복합 위시아트 분포

콤플렉스 위스타트

표기법	A ~ CWp( ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma$ $\},$ n)
매개변수	n > p - 1 자유(실제) ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $$> 0 (p × pHermitianpos. def)
지원	A (p × p) 에르미트어 양정확률 행렬
PDF	${\displaystyle {\frac {\det \left(\mathbf {A} \right)^{(n-p)^{-\operatorname {tr}(\mathbf {1}\Mathbf {A} )}}{\det \detwef(\mathbf {\A} \Mama \오른쪽)})})}^{n}\cdot{\mathcal{C}}{\widetilde{\Gamma }}}{p}(n)}}}$ ${\displaystyle \mathcal{C}}$ ${\displaystyle \gamma {\stackrel{}{\mathbf{}}p}_{}}$ ${\$은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -변량$$ 복합 다변량 감마함수 입니다. tr은 추적 함수다.
평균	${\displaystyle \operatorname {E} [A]=n\Gamma }$
모드	${\displaystyle (}$n${\displaystyle }$- ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \gamma \mathbf{}}$ ${\$ n ≥ p + 1의 경우$$
CF	${\displaystyle \det \left(I_{p}-i\mathbf {\Gamma } \mathbf {\\)세타 } \right)^{-n}}$

통계에서 복합 위시아트 분포는 위시아트 분포의 복잡한 버전이다.$이것$은 n ${\displaystyle$ $n$$}$의 표본인 은둔 공분산 행렬의 n ${\displaystyle$ n$}$배수 독립 가우스 랜덤 변수의 분포다.${\displaystyle \mathrm{그것}}$은 p${\displaystyle }$× p ${\displaystyle p\times$ p$}$ Emitian$$ 긍정확정 행렬에 대한 지원을 가지고 있다.^[1]

복합 위시아트 분포는 복합값 표본 공분산 행렬의 밀도다.내버려두다

${\displaystyle S_{p\times p}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{i}^{{i}^{i}^{n}}^{n}}}}}}}}H}}$

여기서 각 ${\displaystyle {Gi}_{}}$ ${\$은 랜덤 복합 가우스 영점 검체의 독립된 컬럼 p-벡터이며$,{\displaystyle {}^{}}$(. )$$H {\$displaystyle (.)^{$H$$}은 에르미트어(복합 결합체) 전치형이다.G의 공분산이 $E{\displaystyle \mathbb{}}$[ G ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= M ${\displaystyle \mathb {E} [G^{H}]=$인 경우$그럼$ M$}$

${\displaystyle S\sim n{\mathcal {CW}(M,n,p)}$

여기서 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \mathcal{W}(M}$, n${\displaystyle }$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle {\mathcal{CW}(M,n,p)}$은 자유도와 평균값 또는 척도 행렬 M을 갖는 복잡한 중심 위시아트 분포다$$.

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left \mathbf {S} \right ^{n-p}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {S} )}}{\left \mathbf {M} \right ^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\left \mathbf {M} \right >0}$

어디에

${\displaystyle {\mathcal{C}{\widetile {\Gamma }}^{p}{p}{n)=\pi^{p(p-1)/2}\prod _{j=1}{p}\j+1)}$

복합 다변량 감마함수 입니다.^[2]

추적 회전 규칙 ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ (${\displaystyle A}$B${\displaystyle }$C ) = ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle C}$ A B${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {tr}$(ABC$)=\operatorname {tr}$(CAB$)}$을(를) 사용해도 다음 정보를$$ 얻을 수 있다.

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left \mathbf {S} \right ^{n-p}}{\left \mathbf {M} \right ^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{p}G_{i}^{H}\mathbf {M} ^{-1}G_{i}\오른쪽)}$

G 자체의 복잡한 다변량 pdf에 상당히 가까운 것이다.G의 원소는 전통적으로 $E{\displaystyle \mathbb{}}$[ G ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathb {E}[G^{T}]=0}$과 같은 원형 대칭을 가진다.

역 콤플렉스 $위시아트{\displaystyle \mathbf{}{\mathbf{Y}\mathbf{}}^{}}$= S -$$1 {\$displaystyle \mathbf${Y} =\$mathbf$ {$S^{-1}}$ ^[2]굿맨에$$ 따른 역 콤플렉스 위시아트 분포는 샤먼은^[3]

${\displaystyle f_{Y}(\mathbf {Y} )={\frac {\left \mathbf {Y} \right ^{-(n+p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} \mathbf {Y^{-1}} )}}{\left \mathbf {M} \right ^{-n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\det \left(\mathbf {Y} \right)>0}$

여기서 $M{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle \gamma {\mathbf{}}^{\mathbf{}}}$- ${\displaystyle {\mathbf{1}}^{}}$ ${\$

매트릭스 반전 매핑을 통해 도출된 경우, 결과는 복잡한 Jacobian 결정요소에 따라 달라진다.

${\displaystyle {\mathcal{C}J_{Y}(Y^{-1})=\왼쪽 Y\오른쪽 ^{-2p-2}}$

굿맨과 다른 사람들은^[4] 그러한 복잡한 자코비안들을 논한다.

아이겐값

복잡한 에르미트 위시아트 분포의 고유값의 확률 분포는 예를 들어 제임스와^[5] 에델만이 제공한다.^[6]$\nu {\displaystyle }$${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\times p$} 행렬의$$ 경우 ν p ${\displaystyle \nu \geq$ p$}$자유도가$$ 있는 경우

${\displaystyle f(\lambda _{1}\dots \lambda _{p})={\tilde {K}}_{\nu ,p}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}\right)\prod _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{\nu -p}\prod _{i<j}(\lambda _{i}-\lambda _{j})^{2}d\lambda _{1}\dots d\lambda _{p},\;\;\;\lambda _{i}\in \mathbb {R} \geq 0}$

어디에

${\displaystyle {\tilde{K}_{\nu,p}^{-1}=2^{p\nu }\pod _{i=1}^{p}\gamma(\nu -i+1)\감마(p-i+1)}$

Note however that Edelman uses the "mathematical" definition of a complex normal variable ${\displaystyle Z=X+iY}$ where iid X and Y each have unit variance and the variance of ${\displaystyle Z=\mathbf {E} \left(X^{2}+$$Y^{2}\right)=2$ 공학계에서 더 일반적인 정의의 경우, X와 Y가 각각 0.5의 분산을 가지며, 고유값은 2의 계수만큼 감소한다.

이 식이 통찰력은 거의 없지만, 한계 고유값 분포에는 근사치가 있다.From Edelman we have that if S is a sample from the complex Wishart distribution with ${\displaystyle p=\kappa \nu ,\;\;0\leq \kappa \leq 1}$ such that ${\displaystyle S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(2\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)}$ then in the limit${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle p\rightarrow \infit}$ 고유값 분포는$$ 마르첸코-파스퇴르 분포 함수에 확률적으로 수렴된다.

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda /2-({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda /2]}}{4\pi \kappa (\lambda /2)}},\;\;\;2({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq 2({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1}$

This distribution becomes identical to the real Wishart case, by replacing ${\displaystyle \lambda }$ by ${\displaystyle 2\lambda }$, on account of the doubled sample variance, so in the case ${\displaystyle S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\ri$$ght$ pdf는 실제 위시아트(Wishart)로 줄어든다.

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda -({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda ]}}{2\pi \kappa \lambda }},\;\;\;({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq ({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1}$

특별한 경우는 $\kappa {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \kappa =1}$이다.

${\displaystyle p_{\fla }(\fla)={\frac {1}{4\pi }}\frac {8-\fla da }}{\pairda }}}}}^{1}:{0\leq \leq \leq 8}$

또는 Var(Z) = 1 관례가 사용되는 경우

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {4-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 4}$.

위그너 세미커클 분포는 후자의$$ $변수{\displaystyle }$y = ±${\displaystyle \lambda \sqrt{}}${\$displaystyle$ y$=\pm${\$sqrt${\$lambda }}$을(를) 변경하고 y의 임의 산출 pdf 기호를 선택하여 발생한다.

${\displaystyle p_{y}={\frac {1}{2\pi }}}\왼쪽(4-y^{2}\오른쪽)^{\frac {1}{1}:{1}{1},\;-2\leq y\leq 2}$

위와이어트 샘플 매트릭스의 정의 대신 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ G ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\$ p$}=\sum _{j=1}^{$j=1}{j=1$}^{{j_}$G_{j$}G_{$j}}^{j$}}^{{}}}}^{{}}}}}}^}}}}}}}^{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{{{$$H$ 가우스 앙상블을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {G} _{i,j}=[G_{1}\dots G_{\nu }]\in \mathb {C}^{\,p\time \nu }}}}}}}.$

S가 행렬 제품 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle G\mathbf{}}$ ${\displaystyle {G\mathbf{}}^{}}$ H ${\$$H$ S의 실제 비음성 고유값은 앙상블 $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 계수 제곱 단수 값이며$$, 후자의 모듈리는 1/4원 분포를 가진다.

> 1 ${\displaystyle \kappa >1}$과 같은 경우, <$p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \nu <p},$ $S$ ${\displaystyle S}$은 적어도 p - $\$ {\$displaystyp-\nu }$ null$$ 고유값으로 순위가 부족하다$$.그러나 $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 단수 값은 전환 시 불변하므로$$ $S{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$= G ${\displaystyle {H\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ ${\$를 재정의하십시오.$H}} \$${\displaystyle {mathbf}_{}}$${$$G$$\}\},$ 그 $다음{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ S${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~${\displaystyle {}_{}}$× × ${\$$displaystyle$${S}_{\nu \$$times \$$nu$ $\$nu$}}}}}}}}}$은(는) 위시아트 분포가 복잡하고 거의 확실히 전체 순위를 가지며$$${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ 고유치 분포는 이전의$$ 모든 방정식을 사용하여 $대신$할 수 있다.

$G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 컬럼이 선형적으로 독립되어$$ ${\displaystyle {\mathrm{있지}}_{}}$ 않고 S ~${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{\times }}$ $×$ {\$displaystyle${\$tilde{S}$_{\$nu$ \$time$\nu \$nu$ \nu \nu$$\nu}}}}}}}의 컬럼이 단수로 남아$$ 있는 경우 QR분해를 사용하여 G를 다음과 같은 제품으로 줄일 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {G} =Q{\begin{bmatrix}\mathbf {R}\\0\end{bmatrix}}}}$

such that ${\displaystyle \mathbf {R} _{q\times q},\;\;q\leq \nu }$ is upper triangular with full rank and ${\displaystyle {\tilde {\tilde {S}}}_{q\times q}=\mathbf {R^{$$H}} \mathbf {R} }$은(는) 치수성을 더욱 줄였다.

고유값은 $zero{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu \times p}$MIMO$$ 무선 채널의 섀넌 채널 용량을 정의하기 때문에 무선 통신 이론에서 실용적으로 중요하다. 이 값은 첫 번째 근사치로는 0-mean 복합 가우스 앙상블로 모델링된다.

참조