일반화된 로지스틱 분포

일반화된 로지스틱 분포라는 용어는 확률 분포의 여러 다른 패밀리의 이름으로 사용된다.예를 들어, 존슨 외.^[1]아래에 열거된 4가지 양식을 나열하십시오.아래에 기술된 제1형식(Type I) 계열은 스큐 로지스틱 분포라고도 불린다.일반화된 로지스틱 분포라고도 하는 다른 분포 패밀리의 경우, 로그 로지스틱 분포를 일반화하는 이동 로그 로지스틱 분포와 모양과 굽이 매우 유연하고 선형 최소 제곱이 있는 데이터에 적합할 수 있는 메탈로그("meta-logistic") 분포를 참조하십시오.

정의들

다음의 정의는 표준화된 가족 버전에 대한 것으로, 위치 척도 가족으로서 완전한 형태로 확장될 수 있다.각각은 누적분포함수(F) 또는 확률밀도함수(-1973)를 사용하여 정의되며, (-199,1993)에 정의된다.

제1종

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{{+e^{-x}^{\alpha }}}\equiv(1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}$

해당 확률밀도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;\property )={\frac {\f^{-x}}{\\좌측(1+e^{-x}\우측)^{\precipal +1},\put \properties >0.}$

이 유형은 또한 "skew-logistic" 분포라고도 불린다.

타입 II

${\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}{{+e^{-x}}}{{{+e^{-x}}^{\alpha }}}},\quad \alpha >0.}$

해당 확률밀도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;\filename )={\frac {\frac e^{-\filename x}{{+e^{-x}}^{\pair +1},\pair \filename >0.}$

타입 III

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{2\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

여기 B가 베타함수 입니다.이 유형의 모멘트 생성 기능은

${\displaystyle M(t)={\frac {\gamma(\alpha -t)\gamma(\alpha +t)}{{{2}},\quad -\alpha <t<\alpha .}}}$

해당 누적분포함수는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {\왼쪽(e^{x}+1\오른쪽)\Gamma (\alpha )e^{\alpha (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-2\alpha }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )}},\quad \alpha >0.}$

IV형

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}{\frac {e^{-\beta x}}{{(1+e^{-x}}}}^{\alpha +}}}},\quad \alpha ,\beta >0.}$

다시 말하지만, B는 베타 기능이다.이 유형의 모멘트 생성 기능은

${\displaystyle M(t)={\frac {\감마(\beta -t)\감마(\alpha +t)}{\\감마(\alpha )\감마(\beta )},\quad -\alpha <t<\beta .}$

이 타입은 "제2타입의 우수한 일반화된 베타"라고도 불린다.^[1]

해당 누적분포함수는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac(e^{x}+1\오른쪽)\Gamma (\alpha )e^{\beta (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-\alpha -\beta }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )}},\quad \alpha ,\beta >0.}$

관계

IV형은 분포의 가장 일반적인 형태다.타입 III 분포는$$$\beta {\displaystyle }$ =$$ $displaystyle$ $\$$beta =\alpha }$을(를) 고정함으로써 타입 II 분포는 타입 IV에서 얻을 수 있으며, 타입 $II{\displaystyle \mathrm{분포}}$는$$α = 1 {\displaystyle $\alpha$ =$1}($그리고 $$$\beta {\displaystyle }$ 이름 ${\$$displaystylease \ba$ \alpha $})$을$}$로 바꾸면 얻을 수 있다.$$I형 분포는 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta =1}$을(를) 고정하여 I형에서 얻을 수 있다$.$

참고 항목

• 참퍼나운 분포, 로지스틱 분포의 또 다른 일반화.

참조