행렬 t-분포

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매트릭스 t

표기법	${\displaystyle {\rm{T}_{n,p}(\nu ,\mathbf {M},{\boldsymbol {\Sigma },{\boldsymbol {\\\\Oomega})}}}$
매개변수	${\displaystyle \mathbf{M}}$ ${\$ 위치$$$($${\displaystyle }$ n ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\times p}$ 행렬$$) ${\displaystyle \mathbf{\Omega }}$ ${\$ 척도$$(${\displaystyle }$ p ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\times$ p$}$ 행렬$$) ${\displaystyle \mathbf{\sigma }}$ ${\$척도$$(양극-확정 실제 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ {\$displaystyle n\times$ n$}$ 행렬$$) $\displaystyle \nu }$ 자유도
지원	${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathb {R} ^{n\times p}}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}} {\boldsymbol {\Omega }} ^{-{\frac {n}{2}}} {\boldsymbol {\Sigma }} ^{-{\frac {p}{2}}}}$ ${\displaystyle \times \left \mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right ^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}}}$
CDF	분석표현 없음
평균	${\displaystyle \mathbf{M}}$ ${\$ + - > ${\displaystyle \nu +p-n>1}$일 경우 또는 정의되지 않음
모드	${\displaystyle \mathbf {M} }$
분산	${\displaystyle \frac{\mathbf{\sigma }}{}}$ ⊗${\displaystyle \frac{\Omega \mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\nu }{}}$ ${\displaystyle \frac{-}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}${\$displaystyle${\$frac {{\boldsymbol {\Sigma }}}\otimes${\$boldsymbol {\}}{\nu -2}}:$ > ${\displaysty \nu >2$ 기타 정의되지 않음
CF	아래 내용 참조.

통계에서 행렬 t-분포(또는 행렬변수 t-분포)는 벡터에서 행렬로 다변량 t-분포를 일반화하는 것이다.^[1]행렬 t-분포는 행렬 정규분포가 다변량 정규분포와 공유하는 다변량 t-분포와 동일한 관계를 공유한다.^{[clarification needed]}예를 들어, 행렬 t-분포는 행렬 정규 분포에서 표본 추출하여 얻은 복합 분포로, 정규 행렬의 공분산 행렬을 역 위시르트 분포에서 표본 추출한 것이다.^{[citation needed][2]}null

행렬 정규 분포를 기반으로 한 다변량 선형 회귀 모형의 베이시안 분석에서 행렬 t-분포는 후방 예측 분포다.null

정의

행렬 $t-분포$의 경우, $n{\displaystyle \mathbf{}}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle$ $\mathbf {X$$}$의 $점에서 확률밀도함수는$

${\displaystyle f(\mathbf {X} ;\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K\times \left \mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right ^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}},}$

여기서 통합 K의 상수는 다음과 같다.

${\displaystyle K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}} {\boldsymbol {\Omega }} ^{-{\frac {n}{2}}} {\boldsymbol {\Sigma }} ^{-{\frac {p}{2}}}.}$

여기서 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$는 다변량 감마함수다.null

특성 함수와 다양한 기타 특성은 일반화된 행렬 t-분포(아래 참조)에서 도출할 수 있다.null

일반화 행렬 t-분포

일반화 행렬 t

표기법	${\displaystyle {\rm{T}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M},{\boldsymbol {\Sigma },{\boldsymbol {\\\Oomega})}}}}$
매개변수	${\displaystyle \mathbf{M}}$ ${\$ 위치$$$($${\displaystyle }$ n ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\times p}$ 행렬$$) ${\displaystyle \mathbf{\Omega }}$ ${\$ 척도$$(${\displaystyle }$ p ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\times$ p$}$ 행렬$$) ${\displaystyle \mathbf{\sigma }}$ ${\$척도$$(양수-확실성 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬$$) $[\displaystyle \property >(p-1)/2}$형상 모수 ${\displaystyle \cHB >0}$ 척도 모수
지원	${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathb {R} ^{n\times p}}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(\alpha +n/2)}{(2\pi /\beta )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}(\alpha )}} {\boldsymbol {\Omega }} ^{-{\frac {n}{2}}} {\boldsymbol {\Sigma }} ^{-{\frac {p}{2}}}}$ ${\displaystyle \times \left \mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right ^{-(\alpha +n/2)}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\gamma }}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$는 다변량 감마함수다.
CDF	분석표현 없음
평균	${\displaystyle \mathbf {M} }$
분산	${\displaystyle {\frac{\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Oomega }}}}{\beta(2\alpha -p-1)}}}}$
CF	아래 내용 참조.

일반화된 행렬 t-분포는 행렬 t-분포를 일반화한 것으로, ν 대신 2개의 매개변수 α와 β가 있다.^[3]

이는 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle \alpha }$= α = ${\displaystyle \frac{\nu }{}}$+ p${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$. ${\displaystyle \beta =2,\alpha ={\frac {\nu +p-1}{2$}를 사용하여 표준 매트릭스 t-분포까지 감소한다$.$$}$

일반화 행렬 t-분포는 공분산 행렬 중 하나에 배치된 역 다변량 감마 분포와 행렬 정규 분포의 무한 혼합에서 비롯되는 복합 분포다.null

특성.

If ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$ then^{[citation needed]}

${\displaystyle \mathbf{X} ^{\rm {T}\심 {\\rm {T}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M}^{\rm {T},{\boldsymbol {\Oomega},{\bmbol{\}}}}).}$

위의 속성은 실베스터의 결정론적 정리로부터 나온다.

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=}$

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).}$

만약 X번 국도 T, p(α, β, M, Σ, Ω){\displaystyle \mathbf{X}\sim{\rm{T}}_ᆰ(\alpha,\beta ,\mathbf{M},{\boldsymbol{\Sigma}},{\boldsymbol{\Omega}})}, A(n×n){\displaystyle \mathbf{A}(n\times의 스녀)}와 B(pp×){\displaystyle \mathbf{B}(p\times p)}은 비특이 매트릭슨 다음 경우에는 C.itation 필요한]

${\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).}$

특색 함수는^[3]

${\displaystyle \phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} )) {\boldsymbol {\Omega }} ^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}} \mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} ^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),}$

어디에

${\displaystyle B_{\delta }(\mathbf {WZ} )= \mathbf {W} ^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right) \mathbf {S} ^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,}$

여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 행렬 인수의 헤르츠의^{[clarification needed]} 타입 2 베셀 함수다.null

참고 항목

• 다변량 t 분포
• 행렬 정규 분포

메모들

외부 링크

• 랜덤 행렬 생성기를 위한 C++ 라이브러리