\facalpha+2}}}}}{(2\pi)^{D/2}2^{\frac{alphaD}{2}}\Gamma_{D}({\frac{alpha}{2}})}{\text{exp}}\left\{-{\frac{\Sigma}}^{-1}}}{\frac{gamma}{{{\bold}}}}{{mbold^{\mbold}}}}}}}}{\mu}}}}}}}{{\bold^{\mT}{\boldsymbol{Sigma}}^{-1}({\boldsymbol{mu}-{\boldsymbol{\delta}})\right\}$

여기서${\displaystyle {}_{}{\Delta D}_{}}$ [${\displaystyle }$Δ$]$ {\$displaystyle \Gamma_{D}[\cdot]}$는 다변량 감마 함수이고 ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$($)$ {\$displaystyle$ Tr$({\boldsymbol {Psi}})$은 지정된 행렬의 추적입니다.

특성.

스케일링

한계 분포

구성상, ${boldsymbol{Sigma}}$에 대한 한계 분포는 역 위시아트 분포이고, ${boldsymbol{Sigma}$에 주어진 μ{\$boldsymbol{mu}$에 $대한\mathit{}$ 조건부 분포는 다변량 정규 분포입니다.μ$({boldsimbol$ {$mu}})$에 대한 한계 분포는 다변량 t-분포입니다.

매개변수의 후방 분포

표본 밀도가 다변량 정규 분포라고 가정합니다.

$표시({style}{boldsymbol {y_{i}}){{\boldsymbol {{Sigma}},{\boldsymbol {N}_{p}({\boldsymbol {mu},{\boldsymbol {Sigma})}$

$여기$서$$y({$\mathrm{boldsymbol}$$${$y})$는 $n$× $\timesp$ $행렬$이고 $($$길이$ p$)$는 행렬의 $i행$입니다.

표본 분포의 평균 및 공분산 행렬을 알 수 없기 때문에 평균 및 공분산 매개변수에 대해 정규-역-위샤트를 공동으로 배치할 수 있습니다.

$표시 스타일({\boldsymbol{\mu},{\boldsymbol{Sigma}})\sim \mathrm {NIW}({\boldsymbol{mu}_{0},\lambda,{\boldsymbol{Psi},\nu)$

평균 및 공분산 행렬에 대한 결과적인 사후 분포도 정규-역-위샤트가 될 것입니다.

$표시 스타일({\boldsymbol{\mu},{\boldsymbol{Sigma}})\sim \mathrm {NIW}({\boldsymbol{mu}_{n},\lambda_{n},{\boldsymbol{{n}),$

어디에

$표시({style {\boldsymbol {mu}}_{n}={flac {{boldsymbol {mu}}+n{\bar {{boldsymbol {y}}{\bolds +n}}}$

${\displaystyle \details _{n}=\details +n} 표시$

${\displaystyle \nu _{n}=\nu +n}$

ψ n = ψ + S + λ n λ + n ( y ¯ - μ 0 ) T with S = ∑ i = 1 n ( y - y ¯ ) ( y - y ¯ ) T {\ displaystyle \ bold symbol \ Psi }_{n } + {\frac {\symbol {\}}}({\n})^{^{$T}~~\mathrm {with}~{\boldsymbol {S}}=\sum_{i=1}^{n}({\boldsymbol {y}-{\bar {y}})({\boldsymbol {y}-{\ball {y}})^$${T$

(μ, Δ)의 ({\boldsymbol {mu}, {\boldsymbol {Sigma}}의 공동 후부에서 표본을 추출하려면 단순히 Δy ~ W - 1 (Δ n, Δ n)에서 표본을 추출하면 된다오래된 기호({mu})는 새로운 관측치의 사후 예측값에서 y, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ, Δ 스타일의 굵은 기호({mathcal})를 표시합니다$dsymbol({$$Sigma$$})}$은$($는) μ({$boldsymbol}) 및$$$Δ$({$$boldsymbol$^[3]의 $이미\mathit{}$ 그려진 값입니다.

정규-역-위샤트 랜덤 변수 생성

랜덤 변수의 생성은 간단합니다.

1. 모수 $({boldsymbol {\Psi})$와 $Δ(\$nu)를 갖는 역 위시아트 분포의$Δ$({boldsymbol {\$Sigma$})
2. $평균{\mathit{}}_{}$ $({\boldsymbol {mu}_${0$})$과 $분산\frac{\mathbf{}}{}$ 1$({\boldsymbrac {1}{\lambda}}}{\boldsymbol$ {$Sigma}}$을(를) 갖는 다변량 정규 분포에서 샘플$μmbol$

관련 분포

• 정규 분포-위샤트 분포는 본질적으로 분산이 아닌 정밀도에 의해 모수화된 분포와 동일합니다.만약 (μ, Δ) ~ NIW (μ0, Δ, Δ, Δ) ({\boldsymbol{mu}, {\boldsymbol{NIW}) }({\boldsymbol{\mu}}) \sim{\boldsymbol{{NIW}}) }({\boldsigmbol}), \lambda, {{\bol}}, }, }, \m1, ({\boldsymbolda}, \${-1},\nu$).$$
• 정규 역 감마 분포는 1차원 등가입니다.
• 다변량 정규 분포와 역 Wishart 분포는 이 분포가 만들어지는 성분 분포입니다.

메모들

레퍼런스

• 비숍, 크리스토퍼 M. (2006).패턴 인식 및 기계 학습.스프링어 사이언스+비즈니스 미디어.
• 머피, 케빈 P. (2007)."가우스 분포의 베이지안 분석을 통합합니다." [2]