제타 분포

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제타

확률 질량 함수 로그 로그 척도의 제타 PMF 그림. (함수는 k의 정수 값에서만 정의된다.연결 라인은 연속성을 나타내지 않는다.)
누적분포함수
매개변수	$(1\displaystyle s\in (1,\fty )}$
지원	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {1/k^{s}{\\zeta(s)}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}{\\zeta(s)}}$
평균	${\displaystyle {\frac {\zeta(s-1)}{\zeta(s)}}~{\textrm {for}~s>2}$
모드	$1\displaystyle 1\,}$
분산	${\displaystyle {\frac {\zeta(s)\zeta(s-2)-\zeta(s-1)^{2}}~{{\textrm {for}s)3}$
엔트로피	${\displaystyle \sum \{k=1}^{\inflit }{1/k^{s}}}{\frac {1/k^{s}}}}}}}{\zeta(s)}}\,\!}$
MGF	존재하지 않음
CF	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it}}}}}{\zeta(s)}}$

확률 이론과 통계에서 제타 분포는 이산 확률 분포다.X가 매개변수 s를 갖는 제타분포 랜덤 변수인 경우, X가 정수 값 k를 취할 확률은 확률 질량 함수에 의해 주어진다.

${\displaystyle f_{s}=k^{-s}/\zeta(s)\,}$

여기서 ζ은 리만 제타 함수(s = 1에 대해 정의되지 않음)이다.null

X의 구별되는 주요 인자의 승수는 독립 랜덤 변수다.null

리만 제타 함수는 양의 정수 k에 대한$$ $모든{\displaystyle {}^{}}$ 용어 k${\displaystyle {}^{}}$- s${\$의 합이므로 Zipf 분포의 정규화로 나타난다."Zipf distribution"과 "zeta distribution"이라는 용어는 종종 서로 바꾸어 사용된다.그러나 제타 분포는 그 자체로 확률 분포지만, 같은 지수를 가진 Zipf의 법칙과는 관련이 없다는 점에 주목한다.Yule-Simon 분포 참조

정의

제타 분포는 양수 $k{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq 1$에 대해 정의되며, 확률 질량 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle P}$( ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\zeta }{}}$( s${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$s ${\$

여기서 > ${\displaystyle$ s $>1}$은 매개 변수, $\zeta {\displaystyle }$(${\displaystyle s}$ ) ${\displaystyle \zeta(s)}$은 리만 제타 함수다.null

누적 분포 함수는 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\\zeta(s)},}$

여기서 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle s_{}}$ ${\$은(는) 일반화된 고조파 수입니다.

${\displaystyle H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}.}$

순간

n번째 원시 모멘트는 X의ⁿ 기대값으로 정의된다.

${\displaystyle m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{1}{\zeta(s)}\sum _{k=1}^{\flac {1}{k^-n}}}}}}}}$

오른쪽의 시리즈는 리만 제타 함수를 직렬로 표현한 것일 뿐, 단결보다$$ $큰{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$- n ${\displaystyle s-n}$ 값에만 수렴된다.따라서 다음과 같다.

${\displaystyle m_{n}=\좌측\{\\\\\\\\cHB}\제타(s-n)/\제타(s)&{\textrm{for}~n<s-1\\\\\fltimit &gt;{n\geq s-1\end}}}}\우측.}$

제타 함수의 직렬 표현은 분석적으로 계속할 수 있기 때문에 n > s - 1에 대해서도 제타 함수의 비율이 잘 정의되어 있다는 점에 유의한다.이것은 순간들이 시리즈 자체로 지정된다는 사실을 바꾸지 않으며, 따라서 큰 n에 대해서는 정의되지 않는다.

모멘트생성함수

모멘트 생성 함수는 다음과 같이 정의된다.

$[\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX}}={\frac {1}{\frac {1}{\zeta(s)}}\sum _{k=1}^{k=1}^{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}}}}.}$

시리즈는 단지 다로그의 정의일 뿐이며, 과 같이 t <1 {\$displaystyle e^{t}<$1}에 유효하다.

${\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}{\s}}{\zeta(s)}}{{\t<0:}$

이는 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$을(를) 포함하는 열린 간격에 수렴되지 않기 때문에 모멘트 생성 함수는 존재하지 않는다$.$null

사례 s = 1

ζ(1)은 고조파 계열로서 무한하므로 s = 1인 경우는 의미가 없다.단, A가 밀도가 있는 양의 정수의 집합인 경우, 즉,

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {N(A,n)}{n}}}$

여기서 N(A, n)은 N보다 작거나 같은 A의 멤버 수입니다.

${\displaystyle \lim_{s\to 1^{+}P(X\in A)\,}$

그 밀도와 같아null

후자의 한계는 A의 밀도가 없는 경우도 있을 수 있다.예를 들어, A가 첫 번째 자릿수가 d인 모든 양의 정수의 집합이라면, A는 밀도가 없지만 그럼에도 불구하고 위에 주어진 두 번째 한계가 존재하고 그에 비례한다.

${\displaystyle \log(d+1)-\log(d)=\log \left(1+{\frac {1}{d}\오른쪽)\,}$

벤포드의 법칙이지null

무한불가성

제타 분포는 기하 분포가 있는 일련의 독립 랜덤 변수로 구성할 수 있다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 프라임 숫자로 하고$$ $X{\displaystyle (p^{}}$- s${\displaystyle {}^{}}$)$${\$displaystyle$ X$(p^{-s})$는 파라미터 $p{\displaystyle {}^{}}$- s ${\$의 기하학적 분포를 갖는 랜덤 변수로 한다$$.

${\displaystyle \quad \quad \quad \mathb {P} \left(X(p^{-s}=k\right)=p^{-ks}(1-p^{-s})}$

랜덤 변수$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$( ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle s^{}}$)${\displaystyle {}_{}}$p${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {P\mathcal{}}_{}}$ ${\$이(가) 독립적이면$$, 다음과 같이 정의된$$ 랜덤 변수 $Z{\displaystyle {}_{}}$ s ${\$

${\displaystyle \quad \quad \quad Z_{s}=\prod_{p\in {\mathcal {P}}p^{X(p^{-s})}}}}}}}}$

Zeta 분포: $P{\displaystyle \mathbb{}(\frac{Z}{}{}_{}}$s =${\displaystyle n}$) = ${\displaystyle \frac{{1n}^{}}{}}$ s ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$( s${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$

Stated differently, the random variable ${\displaystyle \log(Z_{s})=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}X(p^{-s})\,\log(p)}$ is infinitely divisible with Lévy measure given by the following sum of Dirac masses :

${\displaystyle \quad \quad \quad \pi _{s}(dx)=\sum _{p\in {\mathcal {P}\sum _{k\p^{-ks}{k}}}}{k\delta _{k\log(dx)}$

참고 항목

기타 "권력법" 분포

• 카우치 분포
• 레비 분포
• 레비 꼬치 알파 안정 분포
• 파레토 분포
• 지프의 법칙
• 자이프-만델브로트법
• 무한분할분포

외부 링크

• Gut, Allan. "Some remarks on the Riemann zeta distribution". CiteSeerX 10.1.1.66.3284.{{cite journal}}: Cite 저널은 (도움말) Gut이 "Remann Zeta 분포"라고 부르는 것은 사실 -log X의 확률 분포인데, 여기서 X는 이 논문이 제타 분포라고 부르는 것을 가진 랜덤 변수다.
• Weisstein, Eric W. "Zipf Distribution". MathWorld.